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15.3.1 等腰三角形第1课时 课时练 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，是边上的中线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则 ．
9．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为 度．
10．如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是 ．
11．中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于 ．
12．如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，在中，平分，E是的中点，过点E作的垂线交于点F，连接．若，，求的度数．
14．如图，在中，，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)若，求的长度；
(2)求的度数．
15．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A C B D A D
1．B
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，再利用等边对等角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先求出，再根据等腰三角形性质求出结论即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
，
故选：A．
3．C
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
是等腰三角形，
又是等腰的顶角的平分线，
，，
故选项A，B正确，不符合题意；
，
是等腰三角形，
又，
，
故选项D正确，不符合题意；
根据已知条件无法判定，
选项C错误，符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和，解决本题的关键是掌握三线合一的性质．
根据等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，，
，
是的角平分线，
，
故选B．
5．D
【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵在中，，点E为中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D．
6．A
【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
是中的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．/36度
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线得到，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
9．37
【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．
【详解】解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=74°是解本题的关键．
10．/115度
【分析】此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数．
【详解】解：∵的平分线交于点E，，
∴，
∵垂直平分线段于点D，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段中垂线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是考虑中垂线与直线相交的两种情况（与边相交或与延长线相交），避免漏解．
明确等腰三角形的底角相等；利用中垂线垂直的性质，结合中垂线与直线的夹角为，分锐角三角形和钝角三角形两种情况计算顶角的度数；再根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：设的中垂线为，D为的中点，则，即，与直线交于点E，已知与直线所成的角为，即．
情况1：当与边相交时，在中，
．
∵，
∴，由三角形内角和定理得：
．
情况2：当与的延长线相交时，在中，
其外角．
∵，
∴，由三角形内角和定理得：．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定．
利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理和外角的性质，等边对等角，能求出是解此题的关键，设，则，根据线段垂直平分线性质求出，推出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，则，
由题可知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质可得的度数，从而得到，再根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后再利用平角的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先根据等腰三角形的两底角相等及三线合一性质得到，，再证明，得到，即得答案；
（2）设，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
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