资源简介

*4.5　相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
掌握判定两个三角形相似的方法及证明过程，并应用它解决一些实际问题．
【学习重点】
判定定理的证明．
【学习难点】
会用定理解决一些实际问题．`
学习过程
一、情景导入，初步认识
三角形相似的判定定理有哪些？你能证明这些定理吗？
二、思考探究，获取新知
1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99页．
2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100～101页．
3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101～102页．
三、运用新知，深化理解
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(　B　)
A．只有1个　　　　　　　B．可以有2个
C．有2个以上但有限 D．有无数个
2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　A　)
3．下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
(1)所有的直角三角形都相似；
(2)所有的等腰三角形都相似；
(3)所有的等腰直角三角形都相似；
(4)所有的等边三角形都相似．
分析： (1)不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．(2)不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．(3)正确．设有等腰直角三角形ABC和A′B′C′，其中∠C＝∠C′＝90°，则∠A＝∠A′＝45°，∠B＝∠B′＝45°，设△ABC的三边为a，b，c，△A′B′C′的三边为a′，b′，c′，则a＝b，c＝a，a′＝b′，c′＝a′，∴＝，＝，∴△ABC∽△A′B′C′.(4)正确，如△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此△ABC∽△A′B′C′.
解：(1)(2)不正确．(3)(4)正确．
4．如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接ED，求证：△DBE∽△ABC.
分析： 由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，∴∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，
∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，
∴△CBE∽△ABD，∴＝，
即＝，∵∠CBE＝∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC.4．2　平行线分线段成比例
【学习目标】
在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用．会作已知线段成已知比的作图题．
【学习重点】
定理的应用．
【学习难点】
定理的推导证明．
学习过程
一、情景导入，初步认识
1．求出下列各式中的x∶y.
(1)3x＝5y；　　　(2)x＝23y；
(3)3∶2＝y∶x; (4)3∶x＝5∶y.
2．已知＝，求.
3．已知＝＝，求.
二、思考探究，获取新知
1．在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．首先复习一下平行线等分线段定理，如图①，∵AD∥BE∥CF ，且AB＝BC ，则DE＝EF.
(1)图①中若AD∥BE∥CF，则 ＝ 成立吗？
解：∵AB＝BC，DE＝EF，
∴＝＝1.
(2)如果将CF向下平移到如图②的位置，则＝仍成立吗？
解：若AD∥BE∥CF，则＝＝.
(3)在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，＝这个结论成立吗？
解：成立．
【归纳总结】
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2．在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由．
3．与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段．
(1)在图①中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB，AC相交于点D，E，
则有＝，＝，＝；
(2)在图②中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB，AC的反向延长线相交于点D，E，
则有＝，＝，＝.
【归纳结论】
平行于三角形一边的直线与三角形其他的两边或两边的延长线相交，截得的对应线段成比例．
三、运用新知，深化理解
1．若＝，＝，求 的值．
解：∵＝，＝，∴a＝b，c＝b，
∴＝＝.
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC∶BD＝1∶3，AE∶EC＝2∶1，AD与BE交于点F，求AF∶FD的值．
解：过点D作DH∥BE交AC于点H，∵DC∶BD＝1∶3，
∴＝＝3，∴EH＝EC，
∵AE∶EC＝2∶1，∴AE＝2EC.
∴＝＝.
四、学习小结
平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广．第3课时　黄金分割
【学习目标】
理解黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点．
【学习重点】
找一条线段的黄金分割点．
【学习难点】
黄金分割比的应用．
学习过程
一、情景导入，初步认识
观察下面3张图片，哪张构图最美？
二、思考探究，获取新知
动手量一量，五角星图案中线段AC，BC的长度，然后计算与，它们的值相等吗？
【归纳结论】
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
三、运用新知，深化理解
1．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(　D　)
A.　　　　　B.
C. D.或
2．如图，在 ABCD中，E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为.
