资源简介

河北省 2024 级高二年级阶段性联合测评
数学（A 卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
r
ar = x2 , x, 2 ,b = 1,2,-4 ar r1. 已知空间向量 ，若 ^ b ，则 x =（ ）
A. 2 或 4 B. 2 或-4 C. -2或 4 D. -2或-4
2. 设空间直角坐标系中，点 A 11,0,7 , B 5,2,10 ,C 3,5,4 ，则VABC 是（ ）
A. 以A 为直角顶点的等腰直角三角形
B. 以 B 为直角顶点的等腰直角三角形
C. 以C 为直角顶点的等腰直角三角形
D. 等边三角形
uuur uuur uuur
3. 在三棱柱 ABC - A1B1C1中，O是侧面 BCC1B1的中心，则 AB + AC + AA1 = （ ）
uuur 3 uuur uuur uuur
A. AO B. AO C. 2AO D. 2 3AO
uuur uuur uuur uuur
4. 在棱长为 a 的正四面体 ABCD中，若 AB + AC × BC + BD = -1，则 a =（ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D.
1
2
r r r r r r r
5. r已知空间向量 a,b 满足 a = 2, -1,2 , b = 2 ，若 a,b =135° ，则 a + 2b （ ）
A. 5 B. 6 C. 2 2 D. 3
6. 如图，在菱形 ABCD中， ABC =120o ，线段 AD, BD 的中点分别为 E, F ，现将△ABD 沿对角线
uuur uuur uuur uuuur 1
BD翻折到 A1BD 的位置，在翻折过程中，“ BE ×CF = 0”是“ cos BC, A1D = ”的（ ）4
第 1 页/共 5 页
（北京）股份有限公司
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
o uuur7. 在棱长均相等的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， A1AB = A1AD = DAB = 60 ，则向量 AC1
uuur
在向量 AA1 上的投影向量为（ ）
uuur 3 uuur uuur uuur
A. 2 BB1 B. BB1 C. 3BB2 1
D. 2BB1
8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2, AD = AA1 = 3，球A 是以A 为球心，以 1 为半径的球.动点 P
在矩形 BCC1B1的内部及其边界上运动，且 P 到球A 的球面上的点的最小距离为 2，则点 P 的轨迹长度为
（ ）
A. 2π B. π C. 5π D. 5 π
2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量
B. ar若 是平面a 的法向量，则la
r l R 也是平面a 的法向量
r 1 1 1
C. 设点 A a,0,0 , B 0,b,0 ,C 0,0,c abc 0 ，则平面 ABC 的一个法向量为m = , , ÷
è a b c
uuur uuur uuur uuur
D. 若向量 AB ×CD < 0 ，则 AB 与CD的夹角为钝角
10. 下列说法正确的是（ ）
uuuur uuur 2
A. 若 sin MN , PQ 5= ，则异面直线MN 与 PQ所成角的余弦值为
3 3
r r
B. 若平面a 与平面 b 的法向量分别为 a = 3,2,-1 ,b = -1,2,1 ，则a ^ b
第 2 页/共 5 页
（北京）股份有限公司
uuuur 1 uuur 11 uuur 5 uuur
C. O为VABC 所在平面外一点，若OM = OA + OB - OC ，则点M 平面 ABC 且在VABC 内
7 7 7
部
r r{ r rD. 若 a,b ,cr} r r r r是空间的一个基底，则 a - b - c, a - b , 2c 也是空间的一个基底
r r
11. 已知空间向量m = 1,2,2 是直线 l 的方向向量， n = -4, a,b 是平面a 的法向量，则下列结论正确的
是（ ）
A. 若 l ^ a ，则 a + b = -16
B. 若 l∥a ，则 a2 + b2 的最小值为 2
C. 若 a,b
2
是正实数，且 l与a 所成角的正弦值为 ，则 ab 的最小值为
3 2 + 10
32
D. 若 a,b是正实数， l与a 交于点 A 0,4,2 ，点 B 2, y, x 在 l上且到a 的距离为 2，则 a + b…
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. r
r r r r r r r r r r r r r r
已知空间向量 a,b ,c 满足 a =1, b = 3, c = 4 ，若 a ×b = b × c = c × a = -1，则 a - b + c = __________.
13. 已知点 A 1,0,0 ，点 B 0,0,3 ，点C 3,1, -1 ，则点C 到直线 AB 的距离为__________.
