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15.3.2 等边三角形第1课时 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
3．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中真命题的个数是（　　）
①三边相等的三角形是等边三角形
②三个内角相等的三角形是等边三角形
③有一个内角是的三角形是等边三角形
④有两个内角是的三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且．
求证：为等边三角形．
证明：，，◎，
（全等的判定方法为★）
⊙
⊙
，即为．
则回答错误的是（ ）
A．◎代表 B．★代表
C．⊙代表 D．代表等边三角形
二、填空题
9．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为 ．
10．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ．
11．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为 ．
13．用10个等边三角形拼成一个五边形如图所示，已知最小的等边三角形的边长是1，则最大的等边三角形（阴影部分）的边长为 ．
14．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．

三、解答题
15．如图，和都是等边三角形，连接、交于点O．且分别交、于点F、G．
(1)求证：；
(2)求的度数．
16．如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形．
17．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D B C B C B
1．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的定义和性质，由等边三角形的性质得出，由三角形外角的定义和性质可求出．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选：A
2．D
【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：与都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确；
“三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确；
“有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误；
“有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．
根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可．
【详解】证明：，，，
（全等的判定方法为）
，即为等边三角形．
即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形，
只有选项B符合；
故选：B．
9．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可．
【详解】解：AD是等边三角形ABC的角平分线，
．
以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，
，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．
【详解】解：∵等边的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：．
11．/80度
【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键．
根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
∴．，
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法．
连接，证明为等边三角形，得出即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
13．7
【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
根据题意，设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是，根据等边三角形的性质，列方程求解即可得到，从而得到最大的等边三角形（阴影部分）的边长．
【详解】解：如图，
设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是，
所以其它等边三角形的边长分别，，，，
由图形得，，解得，
所以最大的等边三角形（阴影部分）的边长为：，
故答案为：．
14．，（答案不唯一）
【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形．
【详解】解：增加，理由为：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，明确题意，等边三角形和全等三角形的性质是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据等边三角形的性质结合全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴．
16．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵是的中点，
∴，
∵，，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
17．见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形．
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