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江西省创智协作体2026届高三上学期9月联合调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是方程“”表示双曲线的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，为空间不重合的两条直线，，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象若为奇函数，则正实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，且为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.设是，，，，的一个排列若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”则该起伏排列个数有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量~N(2,),若P(>3)=a,P(1<<2)=b,则下列说法正确的是（）
A. a+b= B. +1 C. + D. +6+4
10.设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，在轴上方，为坐标原点，，则( )
A. B.
C. 与面积之比为 D. 面积为
11.已知函数，，则有( )
A. 若函数有个极值点，则
B. 当时在处的切线与函数的图象有且仅有个交点
C. 若对都有，则
D. 当函数的图象经过的象限最多时的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中二项式系数最大项仅为第项，则其常数项为 ．
13.在三棱锥中，平面，，于点，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，，，A.则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
荔枝这种水果素有“红纱中裹着水晶丸”的美誉，不仅美味，而且还承载着丰富的文化历史每批荔枝进入市场前都会进行检测现随机抽取箱荔枝，其中有箱为一等品．
现从这箱中任取箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列与期望
从这箱荔枝中不放回的依次抽取箱，求在第一次取到一等品的前提下后二次至少一次抽到一等品的概率．
16.本小题分
如图，四棱锥中，为等边三角形，，，，为上一点，且平面．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足，且，．
求数列的通项公式
集合，将集合的所有非空子集中最小元素相加，其和记为，求．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的方程
设，为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于，两点，直线，交于点．
(ⅰ)求证点在定直线上
(ⅱ)设，，求的最大值．
19.本小题分
在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数已知曲线．
当时，求曲线在点处的曲率
已知曲线在不同的两点，处的曲率均为．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.ACD
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若随机抽取箱，则，，，，
，，
，
，
的分布列为：
．
设事件：设“第一次取到一等品”为事件，“后二次至少一次抽到一等品”为事件，
第一次从箱中取到一等品的概率，
第一次取到一等品，后二次至少一次取到一等品的概率，
先算第一次取到一等品，后两次都取不到一等品的概率，第一次取到一等品后还剩箱，
其中箱一等品，箱非一等品，后两次都取不到一等品的概率为，那么，
根据条件概率公式，。
16.证明：在等腰梯形中，由平面几何知识知：，连，
设．
在中，，
所以，
则．
又，，，平面，
平面，
而平面，
平面平面
解：由知平面平面，平面，
可以为原点，，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，
过作交于点，连，则，
在平面四边形中，
平面，面，面面，
，
平面四边形为平行四边形，
，为中点，
，
，，，
设平面的法向量为，
则有，即
取，，，．
设直线与平面所成的角为，
则，．
17.解：由递推式，得。
当时，数列通项可通过累乘法计算：
代入已知，且，，，，累乘得：
当时，，符合首项条件，故数列的通项公式为；
由知，设，若的子集中最小元素为，
则该子集元素由，，，并上后组成，
而由，，，组成的子集有个，
这些子集最小元素之和为．
．
．
得．
18.解：依题意，四边形面积为，，
又，，．椭圆方程为．
证明：由知可设直线方程为，，
联立，得，
，．，
直线方程为，直线方程为，
，
即点在定直线上，
解：依有设，若，，
则，
故当时，的最大值为．
19.解：求曲线在点处的曲率
当时，曲线方程为：，
，
，
因为曲率定义为：，
将代入得：
曲线曲率为当且仅当分母恒正，即：，
设，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
在处取得最小值：，
要使有两个不同正根，需满足：
最小值；
当时，；
当时，增长快于。
因此，的取值范围是
证明：由知可设，且，，
欲证．
即证．
构造函数．．
在上单调递减，．
即而．
令．
．
，，通分化简得．
欲证，即证．
即证．
令，．．
即证得在上单调递增，．
对于时，恒成立．
又当时，单调递增，，
即证得．
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