14. 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的底面边长为2,M 是 BC 的中点，若线段CC1上有一点 N ，使得
MN ^ AB1，则侧棱 AA1 长的取值范围是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
r
15. 已知空间向量m = x, y,1 , nr = x,-2,2x .
r r
（1）若m ∥ n ，求 x + y 的值；
r r
（2）若m ^ n ，求 y 的最小值及此时 x 的值；
mr nr（3）若 - = 3 ，求 (x -1)2 + (y + 2)2 的最大值.
1
16. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD是等腰梯形， AD = BC = CD = AB, AB ∥
2
uuur uuur r uuur
CD, AC BD = M r，设 PA = a, PB = b, PC cr= .
第 3 页/共 5 页
（北京）股份有限公司
uuuur 1 r 2 r
（1）证明： PM = a + c ；
3 3
uuur uuur r r r uuur uuur
（2）设CE = 3ED ，用 a,b ,c 表示 PD与ME .
17. 如图，已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AB = BC = 2, AA1 = b, E 是 BC 的中点.
（1）证明：CD1 / / 平面 AEC1 ；
（2）设b = 2 ，若在线段 BB1 上存在点M ，使得平面 AMC1 ^平面 AEC1 ，试确定点M 的位置.
18. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC, PA = AB =1, PC = 3, BC = 5, E 是 AC 的中点.
（1）求证：平面 PBE ^平面 PAB；
（2）求点A 到平面 PBC 的距离；
（3）求平面 BPE 与平面 PEC 夹角的大小.
19. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC, BAC = 90o , AC = PA， AB = 2PA，点 N 在
AC 上，且CN = 2NA，点M 是线段 AB 上的动点.
第 4 页/共 5 页
（北京）股份有限公司
（1）求异面直线 PN 与 BC 所成角的余弦值；
（2）当M 是 AB 的中点时，求 PA 与平面 PMN 所成角的正弦值；
（3）求平面CPM 与平面 PMN 夹角的最大值.
第 5 页/共 5 页
（北京）股份有限公司
河北省 2024 级高二年级阶段性联合测评
数学（A 卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
ar
r
= x2 , x, 2 ,b = 1,2,-4 r r1. 已知空间向量 ，若 a ^ b ，则 x =（ ）
A. 2 或 4 B. 2 或-4 C. -2或 4 D. -2或-4
【答案】B
【解析】
【 ar
r
分析】根据 × b = 0 即可.
r r
【详解】由题意可得， a ×b = x2 +2x -8 = 0，解得 x = 2或-4 .
故选：B
2. 设空间直角坐标系中，点 A 11,0,7 , B 5,2,10 ,C 3,5,4 ，则VABC 是（ ）
A. 以A 为直角顶点的等腰直角三角形
B. 以 B 为直角顶点的等腰直角三角形
C. 以C 为直角顶点的等腰直角三角形
D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．
【详解】因 A 11,0,7 , B 5,2,10 ,C 3,5,4 ，
则 AB = 5 -11 2 + 2 - 0 2 + 10 - 7 2 = 36 + 4 + 9 = 7 ，
第 1 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
BC = 3- 5 2 + 5 - 2 2 + 4 -10 2 = 4 + 9 + 36 = 7，
AC = 3-11 2 + 5 - 0 2 + 4 - 7 2 = 64 + 25 + 9 = 7 2 ，
因为 | AB |2 + | BC |2 =| AC |2 ，且 | AB |=| BC |= 7 ，
所以VABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形.
故选：B.
uuur uuur uuur
3. 在三棱柱 ABC - A1B1C1中，O是侧面 BCC1B1的中心，则 AB + AC + AA1 = （ ）
uuur 3 uuur uuur uuur
A. AO B. AO C. 2AO D. 2 3AO
【答案】C
【解析】
【分析】取 BC 的中点 D ，连接 DO ，由平行四边形及三角形法则即可求解.
【详解】
如图，由题意BC1与 B1C 相交于点O，
uuur 1 uuur
取 BC 的中点 D ，连接 DO, AD，则 DO = AA ，
2 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AB + AC + AA1 = 2AD + 2DO = 2AO ，
故选：C
uuur uuur uuur uuur4. 在棱长为 a 的正四面体 ABCD中，若 AB + AC × BC + BD = -1，则 a =（ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D.
1
2
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求 a 的值.
【详解】设正四面体的棱长为 a .
