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15.3.1 等腰三角形 第2课时 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（ ）

A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里
2．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别为32、24，则的长为（　　）
A．8 B．15 C．12 D．6
3．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无法求出
5．如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（ ）
A．17 B．20 C．22 D．26
7．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
9．在中，，，则的长度为 ．
10．如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ．
11．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ．
12．如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ．
13．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ．
三、解答题
14．如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形．
15．如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形．
（1）在图中画出
（2）已知，求
16．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B C B C A
1．C
【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由题意可得：，运用三角形内角和定理可得，即，再根据等角对等边以及行程问题即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
，
，
（海里）．
故选C．
2．A
【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴的周长，
∵的周长，
∴．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案．
【详解】解：过点作，如图所示：
由题意可知，，且，
为的角平分线，
则，
，
，
则，
，
点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，
，则，
故选：B．
4．B
【分析】此题考查了平行线的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，熟练掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，即可得到，求出的长即可．
【详解】解：∵是的角平分线，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
5．C
【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答．
【详解】解：依题意，当时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
当时，如图所示：
此时满足条件的点P有两个；
当时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
综上满足在坐标轴上的点一共有个，
故选：C
6．B
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答．
【详解】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故选：B
7．C
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键．
【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D，
∴,
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形．
延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．2
【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故答案为：2．
10．20
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：20．
11．14
【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
.
故答案为：14．
12．2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
13．21
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长，
故答案为：．
14．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
15．（1）见解析；（2）70°或20°
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）．
（2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求．
（2）在△ABC中，∵∠CAB=40°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=（180°-40°）=70°．
在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′，
∴∠AC′B=∠ABC′=（180°-140°）=20°．
综上所述，∠ACB=70°或20°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）如图，连接，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又中，，
，
，
．
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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