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2025-2026学年重庆市两江育才中学高一（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”的一个必要而不充分条件( )
A. B. C. D.
3.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”，后来，英国逻辑学家约翰韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”则图中的阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
4.已知，则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
5.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.集合，，之间的关系是( )
A. B. C. D.
7.若集合，则集合，的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
8.由无理数引发的数学危机已知延续带世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中不可能恒成立的是( )
A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列命题为真命题的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充要条件
10.对于实数，，，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.设正实数，满足，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是______．
13.已知集合，，则 ______．
14.已知，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，求：
；
．
16.本小题分
求下列各式的最值
已知，求的最大值．
当时，求的最大值．
17.本小题分
某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙足够长，其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形．
若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？
现有长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？
18.本小题分
已知命题：，；命题：，．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知全集，集合，．
若时，存在集合使得，求出这样的集合；
是否存在集合，满足？若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：，，
．
，
．
16.根据，可得，
因为，
所以，当且仅当，即时，取等号，
可知：当时，函数的最大值为；
根据，可得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为．
17.设长为米，宽为米，由每块田地面积，篱笆总长为，
由，根据基本不等式，
当且仅当且时取等号，解得，．
设长为米，宽为米，由篱笆总长，即，
将代入每块田地面积，得，
当时，最大，此时．
18.由题意可知，解得或，
故的取值范围为或；
命题为真命题时，
若时，显然满足，
当时，则，解得，
综上可得为真命题时，；
当命题真假时，，解得；
当命题假真时，得或
所以当命题，中恰有一个为真命题时，
实数的取值范围为或或
19.当时，，
，
又因为，
故集合共有如下个：，，，，，．
由可得，结合，
当，即，时，，满足题意，
当时，
若有两个不相等的实数根，又，
结合韦达定理可得两根，故，此时，
若有两个相等的实数根，即，则，
此时，不满足题意，
综上，实数的取值范围为．
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