第 2 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
π
由正四面体结构性质可知 BAC = CAD = BAD = ，
3
uuur uuur uuur uuur而 AB + AC × BC + BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AB + AC × AC - AB + AD - AB
uuur uuur uuur uuur uuur= AB + AC × AC + AD - 2AB
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
= AB × AC + AB × AD - 2AB + AC + AC × AD - 2AB × AC
1 1 1 1 a2
= a2 + a2 - 2a2 + a2 + a2 - 2 a2 = - = -1
2 2 2 2 2
故 a = 2 ，
故选：B.
r r r r r
5. r已知空间向量 a,b 满足 a = 2, -1,2 , b r= 2 ，若 a,b =135 r° ，则 a + 2b （ ）
A. 5 B. 6 C. 2 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】借助空间向量模长与数量积的关系，结合数量积公式计算即可得.
r r
【详解】 a + 2b = r r 2 r r 2a + 2b r r= a 2 + 4 a × b cos135° + 4 b
= 22 + -1 2 + 22 + 4 22
2
+ -1 2 + 22 2 2 - ÷÷ + 4 22 è
= 5 .
故选：A
6. 如图，在菱形 ABCD中， ABC =120o ，线段 AD, BD 的中点分别为 E, F ，现将△ABD 沿对角线
uuur uuur uuur uuuur
BD翻折到 A1BD
1
的位置，在翻折过程中，“ BE ×CF = 0”是“ cos BC, A1D = ”的（ ）4
第 3 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
uuur uuur 1 uuuur
【分析】不妨设菱形 ABCD的边长为 1，则 BD =1，由空间向量的线性运算得 BE = BD - A D ，
2 1
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuuurCF = -BC + BD，由数量积运算得 BE ×CF = cos BC, A1D
1
- ，再结合充分必要条件进行判断即
2 2 8
可．
【详解】不妨设菱形 ABCD的边长为 1，则 BD =1，
uuur uuur 1 uuuur uuur 1 uuuur
在翻折后的图形中， BE = BD + DA
2 1
= BD - A1D ，2
uuur uuur uuur uuur 1 uuurCF = CB + BF = -BC + BD ，
2
uuur uuur uuur 1 uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 2 1 uuur uuuur 1 uuuur uuur
则 BE ×CF = BD - A1D ÷ × -BC + BD ÷ = -BD × BC + BD + BC × A D - A D × BD
è 2 è 2 2 2 1 4 1
1 1 uuur uuuur
= -1 1 cos 60o + 1+ 1 1cos BC, A D 1- 1 1 cos 60o
2 2 1 4
1 1 1 uuur uuuur uuur uuuur
= - + + cos BC, A D 1 1- = cos BC, A D 1- ，
2 2 2 1 8 2 1 8
uuur uuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 1
当 BE ×CF = 0时，得 cos BC, A1D - = 0，得 cos BC, A1D = ，充分性成立，2 8 4
uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
当 cos BC, A D 1 1 11 = 时，则 BE ×CF = cos BC, A1D - = 0，必要性成立，4 2 8
uuur uuur uuur uuuur
故“ BE ×CF = 0”是“ cos BC, A
1
1D = ”的充要条件，4
故选：C
uuur
7. 在棱长均相等的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， A1AB = A1AD = DAB = 60
o
，则向量 AC1
uuur
在向量 AA1 上的投影向量为（ ）
uuur 3 uuur uuur uuur
A. 2 BB1 B. BB1 C. 3BB1 D. 2 2BB1
第 4 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
【答案】D
【解析】
【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量.
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
【详解】设平行六面体 ABCD - A1B1C1D1棱长为 a ，Q AC1 = AC + CC1 = AB + AD + AA1 ，
uuur 2
且 AA1 = a
2 ， A1AB = A1AD = DAB = 60
o
，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2\ AA1 × AC1 = AA1 × AB + AD + AA1 = AA1 × AB + AA1 × AD + AA1
= a a cos60o + a a cos60o + a2 = 2a2 ，
uuur uuuur
uuuur uuur AA × AC uuur uuur uuur1 1
\ AC uuur × AA = 2AA = 2BB1 在 AA1 上的投影向量为 2 1 1 1 .AA1
故选：D.
8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2, AD = AA1 = 3，球A 是以A 为球心，以 1 为半径的球.动点 P
在矩形 BCC1B1的内部及其边界上运动，且 P 到球A 的球面上的点的最小距离为 2，则点 P 的轨迹长度为
（ ）
A. 2π B. π C. 5π D. 5 π
2
【答案】D
【解析】
【分析】利用球面截平面得圆弧，再结合弧长公式即可求解.
