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15.3.2 等边三角形第2课时 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
2．如图，将沿方向平移得到，点、、的对应点分别为点、、，与交于点，若，，，则的长度为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．如图，在中，，是角平分线，，，垂足分别为、．若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
4．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（ ）
A．10 B． C．15 D．
二、填空题
7．如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为 米．
8．如图，在点A处有，两条路，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南偏西方向行驶至点C，乙车沿正西方向行驶至点B．经测量，点C位于点B的南偏东方向上，若米，则点C到公路的距离为 米．
9．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．若，则的长为 ．
10．如图，是边长的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，P，Q两点停止运动，设点的运动时间为，则当 时，为直角三角形．
11．如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ．
13．如图，点D、E是等边的上的点，且，相交于P点，，已知，则 ．
三、解答题
14．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，求的长．
15．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，
(1)要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
(2)若，且，求的长度．
16．已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点作于，若，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D D C D C
1．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解．
【详解】解：直线恰好垂直平分线段，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： B．
2．D
【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】∵将沿方向平移得到，
，
，，
，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
先根据角平分线的性质得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：是角平分线，，，
，
在中，，
．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知：平分故①正确，
，
，
点在的垂直平分线上，故②正确，
，故③正确，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的特征，求出的长，再判定出是等边三角形，从而得到的长，进而得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
7．6
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为18米得到米，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，在中，，，
∴，
∵树高为18米，
∴米，
∴，
∴米，
故答案为：6．
8．150
【分析】本题考查了三角形内角和定理、等角对等边、直角三角形的性质，过点作于，则，由三角形内角和定理计算可得，由等角对等边可得米，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，
则，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
即点C到公路的距离为150米，
故答案为：150．
9．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，利用线段垂直平分线的性质得，进而由等腰三角形的性质得，再利用外角的性质得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，角的直角三角形的性质的运用，利用分类讨论是解题的关键．先分别表示出的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【详解】解：是等边三角形，
，
当时，，
，
，
，
解得，
当时，，
，
，
解得，
，
均符合题意，
故答案为：或．
11．
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，连接构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得出，，进而可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出的长．
【详解】解：连接，
中，，，
，
是的中垂线，
，，
，
，
是直角三角形，
∴，
，
．
12．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，
过点A作，在中，根据含直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得，即可得出答案.
【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D，
在中，，且，
∴.
∵点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即点.
故答案为：.
13．4
【分析】由题中条件可得，得出，，进而得出，又，所以在中，求解的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解；
（2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上，
∴，
，
，
于点，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由条件可知，
，
，
，
，
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法，含角的直角三角形的性质，正确作图是关键．
（1）根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置；
（2）过点A作于点H，得到，根据含角的直角三角形的性质得到，再根据即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置．
（2）过点A作于点H，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
解得，
即的长度为．
16．(1)；
(2)证明见解析；
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答；
（2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出；
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
，
，
∴，
∴
．
（2）证明：由（1）得：，
，，，
，
∴，
，
∴，
．
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