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湖北省部分高中协作体 2025—2026 学年上学期 9 月联考
高二数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合 A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合 A∩B 的元素个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知 a=log2e,b=ln 2,c=log
1
1
3,则 a,b,c 的大小关系为( )2
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
3.已知 f(x)=|3x-1|+2,若关于 x 的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0 有三个实根,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(2,3) D.(3,+∞)
4.已知函数 f(x)=2cos + π6 ,
π
设 a=f 7 ,b=f
π
6 ,c=f
π
4 ,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
5.“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论
过“勾三股四弦五”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年。如图,在矩形 ABCD
中,△ABC 满足“勾三股四弦五”,且 AB=3,E 为 AD 上一点,BE⊥AC。若 =λ +μ ,则 λ+μ 的
值为( )
A.- 9 725 B.25
C.1625 D.1
6.已知△ABC 中,角 A,B,C π π所对的边分别为 a,b,c,若 A=6,B=4,a=1,则 b=( )
A.2 B.1
C. 3 D. 2
7.若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则下列结论成立的是( )
A.α 内的所有直线与 a 异面
B.α 内不存在与 a 平行的直线
C.α 内存在唯一的直线与 a 平行
D.α 内的直线与 a 都相交公众号：高一高二高三试卷
8.为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层随机抽样的方式从甲村
和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是 3∶1,被抽到的参与环保调
研的村民中,甲村的人数比乙村多 8,则参与环保调研的总人数是( )
A.16 B.24
C.32 D.40
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.下列各图中,能表示函数 y=f(x)的图象的是( )
A　　　 B
C　　　 D
10.已知复数 z,w 均不为 0,则( )
A.z2=|z|2 B. =
2
| |2
C. = D.| | | | = | |
11. 有 一 组 样 本 数 据 x1,x2,…,xn, 由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1,y2,…,yn, 其 中
yi=xi+c(i=1,2,…,n),c 为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 。
13.如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为 8 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P
处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所
经过的最短路程是 m。
14.若 A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则 m+n= 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 14 分）
已知二次函数 f(x)=ax2-x+2a-1。
(1)若 f(x)在区间[1,2]上单调递减,求 a 的取值范围;(7 分)
(2)若 a>0,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式。(7 分)
16.（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)= 3cos xsin x+sin2x。
(1)化简 f(x)的表达式; (7 分)
(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间。(7 分)
17.（本小题满分 15 分）
已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角 C 的大小; (7 分)
(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 ·( )=18,求 c。(8 分)
18.（本小题满分 16 分）
如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4,点 M 为棱 AA1的中点,P,Q 分别为棱 BB1,CC1上的点,
且 B1P=CQ=1,PQ 交 BC1于点 N。
(1)求证:MN∥平面 ABCD; (8 分)
(2)求多面体 BDMPQ 的体积。(8 分)
19.（本小题满分 18 分）
如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,
AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。
(1)求线段 AC1的长; (6 分)
(2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值;(6 分)
(3)求证:AA1⊥BD。(6 分)
高二数学试题答案
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A B D B A
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.答案：ACD 10.答案：BCD 11.答案：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12.答案：340 13.答案：4 5 14.答案：3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 14 分）
解　(1)当 a>0 时,f(x)=ax2-x+2a-1 的图象开口向上,对称轴方程为 x= 12 ,所以 f(x)在区间[1,2]上
1 1
单调递减需同时满足2 ≥2,a>0,解得 02-x+2a-1 的图象开口向下,对称轴
方程为 x= 12 <0,所以 f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足 a<0。综上,a 的取值范围