【详解】由题意可得，动点 P 在矩形 BCC1B1的内部及其边界上运动，且 P 到球A 的球面上的点的最小距
离为 2，则动点 P 一定在以A 为球心，以 3 为半径的球面上，
再由动点 P 在矩形 BCC1B1的内部及其边界上运动，则矩形面 BCC1B1截以A 为球心，以 3 为半径的球面
可得圆弧MN ，如图，
第 5 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
因为 AM = AN = 3, AB = 2，结合勾股定理可得：MB = NB = 5 ，
MN π 5所以圆弧 = 5 = π ，
2 2
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量
r a rB. 若 a 是平面 的法向量，则la l R 也是平面a 的法向量
C. 设点 A a,0,0 , B 0,b,0 ,C 0,0,c abc 0 r 1 1，则平面 ABC 的一个法向量为m = , ,
1
÷
è a b c
uuur uuur uuur uuur
D. 若向量 AB ×CD < 0 ，则 AB 与CD的夹角为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A 和 B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对 C，利用法向量的求法，求出
uuur uuur
平面的一个法向量，即可求解；对 D，结合选项条件，取 AB,CD = π ，即可求解.
r
【详解】对于 A，由直线方向向量的定义知，0 不能作为直线的方向向量，所以选项 A 结论错误，
r r r
对于 B，若l = 0 R ，则la = 0 ，此时la 不是平面a 的法向量，所以选项 B 结论错误，
uuur uuur
对于 C，因为 A a,0,0 , B 0,b,0 ,C 0,0,c abc 0 ，则 AB = -a,b,0 , AC = -a,0,c ，
r
设平面 ABC 的一个法向量为m = x, y, z ，
第 6 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
uuur
ì AB
r
×m = -ax + by = 0 1 1 1
则 íuuur ，取 x = ，得 y = , z = ，
AC m
r
× = -ax + cz = 0 a b c
mr 1所以平面 ABC 的一个法向量为 = ,
1 , 1 ，故选项 C 结论正确，
è a b c ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 D，若 AB,CD = π ，则有 AB ×CD = - AB × CD < 0，
uuur uuur
但 AB 与CD的夹角不为钝角，所以选项 D 结论错误，
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
uuuur uuur 2
A. 若 sin MN , PQ 5= ，则异面直线MN 与 PQ所成角的余弦值为
3 3
r
B. 若平面a
r
与平面 b 的法向量分别为 a = 3,2,-1 ,b = -1,2,1 ，则a ^ b
uuuur 1 uuur 11 uuur 5 uuur
C. O为VABC 所在平面外一点，若OM = OA + OB - OC ，则点M 平面 ABC 且在VABC 内
7 7 7
部
r r r r r r r r r
D. 若{a,b ,c}是空间的一个基底，则 a - b - c, a - b , 2c 也是空间的一个基底
【答案】AB
【解析】
uuuur uuur 2 r r
【分析】A 利用 1- sin MN , PQ 即可；B 判断 a ×b 是否为 0 即可；C 根据向量的运算化简得出
uuuur uuur uuur
7BM = CA + 4CB 即可判断四点共面，再根据向量的加法法则可判断 M 在 VABC 的外部；D 设
r
ar b cr x ar r r r
r
- - = - b + 2yc ，根据{a,b ,cr}为基底即可求出.
uuuur uuur 25 5 2
【详解】因 sin MN , PQ = ，则异面直线MN 与 PQ所成角的余弦值为 1-
3 ÷÷
= ，故 A 正
è 3 3
确；
r
因 ar ×b = -3 + 4 -1 = 0，则a ^ b ，故 B 正确；
uuuur 1 uuur 11 uuur 5 uuur uuuur uuur uuur uuur
因OM = OA + OB - OC ，则
7 7 7 7OM = OA +11OB - 5OC
，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
则7OM - 7OB = OA - OC + 4OB - 4OC ，即7BM = CA + 4CB ，
uuuur uuur uuur
由平面向量基本定理可知， BM ,CA,CB共面，
第 7 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
uuur uuur uuuur uuur
又CA,CB有公共点， BM ,CB 有公共点，则点M 平面 ABC ，
uuur uuur uuur
设CD = CA + 4CB，由向量的加法法则可知，点 D 在VABC 的外部，
uuuur uuur
又 BM ,CD同向，则点M 在VABC 的外部，故 C 错误；
r ra b cr x ar r r r r设 - - = - b + 2yc r r，则 1- x a + x -1 b - 1+ 2y c = 0 ，
r
{ r r因 ar ,b ,cr} 1是空间的一个基底，则 x =1, y = - ，故 ar r- b - c, ar - b , 2cr共面，2
r r r r r则 a - b - c, a - b , 2cr 不可以是空间的一个基底，故 D 错误.