3．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.68 m，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02 m，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美？(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是x cm，则
＝0.618，解得x≈4.8.
∴她应该选择约4.8 cm的高跟鞋看起来更美．
4．已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
(1)延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A，F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；
(2)连接AD，在AD上截取DE＝DB；(3)在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点．4．7　相似三角形的性质
【学习目标】
1．理解并掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)比与相似比之间的关系．
2．理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系．
【学习重点】
相似三角形性质定理的探索及应用．
【学习难点】
相似三角形的性质与判定的综合应用．
学习过程
一、情景导入，初步认识
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3．相似三角形还有其它的性质吗？
二、思考探究，获取新知
1．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
2．△ABC ∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE，A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′＝k，那么AD与A′D′，AE与A′E′之间有怎样的关系？
【归纳结论】
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
3．如图，△ABC∽△A′B′C′，＝k，AD，A′D′为高线．
(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？
分析：(1)∵△ABC ∽△A′B′C′，∴AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝AC∶A′C′＝k, 由合比性质可知(AB＋BC＋AC) ∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k；(2)由题意可知 △ABD∽△A′B′D′，∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k, 因此可得△ABC的面积∶△A′B′C′的面积＝(AD·BC)∶(A′D′·B′C′)＝k2.
【归纳总结】
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．　　
三、运用新知，深化理解
1．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O, 则的值为（D）
A.　　　　　　　　　　　　　　　　　B.
C. D.
分析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴＝＝.
2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且＝，B′D′＝4，则BD的长为__6__.
3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8 cm, A′D′＝3 cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.
4．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的倍．
分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，∴边长应缩小到原来的倍．
5. 已知△ABC的三边长分别为5，12，13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
解：设△ABC的三边依次为BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.
又∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝90°. ＝＝＝＝，
∴B′C′＝10，A′C′＝24.∴S＝A′C′·B′C′＝120.
6．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF；
(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6 cm，EF＝4 cm，求CD的长．
(1)证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，
∴△CDF∽△BGF.
(2)解：∵△CDF∽△BGF，F是BC的中点，∴△CDF≌△BGF(AAS)，
∴DF＝FG，CD＝BG，又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG.
∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2 cm，
∴CD＝BG＝2 cm.4．4　探索三角形相似的条件
第1课时　三角形相似的判定定理(1)
【学习目标】
1．经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程．
2．能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题．
【学习重点】
三角形相似的判定定理1及应用．
【学习难点】
三角形相似的判定定理1的证明．
学习过程
一、情景导入，初步认识
现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？
二、思考探究，获取新知
1．动手实验： 现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请你当一当工人师傅，在纸片上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，多剪下几个三角形进行比较，研究其中两个三角形的关系．你有哪些发现？
可能得出下面结论：
① 这样的两个三角形不一定全等．
② 两个三角形三个角都对应相等．
③ 通过度量后计算，得到三边对应成比例．
④ 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．
猜想：两角对应相等，两三角形相似．
2．如图，在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.求证： △A′B′C′∽△ABC.
证明：在△ABC的AB上截取BD＝B′A′，过点D作DE∥AC，交BC于点E.∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，
∠A＝∠A′，
∴∠BDE＝∠A′.∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′.
∴△DBE≌△A′B′C′(ASA)，∴△ABC∽△A′B′C′.
【归纳结论】
判定定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．
三、运用新知，深化理解
1．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　√　)
(2)所有的直角三角形都相似．(　×　)
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　×　)
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　√　)
2．如图，点G在 ABCD的边DC的延长线上，AG交BC，BD于点E，F，则△AGD∽△EGC∽△EAB.
3．已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝75°，∠C＝50°，∠A′＝55°，问这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似．理由：在△ABC中，
∵∠B＝75°，∠C＝50°，∴∠A＝55°，
∴∠B＝∠B′，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′.
4．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°.
