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2025-2026学年郑州市中牟锐翰高级中学高二上学期第一次月考
数学试卷（乙卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，，则向量的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则与的夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，与向量相等的向量有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量的说法，下列正确的是( )
A. 零向量与任何向量平行
B. 空间向量可以进行加法、减法和数乘运算
C. 如果，那么或
D. 两个相等的向量，它们的坐标也一定相同
10.已知向量，则下列运算结果正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的单位向量是
11.已知空间向量，则下列结论正确的是( )
A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则
C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得
12.在空间直角坐标系中，已知点，则下列叙述正确的是( )
A. 点关于轴的对称点坐标是
B. 点关于平面的对称点坐标是
C. 点关于原点的对称点坐标是
D. 点到平面的距离是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ．
14.已知，则 ．
15.已知，则 ．
16.已知向量，，若与垂直，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，，分别是棱的中点．
用向量表示向量、向量、向量；
证明．
18.本小题分
已知空间三点．
若三点共线，求实数的值．
若，求实数的值．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向．

建立空间直角坐标系，写出点、、的坐标．
求向量的坐标．
求向量与的夹角．
20.本小题分
已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
求点的坐标．
求直线的方向向量与平面的法向量
证明：平面．
求直线与平面所成角的度数．
21.本小题分
在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，点在棱上移动，且，
当为何值时，直线与平面平行？请说明理由．
当平面与平面垂直时，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.在平行六面体中，
，
，分别是棱的中点，
，
，
证明：由知，
又不共线，
所以．

18.由题意，又三点共线，
所以，可得，故；
由及，则，所以．

19.

因为正方体的棱长为，为坐标原点，
则的坐标为，
点在轴上，则，
点的坐标为．
由可知，，，则．
因为，，则，
且，则，
，，
则，
且，所以，
即向量与的夹角为．

20.由底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点，
根据题图知，；
由知，直线的方向向量分别为，，
由，，若是平面的一个法向量，
所以，可取；
由知，而是平面的一个法向量，所以平面；
由，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，而线面角的范围为，
所以直线与平面所成角为．

21.当时直线与平面平行，理由如下，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系，
则、、、，，
，，则，故，
由平面，平面，因此平面；
由知、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
由，可得，取，则，
当面与面垂直时，则．
且，整理可得，，解得．

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