资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
15.3.2 等边三角形第2课时 过关练 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
2．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．如图，两个全答的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
6．如图，直角三角形纸片中，，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，若，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是 ．
9．将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是 ．
10．如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ．
11．某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
12．如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ．
13．如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ．
三、解答题
14．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，
(1)要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
(2)若，且，求的长度．
15．已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点作于，若，求证：．
16．如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C A B B B D
1．B
【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求出，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出即可解决．
【详解】解：作，交延长线于点E，
，
，
的长是，
，
则乘电梯从点到点上升的高度是，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案.
【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C
3．A
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
故选A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接，，
中，，，
．
是的垂直平分线，，
，
∴，
，即．
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，即．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键．过点作于点，与交于点，由平移的性质可知，，，，，进而推出，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出，再结合阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，与交于点，
，
，
由平移的性质可知，，，，，
，
，
，
在中，，，
，
，
阴影部分的面积，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形内角和等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可知且，且，再根据以及四边形内角和为解得，进而确定，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求得答案．
【详解】解：根据题意，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，
则且，且，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．
【分析】本题考查平移的性质，角的直角三角形的性质，过点作于点C，根据角的直角三角形的性质求出，然后根据平行四边形的面积公式计算解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点C，
则，
∴线段所扫过的区域面积是
故答案为：．
9．2
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，
作于，则，
∴，即直尺的宽度是，
故答案为：．
10．6
【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
由等腰三角形的性质可以求得，以及和的度数，从而可以求得、的长，从而可以求得的长，据此求解即可．
【详解】如图，连接，
∵在中，，，D是的中点，
∴，，
∴，
∵于点E，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
11．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮的价格：元．
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：当时，
∵，，
∴，
∴
∴，
又∵
∴，
∴，
当时，
如图
∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．利用垂线段最短分析可知：与重合时为3，根据含角的直角三角形的性质得出，结合点P不与点C，B重合，由此可得到答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3，
∵在中，，，，
∴，
∵点P不与点C，B重合，
∴的取值范围是，
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法，含角的直角三角形的性质，正确作图是关键．
（1）根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置；
（2）过点A作于点H，得到，根据含角的直角三角形的性质得到，再根据即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置．
（2）过点A作于点H，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
解得，
即的长度为．
15．(1)；
(2)证明见解析；
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答；
（2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出；
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
，
，
∴，
∴
．
（2）证明：由（1）得：，
，，，
，
∴，
，
∴，
．
16．(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形；
（2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作，交于点，
∵是边的垂直平分线，
是直角三角形，
在中，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，
∴
∴在中，，
∴，
由（1）得，
∴是等腰三角形，
根据三线合一得，，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