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南平剑津中学2024-2025学年第一学期九年级第一次质量检测
数 学 试 题
（考试时间： 120分钟 满分：150分；）
★友情提示：请同学们注意整洁和书写规范。所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程 x2 - 2x = 0 的根为( ).
A.0 或 2 B.±2 C. 0 或－2 D.2
2. 关于抛物线y=2(x-1)2+3的描述中不正确的是( ).
A．开口向上； B．y随x的增大而减小；
C．顶点坐标为（1，3）； D．对称轴为x=1．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知 a是方程 x 2－2x－1=0 的一个根。则代数式 2a2－4a－1的值为( ).
A.1 B.－2 C.－2 或 1 D. 2
5. 抛物线 y＝(x＋4)2－3 可以由抛物线 y ＝x2 平移得到，则下列平移过程正确的是( ).
A. 先向左平移 4个单位，再向上平移 3个单位；
B. 先向右平移 4个单位，再向上平移 3个单位.
C. 先向右平移 4个单位，再向下平移 3个单位；
D. 先向左平移 4个单位，再向下平移 3个单位；
6. 某市2021年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则下列方程正确的是( ).
A． B．
C． D．
7. 点A(0,5),B(4,5)是抛物线y＝ax2+bx+c 上的两点，则该抛物线的顶点可能是 ( ).
A.(2,5) B.(5,2) C.(2,4) D.(4,2)
8. 函数 y ＝ -x2+2x+3, 当﹣2≤x≤2 时，y的最大值为 m,最小值为 n,则 m+n=( ).
A ．3 B ．－1 C ．－2 D ．1.
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ).
A．B．C．D．
10. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5；④，上述结论中正确结论的个数为( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）
11. 如图，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转50°到△A’B’C’，
若∠BAC=33°，则∠B’AC= ．
12. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程(x+2)5=0的解为 ．
13. 若x1,x2是方程的两个根，则的值为 ．
14. 当m＝　 　时，二次函数y＝x2﹣2x﹣m有最小值5．
15. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
16. 已知点 A(x1,y1)在直线 y=3x+19 上，点 B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线 y=x2+4x-1 上，若 y1=y2=y3 且 x1三、解答题（本大题共9小题，满分86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8分）用适当的方法解下列方程
（1） x2－2x－1=0 （2） x(x+4)=2x+8
18.（8分）我们规定:对于任意实数a，b，c，d，有 [a，b]*[c，d] = ac-bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1] = 3×5-2×1 = 13.
(1)求 [-4，3]*[2，-6] 的值；
(2)已知关于x的方程 [x，2x-1]*[mx+1，m]=0有两个实数根，求m的取值范围.
19. (8分)如图，△ABC中，∠C=90°
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90度，画出得到的△A’BC’；
(2)已知BC=3，AC=4，求AA’的长．
20.（8分）学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
21.（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
22．（10分）已知二次函数的图象经过点A（3，2）和B（0，﹣1）且对称轴为x＝1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在点C，使△BOC的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
23.（10分）某商店销售一款工艺品，每件成本为元.．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．
(1)每件工艺品的实际利润为 元（用含有的式子表示）；
(2)为达到每月销售利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
24.（12分）综合与实践


【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ACB=90°，∠ABC=45°，求证：BC=2OC．
【变式探究】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在的右侧作等边△ACD，取BD的中点P，连接CP．①求证：CP是AD的垂直平分线；②若BC=2，求CP的长．
【拓展提高】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，D为BC上的任意一点，将AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，旋转角为2α．取BE的中点P，连接CP，猜想BD与CP的数量关系，并给予证明．
25.（14分）定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点A、B，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点A到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点P为抛物线AB段上的一个动点，求△APB面积的最大值．南平剑津中学 2024-2025 学年第一学期九年级第一次质量检测答案
一.选择题
1-5 ABDAD 6-10ACBAB
二．填空题
11. 17度 12. x1=-7,x2=3 13. 5
14. -6 15.-3≤x≤0 16.-12三．解答题
17.（1）x1=1＋, x2=1- (2)x1=2, x2=-4
18.
19.
20.
21.
23.（1）每件工艺品的实际利润为：元，
故答案为：．
（2）设每件工艺品应降价x元，依题意得：
，
解得：，（不符题意，舍去）．
答：每件工艺品应降价元．
24.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
；
（2）①证明：延长至，使，连接，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
垂直平分，
，
为的中点，，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线；
②解：由①知是的中位线，
，
，
；
（3）解：．
理由：延长至，使，连接，，
同（2）可知是的中位线，
，
同（2）可知，，
，
，
将绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
．
25.解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即

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