故选：AB
r
11. 已知空间向量m = 1,2,2 r是直线 l的方向向量， n = -4, a,b 是平面a 的法向量，则下列结论正确的
是（ ）
A. 若 l ^ a ，则 a + b = -16
B. 若 l∥a ，则 a2 + b2 的最小值为 2
C. 若 a,b a
2
是正实数，且 l与 所成角的正弦值为 ，则 ab 的最小值为
3 2 + 10
32
D. 若 a,b是正实数， l与a 交于点 A 0,4,2 ，点 B 2, y, x 在 l上且到a 的距离为 2，则 a + b…
7
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线与平面垂直、直线与平面平行、直线与平面所成的角、点到平面的距离的向量表示，结
合基本不等式可依次求得结果，从而判断出正确答案.
ì-4 = l
r r r r
【详解】选项 A：因为 l ^ a ，所以m P n ，所以存在实数l ，使 n = lm，即 ía = 2l ，

b = 2l
所以 a = b = -8， a + b = -16.所以选项 A 正确；
l / /a mr r选项 B：因为 ，所以 ·n = 0，即-4 + 2a + 2b = 0 ,即b = 2 - a .所以
a2 + b2 = a2 + 2 - a 2 = 2 a -1 2 + 2 2，当且仅当 a = b =1时等号成立.
所以 a2 + b2 的最小值为 2.所以选项 B 正确；
r r mr·nr -4 + 2a + 2b
选项 C：由题知： cos m, n = r r =m n .3 16 + a2 + b2
第 8 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
2 -4 + 2a + 2b 2
因为 l与a 所成角的正弦值为 ，所以 = ，
3 3 16 + a2 + b2 3
2a + 6
整理得： 2a + 2b + 6 = ab ，即b = .
a - 2
因为b > 0, a > 0 ，所以 a - 2 > 0 .
a 2a + 6 a - 2 + 2 é2 a - 2 +10ù 20
所以 ab = = = 2 a - 2 + +14 14 + 4 10 ,
a - 2 a - 2 a - 2
所以 ab 的最小值为14 + 4 10 .所以选项 C 错误；
uuur
选项 D：由题知存在实数 k ，使得 AB = 2, y - 4, x r- 2 = km ，
ì2 = k ìk = 2
uuur
所以 íy - 4 = 2k ， íy = 8，所以 AB = 2,4,4 .

x - 2 = 2k x = 6
因为 l与a 交于点 A 0,4,2 ，点 B 2, y, x 在 l上且到a 的距离为 2，
uuur
uuur r AB·n
r
2 -8 + 4a + 4b所以 AB 在 n 上的投影的绝对值为 2，即 r = .所以 = 2，n 16 + a2 + b2
2
整理得：3 a + b -16 a + b + 2ab = 0 .
2
因为 a,b是正实数，所以 2ab 2 a + b ÷ ，所以7 a + b
2 - 32 a + b 0 .
è 2
32
所以 a + b .所以选项 D 正确.
7
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
r r r
12. r r已知空间向量 a,b ,c 满足 a
r
=1, b = 3, cr = 4 ar
r r r
，若 ×b = b × cr cr r= × a = -1，则 a - b + c
r
= __________.
【答案】 2 7
【解析】
【分析】根据空间向量的模的公式进行计算求解即可.
r r r r
【详解】因为向量 a =1, b = 3, c
r
= 4 ar·b b·cr cr r， = = ·a = -1 .
r r r r r r 2 r r r r所以 a - b + c = a - b + c = a2 + b 2 cr2 r r+ - 2a·b + 2a·cr 2b·cr- = 1+ 9 +16 + 2 - 2 + 2 = 2 7 故答案
为： 2 7 .
第 9 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
13. 已知点 A 1,0,0 ，点 B 0,0,3 ，点C 3,1, -1 ，则点C 到直线 AB 的距离为__________.