1
是(-∞,0)∪ 0, 4 。(7 分)
1
(2)①当 0< 12 <1,即 a>2时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时 g(a)=f(1)=3a-2。
1≤ 1
1 1 1
②当 2 ≤2,
1
即4≤a≤2时,f(x)在区间 1, 上单调递减,在区间 ,22 2 上单调递增,此时 g(a)=f
1
2
1
=2a- 14 -1
1
。③当2 >2,即 06 3, ∈ 0, 1 ,
4
综上所述,g(a)= 2 1 1, ∈ 1 , 1 ,4 4 2 (7 分)
3 2, ∈ 1 , + ∞
2 。
16.（本小题满分 14 分）
1
解　(1)f(x)= 3cos sin +sin2 = 3sin 2 1cos 2 + 1 = sin 2 π +
2 2 2 6 2
。(7 分)
(2)函数 f(x) 2π π的最小正周期为 2 =π,令-2+2kπ≤2x-
π ≤ π6 2+2kπ,k∈Z, -
π
则 6+kπ≤x≤
π
3+kπ,k∈Z,所以函
数 f(x) π π的单调递增区间为 + π, + π6 3 ,k∈Z。(7 分)
17.（本小题满分 15 分）
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC 中,A+B=π-C,01
所以 sin(A+B)=sin C,所以 m·n=sin C。又 m·n=sin 2C,所以 sin 2C=sin C,得 cos C=2。
π
又因为 C∈(0,π),故 C=3。(7 分)
(2)由 sin A,sin C,sin B 成等差数列 ,可得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理 ,得 2c=a+b。因为
· ( )=18, 所 以 · =18, 即 abcos C=18, 所 以 ab=36 。 由 余 弦 定 理 , 得
c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以 c2=4c2-3×36,所以 c2=36,所以 c=6。(8 分)
18.（本小题满分 16 分）
解　(1)证明:因为 B1P=CQ=1,正方体的棱长为 4,所以 BP=C1Q=3,BP∥C1Q,
所以△BPN≌△C1QN。所以 BN=C1N,即点 N 为线段 BC1 的中点。过点 N 作 NE⊥BC,垂足为
点 E,连接 AE(图略), NE CC , NE=1则 ∥ 1 且 2CC1=2,所以 NE∥AM,且 NE=AM=2,
所以四边形 AMNE 为平行四边形。所以 MN∥AE。又 MN 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,
所以 MN∥平面 ABCD。(8 分)
(2)设多面体 BDMPQ 的体积为 V,连接 DP(图略),
则 V=V 1 2 1B MPD+VB QPD=2VD BMP=2×3 × △ × = × 2×3×4×4=16。(8 分)3
19.（本小题满分 18 分）
解　(1)设 =a, =b, 1=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。
因为 1 = + 1 = + + 1=a+b+c,
所以| 1|=|a+b+c|= ( + + )2 =
| |2 + | |2 + | |2 + 2( · + · + · ) = 12 + 12 + 22 + 2 × (0 1 1) = 2。
所以线段 AC1的长为 2。(6 分)
(2)设异面直线 AC1与 A1D 所成的角为 θ,
cos θ=|cos< , > | = | 1· 则 1 |1 1 。因为 1=a+b+c, 1 =b-c,所以
| 1|| 1 |
1· 1
=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,| 1 | = ( )2 = | |2 2 · + | |2 =
12 2 × ( 1) + 22 = 7 cos θ= | 1· 1 | = | 2| = 14。所以
| || | 2× 7 7
。
1 1
故异面直线 AC1与 A
14
1D 所成角的余弦值为 7 。(6 分)
(3)证明:因为 1=c, =b-a,所以 1· =c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以 1 ⊥ ,
即 AA1⊥BD。(6 分)
湖北省部分高中协作体 2025—2026 学年上学期 9 月联考
高二数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合 A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合 A∩B 的元素个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：如图,函数 y=x 与 y=x2的图象有两个交点,故集合 A∩B 有两个元素。故选 C。
答案：C
2.已知 a=log2e,b=ln 2,c=log
1
1
3,则 a,b,c 的大小关系为( )2
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析　(中间量法):因为 a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log
1
1
3=log23>log2e>1,所以 c>a>b。故选 D。2
答案：D
3.已知 f(x)=|3x-1|+2,若关于 x 的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0 有三个实根,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(2,3) D.(3,+∞)
解析　
因为[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0,所以 f(x)=2 或 f(x)=a,作出函数 f(x)的图象如图所示,
由图可得 f(x)=2 有一个实根 0,所以要使 f(x)=a 有两个不同非零实根,只需 2答案：C
4.已知函数 f(x)=2cos + π , a=f π ,b=f π ,c=f π6 设 7 6 4 ,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
解析　a=f π = 2cos13π7 42 ,b=f
π = 2cosπ6 3,c=f
π 5π
4 = 2cos12,因为 y=cos x 在[0,π]上单调递减,
13π
42
< π < 5π12,所以 a>b>c。故选 A。3
答案：A
5.“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论
过“勾三股四弦五”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年。如图,在矩形 ABCD
中,△ABC 满足“勾三股四弦五”,且 AB=3,E 为 AD 上一点,BE⊥AC。若 =λ +μ ,则 λ+μ 的
值为( )
A.- 9 B. 725 25