在△ABC和△BCD中，
∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，
∴△ABC∽△BDC.第2课时　三角形相似的判定定理(2)
【学习目标】
1．掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用．
2．理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系．
【学习重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．
【学习难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．
学习过程
一、情景导入，初步认识
问题：
(1)相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．
(2) 判断两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；
方法3：判定定理1, 两角分别相等的两个三角形相似.
二、思考探究，获取新知
1．完成教材P91的做一做．
【归纳结论】
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．证明：三边对应成比例，两三角形相似．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，求AD的长．
分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似．再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长．
解：由已知条件可得＝，
∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△DCA，∴＝，
又∵AC＝5，BC＝4，
∴AD＝＝＝.
2．如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC＝1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1 m)．
分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了．
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA.
∴MN∶BC＝AN∶AC，
即MN∶1.6＝20∶1.5，
∴MN＝1.6×20÷1.5≈21.3(m)．
∴楼房的高度约为21.3 m.
3．如图，下列图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等. (2)△ADE∽△ACB，两角相等．(3)△CDE∽△CAB，两角相等．(4)△FAB∽△ECD，三边对应成比例．(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．4．3　相似多边形
【学习目标】
1．了解相似多边形的概念和性质．
2．在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似．
3．会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
【学习重点】
相似多边形的定义和性质．
【学习难点】
如何判断两个多边形是否相似．
学习过程
一、情景导入，初步认识
如图，四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象．
请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数．
然后思考：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
二、思考探究，获取新知
1．相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.相似多边形对应边的比叫做相似比．图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k＝.
2．观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？
这两个五边形是相似图形，即＝＝＝＝＝.
3．问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
【归纳结论】
各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．相似用“∽”表示，读作“相似于”．
三、运用新知，深化理解
1．下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
(1) 正三角形ABC与正三角形DEF；
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝ 60°.由于正三角形三边相等，∴AB∶DE＝BC∶EF＝CA∶FD.
(2)由于正方形的每个角都是直角，∴∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°，由于正方形的四边相等，∴AB∶EF＝BC∶FG＝CD∶GH＝DA∶HE.
2．两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，求后一个五边形的最短边的长．
分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得．
解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是＝，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则＝，解得x＝2，即后一个五边形的最短边的长为2.
3．设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1，B与B1，C与C1，D与D1是对应点，已知AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，求四边形A1B1C1D1的周长．
分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，可求得A1B1C1D1的其它边的长，可求得周长．
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴＝＝＝.
又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，
∴＝＝＝，
∴B1C1＝12，C1D1＝12，D1A1＝6，
∴四边形A1B1C1D1的周长为8＋12＋12＋6＝38.4．6　利用相似三角形测高
【学习目标】
会用相似三角形解决实际问题．
【学习重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
【学习难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．
学习过程
一、情景导入，初步认识
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、思考探究，获取新知
1．利用阳光下的影子测量旗杆高度．
从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形．即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据＝可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
2．利用标杆测量旗杆高度．
当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于点G，交标杆EF于点H，于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE，AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB，
由＝得GC＝，
∴旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD.
[对比]过D，F分别作EF，BC的垂线交EF于点H，交BC于点M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC.∴由＝，可求得MC的长．于是旗杆的长BC＝MC＋MB＝MC＋EF.
3．利用镜子的反射测量旗杆高度．
这里涉及到物理上的反射原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，
∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，
∴△EAD∽△EBC，测出AE，EB与观测者身高AD，可求得BC＝.
问：你还可以用什么方法来测旗杆的高度？现在你能测量金字塔的高度了吗？
三、运用新知，深化理解
1．如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 cm，求电线杆的高．
解：∵AE⊥EC，DF∥EC，
∴△ADF∽△AEC.∴＝.
又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，∴＝，∴＝.
又DF＝60 cm＝0.6 m，GF＝12 cm＝0.12 m，
EC＝30 m，
∴BC＝6 m．即电线杆的高为6 m.
2．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1 000步(1步等于5尺)，并且AB，CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？(1丈＝10尺，1 m＝3尺)
解：由题易得，△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH.
