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2025-2026学年上海市七宝中学高一上学期期初练习数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中的元素是的三边长，则一定不是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2.图中阴影部分所表示的集合是全集
A. B. C. D.
3.是一个完全平方数，则( )
A. 一定是完全平方数 B. 一定不是完全平方数
C. 一定是完全平方数 D. 一定不是完全平方数
4.已知、为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.请把命题“当两圆相切时，连心线过两圆的切点”改为“若，则”的形式： ．
6.已知正实数满足，求的最小值为 ．
7.已知全集为，若，则 ．
8.不等式的解集是 ．
9.关于的不等式的解集为 ．
10.已知集合，若用列举法表示，则 ．
11.已知，且，则 填中最恰当的一个
12.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，那么一次函数的图像不经过第 象限
13.关于的不等式的解集为 ．
14.关于方程有两个不同的根，则的取值范围是
15.已知在中，分别是斜边上的高和中线，若，则 ．
16.已知集合是由某些正整数组成的集合，并满足：，当且仅当，或正整数且则 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，全集为．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在边长为的正方形中，弧的圆心为，过弧上的点作弧的切线，与、分别相交于点、，的延长线交边于点．
设，，求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；
当时，求的长．
19.本小题分
求证：
若整数满足能被整除，则也能被整除；
是无理数；
是无理数．
20.本小题分
设为非空集合，定义其中表示有序对，称的任意非空子集为上的一个关系例如时，与都是上的关系设为非空集合上的关系给出如下定义：自反性若对任意，有，则称在上是自反的；对称性若对任意，有，则称在上是对称的；传递性若对任意，有，则称在上是传递的如果上关系同时满足上述条性质，则称为上的等价关系任给集合，定义为．
若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？不必说明理由
若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系．
若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由．
21.本小题分
世纪形式主义数学哲学流派的奠基人，数学家大卫希尔伯特，在前人的研究基础之上，通过严格的公理化方法重塑了欧几里得几何在他的观点下，最简单的几何就是所谓的“相交几何”，即一个非空有限集合的元素称为“点”带上的若干非空子集均称为“线”，并称该子集组为“线组”，并满足下述三条：
两点确定一条线对于任意不同两点，存在唯一的线，使得且；
一线至少含两点对于任意的线，存在不同两点，使得且；
总有三点不共线存在不同三点，使得对任意的线，不同时成立．
比如三元集带上其所有二元子集组，就构成了一个相交几何．
对于四元集，请写出两种不同的线组，使之成为两种不同结构的相交几何．
若一个相交几何中的两不同线满足，则称线平行问：在此意义下的两线平行是否一定具有传递性？请判断并说明理由．
是否存在某个相交几何，使中点的总数大于线的总数？请判断并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.若两圆相切，则这两圆的连心线过这两圆的切点答案不唯一
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.三
13.
14.
15.
16.
17.【详解】此时，则，；
当时显然满足要求，故，即
当时，则有，即
综上得．

18.【详解】根据切线长定理得，且，直角三角形中由勾股定理得，化简得，由，解得，也即函数定义域为所以函数解析式为．
当时，由知以为平面直角坐标系原点分别为轴建立平面直角坐标系，则，所以直线的斜率为，所以与垂直的直线的斜率为，而，所以，所以即长为．

19.【详解】反证法：假设不能被整除，则，
故，则不能被整除，
与“能被整除”矛盾，
故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被整除，则也能被整除；
反证：假设为有理数，即，互质，
则，即能被整除，
故由得，代回到得，
同理有，即均能被整除，与“互质”矛盾，
故假设不成立，则是无理数；
反证：假设为有理数，则，
而，故，
又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾，
故假设不成立，则为无理数．

20.【详解】由题意得，共有个元素，则有个非空子集，即上的关系有个
所有等价关系，，，，，共有个
证明：令，
因为的非空子集两两交集为空集，且
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，又因为，则，即在上是自反的．
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，又因为，则，即在上是对称的．
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，
又因为，
则，即在上是传递的．
综上所述，为上的等价关系
令，
因为为上的等价关系，则为集合的非空子集．
因为的非空子集两两交集为空集，且
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，必有，则．
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，则必有，故，
设，则除了集合外，其余集合不包含．
则，则，必有，则．
故，不管集合中有几个元素，都能保证，则．
综上所述，对上的任意等价关系，存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得．

21.【详解】线组
线组
判断：否．
反例：，线组为的所有二元子集构成的相交集合中，
取，，
则，即且，
但，即与不平行，故平行不具有传递性．
判断：否．
证明：任取相交几何，设其有个点与条线．
记为过点的线的总数，为中的最小值；
再记为线上点的总数，为中的最大值．
定义集合，并以表示中元素的总数．
分别通过“先点后线”与“先线后点”算两次统计，
得．
讨论：则由中及可得，，
取中一元使得过的线的总数为，
取中一元使得上共有个点，
则由可得否则可与上个点连出条不同的线由保证，
故过的线的总数，与“过的线的总数为”矛盾．
再取过但不是的另一线，
使得上点的总数是过的线中除外最多的由得的存在性，
并记上点的总数为．
分别统计上点的总数与外点的总数，得
分别统计过的线的总数与不过的线与分别都有交点的这部分的总数，
又得
由得由得
综上，
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