C.1625 D.1
解析　
由题意建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(0,0),A(0,3),C(4,0), =(0,3), =(4,-3)。
设|AE|=a,则 E(a,3), =(a,3)。因为 BE⊥AC,所以 · =4a-9=0, 9解得 a=4。
9 16 + 4 = 0, = ,
由 =λ +μ ,得(0,3)=λ
9 ,3 4 25
4 +μ(4,-3),所以 3 3 = 3, 解得 = 9 ,
25
7
所以 λ+μ=25。故选 B。
答案：B
6.已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=π6,B=
π
4,a=1,则 b=( )
A.2 B.1
C. 3 D. 2
sin π
解析 = , b= sin 2　由 4sin sin 得 sin = π = × 2 = 2。故选 D。sin 2
6
答案：D
7.若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则下列结论成立的是( )
A.α 内的所有直线与 a 异面
B.α 内不存在与 a 平行的直线
C.α 内存在唯一的直线与 a 平行
D.α 内的直线与 a 都相交
解析　若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则线面相交。A 不正确,α 内存在直线与 a 相交;B 正
确,C 不正确,因为 α 内的直线与直线 a 的位置关系是相交或者异面,不可能平行;D 不正确,α 内
只有过直线 a 与平面的交点的直线与 a 相交。故选 B。
答案：B
8.为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层随机抽样的方式从甲村
和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是 3∶1,被抽到的参与环保调
研的村民中,甲村的人数比乙村多 8,则参与环保调研的总人数是( )
A.16 B.24
C.32 D.40
解析　设参与环保调研的总人数为 4n,则甲村和乙村参与环保调研的人数分别为 3n,n。甲村
的人数比乙村多 8,即 3n-n=2n=8,解得 n=4,所以参与环保调研的总人数为 4n=16。故选 A。
答案：A
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.下列各图中,能表示函数 y=f(x)的图象的是( )
A　　　 B
C　　　 D
解析　选项 B 中图象,对于 x≠0 的一个 x 值,有两个 y 值与之对应,故不是函数图象;选项 A,C,D
中图象,均满足函数定义,故是函数图象。故选 ACD。
答案：ACD
10.已知复数 z,w 均不为 0,则( )
A.z2
2
=|z|2 B. =
| |2
C. = D.| | = | || |
解析　设 z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R)。
对 A:z2=(a+bi)2=a2
2
+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2= 2 + 2 =a2+b2,故 A 错误;
B: =
2
, ·z=| |2, =
2
对 又 即有 ,故 B 正确;对 C:z-w=a+bi-c-di=a-c+( )i,
· | |2
则 = ( )i, =a-bi, =c-di,则 = i + i = ( )i,
即有 = ,故 C 正确;
D:| | = | + i = ( + i)( i) = + ( )i = + 2 + 2对 = + i| |( + i)( i)| | 2+ 2 | 2+ 2 2+ 2
2 2+2 cd+ 2 2+ 2 2 2 cd+ 2 2 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2=
2
=
2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2
( 2+ 2)2 ( 2+ 2)2 2+ 2
,
| | 2+ 2 2+ 2× 2+ 2 ( 2+ 2= = = )(
2+ 2) =
2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2 | , | = | |故 ,故 D 正确。
| | 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 | |
故选 BCD。
答案：BCD
11. 有 一 组 样 本 数 据 x1,x2,…,xn, 由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1,y2,…,yn, 其 中
yi=xi+c(i=1,2,…,n),c 为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
解析　设样本数据 x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为 ,m,σ,t,依题意得,新样
本数据 y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为 +c,m+c,σ,t,因为 c≠0,所以 C,D 正
确。故选 CD。
答案：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 。
解析　因为 f(x+6)=f(x),所以 f(x)的周期 T=6,
于是 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,
所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而 2 024=6×337+2,
所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340。
答案：340
13.如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为 8 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P
处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所
经过的最短路程是 m。
解析　将圆锥沿母线 AC 所在直线展开,如图所示,根据题意可得△ABC 是边长为 8 m 的正三
角形,所以 BC=8 m,所以圆锥底面圆周长为 2π×4=8π(m)。设圆锥侧面展开后的扇形所对的圆
心角为 n,点 B 在展开图中对应的点为 B',连接 AB',B'P。根据底面圆的周长等于展开后扇形的
弧长,可得 8n=8π,故 n=π,则∠B'AC=π2,所以B'P= 64 + 16 = 4 5(m),所以小猫所经过的最短路
程是 4 5 m。
答案：4 5
14.若 A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则 m+n= 。
解析　因为 =(3,-1,1), =(m+1,n-2,-2),且 A,B,C 三点共线,所以存在实数 λ,使得 =λ ,
