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15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 过关练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．，两边中线的交点处
B．，两边垂直平分线的交点处
C．，两边高线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
3．如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
4．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
5．已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题
C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题
6．下列命题中：
相等的角是对顶角；
直角三角形两个锐角互余；
如果，则；
如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．
逆命题是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．下列命题：①两直线平行，同位角相等；②两个全等三角形的面积相等；③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：④若，则．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
9．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ．
10．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点F，若，则 ．
11．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ．
12．如图，五边形ABCDE是正五边形，直线，点P在直线MN上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线MN上会发出警报的点有 个．
13．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）．
三、解答题
14．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：．
15．如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，当，，时，求的长．
16．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B A C B B C
1．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质定理，可得，从而得到，再由的周长为，可得到，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故A符合题意；
B、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故B不符合题意；
C、∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，故C不符合题意；
D、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故D不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长为：，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键．
【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”．
逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误．
由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误．
命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确．
命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键．
【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真；
命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真；
命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假；
命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假；
综上，逆命题为真的有个，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查命题真假的判断，互逆命题的定义，需要判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题，逐一分析后统计符合条件的个数．
【详解】解：①原命题：“两直线平行，同位角相等”是真命题（平行线性质定理）；
逆命题：“同位角相等，两直线平行”也是真命题（平行线判定定理）；故①符合题意；
②原命题：“两个全等三角形的面积相等”是真命题（全等三角形性质）；
逆命题：“面积相等的三角形全等”是假命题（反例：底和高不同但面积相等的三角形不全等）；故②不合题意；
③原命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”是真命题（垂直平分线性质定理）；
逆命题：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”也是真命题（垂直平分线判定定理）；故③符合题意；
④原命题：“若，则”是真命题（当时，无意义，故条件成立时）；
逆命题：“若，则”也是真命题（当时，有意义且值为1）；故④符合题意；
综上，命题①、③、④的原命题和逆命题均为真命题，共3个；
故选：C．
8．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．5
【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可．
【详解】解：，，
∴点C，点D在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
故答案为：5
10．8
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：∵垂直平分线段于点，垂直平分线段于点F，
∴，
∴
故答案为：8
11．32
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
12．5
【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．
【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知，
直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点，
如图所示：共五个．
故答案为：5．
13．如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形
【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答．
【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”．
故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形．
14．见解析
【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可．
本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴．
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
根据得，，再根据点为的中点得，由此可依据“”判定和全等；
（2）根据和全等得，，进而得，是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出的长．
【详解】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：由可知：，
，，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图所示：连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：，，
，，，
，
设，，
，，，，
，，
，
，
∴，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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