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2025-2026学年广东省中山市濠头中学高一（上）月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知等差数列满足：，则的公差为( )
A. B. C. D.
6.已知圆的圆心在曲线上，圆与直线相切，则圆面积最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，复数满足，则( )
A. B. C. D. 的最大值为
10.函数，下列说法正确的是( )
A. 若函数在上是增函数，则
B. 若函数在处取得极大值，则
C. 若，则函数在闭区间上的最大值为
D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
11.已知双曲线：的右顶点为，其左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，记，内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 是锐角三角形 B. ，，三点共线
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若在二项式的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______．
13.已知等差数列的前项和为，且，则______．
14.如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点，经抛物线反射到点，反射光线与轴的交点为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为，且．
求；
求的值．
16.本小题分
如图，五边形中，，，，将三角形沿翻折，使得平面平面，如图．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ记直线与平面所成角为若，求的长．
17.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为．
求的方程；
过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，直线与交于点异于．
证明：为等腰三角形；
若点是的外心，求面积的最大值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
求证：．
19.本小题分
已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是，开始进攻时，球在乙手中．
求经过次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
经过次传球后，球回到乙手中的概率；
记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理及，得，
整理得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
因为的面积为，所以，即，
取的中点，连接，则，
所以．
16.解：Ⅰ证明：因为平面平面，平面，
平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面；
Ⅱ如图，过点作于点，则，
在中，，
所以，
得，
过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
所以，
解得，即．
17.解：由题意知，，解得，，
故E的方程为．
证明：设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，，，即，且，
若轴，则，此时直线的斜率，与不符，
所以直线，的斜率均存在，
因为，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
所以
，
即，
又因为，均在椭圆上，所以由椭圆对称性知，，
故为等腰三角形．
解：因为为等腰三角形，且，点是的外心，
所以点在轴上，
由知，
所以线段的中点坐标为，
所以中垂线所在直线方程为，
令，则，
所以面积，
令，设，
则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
故面积的最大值为．
18.当时，，，
，又，
曲线在点处的切线方程为，即；
，，
对于方程，，
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
，且，
当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，，，
函数在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减．
证明：由知，当时，函数在上单调递减，
又，当时，，
即当时，．
，，
即，
，
，
，
，
累加可得，，
即，
所以．
19.解：记事件“经过次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，则
．
记事件“次传球后球回到乙手中”，，则，
，，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即．
证明：事件“次传球后球到甲手中”，事件“次传球后球不在甲和乙手中”
则，
，
，两边同时乘以，
，
设，则有，而，
叠加得，
，
显然，当为奇数时，，当为偶数时，，
因此的的个数不少于满足的的个数．
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