∴＝，
　　＝，
∵CD＝EF＝3丈＝6步，DG＝123步，FH＝127步，
∴＝.
＝，
解得AB＝1 506步＝2 510 m，
BD＝30 750步＝51 250 m.
答：山峰高度AB为2 510 m，水平距离BD为51 250 m.第四章　图形的相似
4．1　成比例线段
【学习目标】
1．通过简单实例了解两条线段的比的概念．
2．能用比例的基本性质推出等比性质．
3．学会设“k”法解答比例的相关问题．
【学习重点】
成比例线段的基本性质．
【学习难点】
成比例线段的基本性质．
学习过程
一、情景导入，初步认识
a.
b.
c.
d.
请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？
了解线段的比就是线段长度的比．
线段的比要注意以下几点：
(1)线段的比是正数．
(2)单位要统一．
(3)线段的比与线段的长度有关．
二、思考探究，获取新知
1．由下面的格点图可知，＝，＝，这样与之间是相等关系．
【归纳结论】
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
2．如果四条线段a，b，c，d成比例，即＝.那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a，b，c，d成比例吗？
【归纳结论】
如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
3．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，那么＝k成立吗？为什么？
【归纳结论】
如果＝＝＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝k.
三、运用新知，深化理解
1．已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1)a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm；
(2)a＝8 cm，b＝5 cm，c＝6 cm，d＝10 cm.
解：(1)＝2，＝2，则＝，∴a，b，d，c成比例．
(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，
∴a，b，c，d四条线段不成比例．
2．已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，求线段d的长．
解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴＝或＝或＝，解得d＝4或9或1，
∴线段d的长为1 cm，4 cm或9 cm.
3．若＝＝3，则＝成立吗？
解：由＝＝3，得a＝3b，c＝3d.∴＝＝2，＝＝2，∴＝.
4．已知k＝＝＝，求k的值．
分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a＋b＋c＝0这种情况漏掉．
解：当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，k＝＝－1；当a＋b＋c≠0时，可以用等比性质k＝＝2.∴k＝－1或k＝2.
5．已知a∶b∶c＝4∶3∶2，且a＋3b－3c＝14.
(1)求a，b，c的值；
(2)求4a－3b＋c的值．
解：(1)设a＝4k，b＝3k，c＝2k.∵a＋3b－3c＝14，
∴7k＝14，∴k＝2，∴a＝8，b＝6，c＝4.
(2)4a－3b＋c＝32－18＋4＝18.
6．在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15 cm，AC＝10 cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2 cm，求BC.
解：∵AB＝15，AC＝10，∴＝＝＝.
设BD＝3k，DC＝2k，∵BD－DC＝2，∴k＝2.
∴BC＝3k＋2k＝5k＝10(cm)．4．8　图形的位似
【学习目标】
1．了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心．
2．理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题．
【学习重点】
探索位似概念、位似图形的性质的过程及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小．
【学习难点】
探索位似概念、位似图形的性质的过程及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小．
学习过程
一、情景导入，初步认识
下列图片是形状相同的一组图形．在图①上取一点A与图②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？
二、思考探究，获取新知
1．观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？
【归纳总结】
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．
注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条件缺一不可：
①两图形相似；
②每组对应点所在直线都经过同一点；
③对应边互相平行(或在同一直线上)．
2．把下面的四边形缩小到原来的.
解：如图所示．
四边形A′B′C′D′即为所求．
【归纳总结】画位似图形的方法：①确定位似中心；②找对应点；③连线；④下结论．
三、运用新知，深化理解
1. 下列说法中正确的是(　D　)
A．位似图形可以通过平移而相互得到　　　　
B．位似图形的对应边平行且相等
C．位似图形的位似中心不只有一个
D．位似中心到对应点的距离之比都相等
2．如图，△ABC，请在网格中画出把△ABC以C为位似中心放大2倍的三角形．
解：如图，△A′B′C即为所求．

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