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2025-2026年度第一学期第一次学情调研
九年级数学试卷
班级________姓名_________学号__________
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若点（﹣2，a）在反比例函数的图象上，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．二次函数y＝（x+3）2+7的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　）
A．k＞2 B．k＜2 C．k≥2 D．k≤2
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜1 D．x＞﹣1
（第4题） （第6题） （第7题）
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　）
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
6．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣9
8．如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（　　）
A．小球的飞行高度为15 m时，小球飞行的时间是1 s
B．小球飞行3s时飞行高度为15 m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25 m
D．小球从飞出到落地要用4 s
9．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4
10．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝－2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝－2x+m的特征数是（　　）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
（第9题） （第16题） （第17题）
二、填空题（11-12，每题3分，其余每题4分，共30分）
11．将抛物线y＝x2﹣4向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 　 　 ．
12．如果函数y＝（m﹣1）x|m|－2是反比例函数，那么m的值是___________.
13．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为－5和3，则二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线　 　 ．
14．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝－（x﹣2）2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________.
15．在反比例函数y中，若2＜y＜4，则x的取值范围为_________.
16．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，则水面下降1 m时，水面宽度增加　 　 m．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y＝2x上．顶点Q在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为3，则k的值为　 　 ．
18．已知m2﹣2am+1＝0，n2﹣2（a+1）n+2a+2＝0，且a≥1，设k＝a（m+n），则k的最小值为 　 　 ．
三、解答题（共90分）
19．（10分）已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（－2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
20．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线．y＝－x+4与双曲线y（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点B坐标，并结合图象直接写出－x+4的解集．
22．（10分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若B（3，0），求F点坐标；
（2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式．
23．（12分）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）．
（1）若点（2，－1）在该函数图象上，则m＝　 　 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围．
24．（12分）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60 m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为450 m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口（此处不用栅栏）．
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
25．（13分）综合与实践
在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），M是x轴上一点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．
【操作与发现】
（1）当M为（0，0）时，点P的坐标为　 　 ；当M为（4，0）时，点P的坐标为　 　 ．
【猜想与证明】
（2）在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的　 　 图象．（请填序号：①一次函数②二次函数③反比例函数）
（3）设点P的坐标是（x，y），根据PA与PM的关系，确定x、y满足的关系式．
【实践与运用】
（4）运用所学知识，要使△AMP为钝角三角形，直接写出x的取值范围．
26．（13分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2，点P（m，2m）．
（1）若点P在二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2的图象上，求m的值；
（2）当点P所在的直线与二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标；
（3）已知，Q为抛物线对称轴上一点，以PQ为边作矩形PQMN，使点E为矩形PQMN的对称中心，若抛物线与矩形PQMN的边恰有两个公共点时，求m的取值范围．

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