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龙岩一中锦山学校2024–2025学年第一学期学情摸底练习
九年级数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．一元二次方程，常数项为（ ）.
A． B． C． D．
2．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　）.
①； ②； ③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）.
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
4．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　）.
A． B． C． D．
5．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
6．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）.
A． >- B． -且≠0 C．- D． >-且≠0
7．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）.
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
8．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C．或 D．或
9．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可以是（ ）.
A． B． C． D．
10．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
12．一元二次方程配方为，则k的值是 ．
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读活动, 开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
15．已知关于的二次函数，当时，的取值范围为 .
16．已知关于的方程的解是，，则关于的方程的解是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（12分）选择最佳方法解下列关于x的方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．（6分）若函数是关于x的二次函数，求m的值．
19．（8分）已知某抛物线的顶点为（2，4），且过点（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
21．（8分）某商店经销成本为每千克50元的水产品．根据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能销售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少．针对这种水产品的销售情况，该商店如果想在月进货成本不超过15000元的情况下，使月销售利润达到8000元，那么销售单价应定为多少元？
22．（10分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
23．（10分）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
(1) 若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
(2) 若是“倍根方程”，求代数式的值．
24．（12分）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足：，且，求的值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
八年级数学试卷第2页 共3页2024–2025学年第一学期九年级数学暑期学测试
九年级数学试卷参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．C； 2．C； 3．D； 4．B； 5．A； 6．B； 7．B； 8．C； 9．D； 10．C.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．； 12．１； 13．（-1，-3）； 14．； 15．；
16．或.
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（12分）(1)； (2)； (3)； (4)
18．（6分）解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
（8分）解：（1）∵抛物线的顶点为（2，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（1，2）代入上式得2＝a（1﹣2）2+4，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+4，
（2）∵抛物线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣2）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0＜2，
∴y1＜y2．
20．（8分）解：（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
21．（8分）解：由于水产品不超过，设定价为元，
则，
解得：，．
当时，进货，不符合题意，舍去，
当时，进货，符合题意．
答：在月销售成本不超过15000元的情况下，月销售利润达到8000元，销售单价应为90元．
22．（10分）（1）解：设边的长为米，则米，
根据题意可得， 解得，，
∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意，
∴米．
答：边的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 ，
整理，得 ，
∵，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
23．（10分）（1）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（2）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
24．（12分）（1），，，；
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
25．（12分）（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）存在．点的坐标为：或（3，-16）或．
【详解】∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
八年级数学试卷第2页 共3页

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