+ 1 = 3 , = 2,
即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以 2 = , 解得 = 7,所以 m+n=-3。 2 = , = 4。
答案：3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 14 分）
已知二次函数 f(x)=ax2-x+2a-1。
(1)若 f(x)在区间[1,2]上单调递减,求 a 的取值范围;(7 分)
(2)若 a>0,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式。(7 分)
解　(1)当 a>0 时,f(x)=ax2-x+2a-1 1的图象开口向上,对称轴方程为 x=2 ,所以 f(x)在区间[1,2]上
1 1
单调递减需同时满足2 ≥2,a>0,解得 02-x+2a-1 的图象开口向下,对称轴
方程为 x= 12 <0,所以 f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足 a<0。综上,a 的取值范围
1
是(-∞,0)∪ 0, 4 。(7 分)
1
(2)①当 0< 12 <1,即 a>2时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时 g(a)=f(1)=3a-2。
1
②当 1≤ 1 ≤2, 1即 ≤a≤ 时,f(x)在区间 1,
1 1
上单调递减,在区间 ,22 4 2 2 2 上单调递增,此时 g(a)=f
1
2
1 1 1=2a-4 -1。③当2 >2,即 06 3, ∈ 0, 1 ,
4
综上所述,g(a)= 2 1 1, ∈ 1 , 1 ,4 4 2 (7 分)
3 2, ∈ 1 , + ∞
2 。
16.（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)= 3cos xsin x+sin2x。
(1)化简 f(x)的表达式; (7 分)
(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间。(7 分)
1
解　(1)f(x)= 3cos sin +sin2 = 3sin 2 1cos 2 + 1 = sin 2 π + 。(7 分)
2 2 2 6 2
( 2π π π π π π2)函数 f(x)的最小正周期为 2 =π,令-2+2kπ≤2x-6 ≤ 2+2kπ,k∈Z,则-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z,所以函
数 f(x) π π的单调递增区间为 + π, + π6 3 ,k∈Z。(7 分)
17.（本小题满分 15 分）
已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角 C 的大小; (7 分)
(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 ·( )=18,求 c。(8 分)
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC 中,A+B=π-C,01
所以 sin(A+B)=sin C,所以 m·n=sin C。又 m·n=sin 2C,所以 sin 2C=sin C,得 cos C=2。
π
又因为 C∈(0,π),故 C=3。(7 分)
(2)由 sin A,sin C,sin B 成等差数列 ,可得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理 ,得 2c=a+b。因为
· ( )=18, 所 以 · =18, 即 abcos C=18, 所 以 ab=36 。 由 余 弦 定 理 , 得
c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以 c2=4c2-3×36,所以 c2=36,所以 c=6。(8 分)
18.（本小题满分 16 分）
如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4,点 M 为棱 AA1的中点,P,Q 分别为棱 BB1,CC1上的点,
且 B1P=CQ=1,PQ 交 BC1于点 N。
(1)求证:MN∥平面 ABCD; (8 分)
(2)求多面体 BDMPQ 的体积。(8 分)
解　(1)证明:因为 B1P=CQ=1,正方体的棱长为 4,所以 BP=C1Q=3,BP∥C1Q,
所以△BPN≌△C1QN。所以 BN=C1N,即点 N 为线段 BC1 的中点。过点 N 作 NE⊥BC,垂足为
点 E,连接 AE(图略),则 NE∥CC1,且 NE=
1
2CC1=2,所以 NE∥AM,且 NE=AM=2,
所以四边形 AMNE 为平行四边形。所以 MN∥AE。又 MN 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,
所以 MN∥平面 ABCD。(8 分)
(2)设多面体 BDMPQ 的体积为 V,连接 DP(图略),
则 V=VB MPD+V =2V =2×
1
B QPD D BMP 3 × △ × =
2 × 12×3×4×4=16。(8 分)3
19.（本小题满分 18 分）
如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,
AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。
(1)求线段 AC1的长; (6 分)
(2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值;(6 分)
(3)求证:AA1⊥BD。(6 分)
解　(1)设 =a, =b, 1=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。
因为 1 = + 1 = + + 1=a+b+c,
所以| 1|=|a+b+c|= ( + + )2 =
| |2 + | |2 + | |2 + 2( · + · + · ) = 12 + 12 + 22 + 2 × (0 1 1) = 2。
所以线段 AC1的长为 2。(6 分)
(2)设异面直线 AC1与 A1D 所成的角为 θ,
cos θ=|cos< , > | = | 1· 则 1 |1 1 。因为 1=a+b+c, 1 =b-c,所以
| 1|| 1 |
1· 1
=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,| 1 | = ( )2 = | |2 2 · + | |2 =
12 2 × ( 1) + 22 = 7 cos θ= | 1· 1 | = | 2| = 14。所以
| || | 2× 7 7
。
1 1
故异面直线 AC1与 A
14
1D 所成角的余弦值为 7 。(6 分)
(3)证明:因为 1=c, =b-a,所以 1· =c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以 1 ⊥ ,
即 AA1⊥BD。(6 分)

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