14
【答案】
2
【解析】
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
【详解】因为点 A 1,0,0 ，点 B 0,0,3 ，点C 3,1, -1 ，
uuur uuur
所以 AB = -1,0,3 , AC = 2,1, -1 ，
r uuur
uuur
a AC 2,1, 1 , mr -1,0,3 uAuBur -1 3取 = = - = = = ,0,
,
AB 10 ֏ 10 10
ar2则 = 4 +1 1
r r -2 -3 -5
+ = 6, a × m = + = ，
10 10 10
r r r 5 2C 2 - 14得点 到直线 AB 的距离为： a2 - a × m = 6 - ÷ = ，
è 10 2
14
故答案为：
2
14. 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的底面边长为2,M 是 BC 的中点，若线段CC1上有一点 N ，使得
MN ^ AB1，则侧棱 AA1 长的取值范围是__________.
【答案】 1, +
【解析】
uuuur 1 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
【分析】MN = - CB + CN ，又 AB1 = CC1 + CB - CA，根据垂直得到数量积为 0，列出等式即可求解.2
【详解】
设侧棱 AA1 长为 x ，则CC1长为 x ,
uuuur uuuur uuur uuur uuur
由题意MN = MC + CN 1= - CB + CN ，
2
第 10 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
又 AB1 = BB1 + CB - CA = CC1 + CB - CA ，
其中 ACB π , ACC BCC π= 1 = 1 = ，3 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故CN ×CB = CN ×CA = 0，CB ×CA
1
= CB × CA cos ACB = 2 2 = 2，
2
又MN ^ AB1，
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
故MN × AB = CN
1
- CB 1 ÷ × CC1 + CB - CA
è 2


uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur2 uuur uuur
= CN ×CC1 + CN ×CB - CN ×CA
1 1 1
- CB ×CC1 - CB + CB ×CA2 2 2
uuur uuuur
= CN ×CC1 - 2 +1 = 0
uuur uuuur
即CN ×CC1 =1，
uuur uuuur
又 CN CC1 ，
uuur uuuur uuur uuuur
所以1 = CN ×CC1 = CN × CC1 x
2
，
所以 x 1，
即侧棱 AA1 长的取值范围是 1, + ，
故答案为： 1, +
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
r r
15. 已知空间向量m = x, y,1 , n = x,-2,2x .
r
（1）若m ∥ nr，求 x + y 的值；
mr r（2）若 ^ n ，求 y 的最小值及此时 x 的值；
r r
（3）若 m - n = 3 ，求 (x -1)2 + (y + 2)2 的最大值.
3
【答案】（1）-
2
1
（2） y 的最小值为- ，此时 x = -1
2
10
（3）
3
【解析】
【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得 x，y 的值，即可得答案.
（2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案.
第 11 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
（3）根据求模公式，可得 x，y 的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【小问 1 详解】
r r
因为m ∥ n ，
ur r
所以m = ln ，
ur r
当 x = 0 时，m = (0, y,1), n = (0, -2,0)，
ì0 = 0 ×l

所以 íy = -2l ，l 不存在，所以 x 0；

1 = 0 ×l
x 0 x y 1当 时，可得 = = ，解得 x 1= , y = -2，
x -2 2x 2
所以 x
3
+ y = -
2
【小问 2 详解】
因为mr nr^ ，
所以 x2
1 1 1
+ (-2y) + 2x = 0 2 2，即 y = x + x = (x +1) - ，
2 2 2
1
所以当 x = -1时，y 的最小值为-
2
【小问 3 详解】
ur r
m - n = (0, y + 2,1- 2x)，
mr r因为 - n = 3 ，
所以 0 + (y + 2)2 + (1- 2x)2 = 3 ，即 (y + 2)2 + (1- 2x)2 = 3，
由 (1- 2x)2 3 1- 3 1+ 3，解得 x
2 2
则所求 (x -1)2 + (y + 2)2 = (x -1)2 + 3 - (1- 2x)2 = -3x2 + 2x + 3
2
= -3 1 10 x -

÷ + ，
è 3 3
x 1 2 2 10所以当 = 时， (x -1) + (y + 2) 的最大值为
3 3
1
16. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD是等腰梯形， AD = BC = CD = AB, AB ∥
2
uuur uuur r uuur
CD, AC BD = M PA ar，设 = , PB = b, PC = cr .
第 12 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
uuuur 1 r 2 r
（1）证明： PM = a + c ；
3 3
uuur uuur r r r uuur uuur
（2）设CE = 3ED ，用 a,b ,c 表示 PD与ME .
【答案】（1）证明见解析
uuur r uuur r
（2） PD
1 ar 1 r 1 r 3 1 r= - b + c ；ME = a - b + c ；
2 2 24 8 3
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似可得： AM : MC = 2 :1 ,结合向量的线性运算求解即可；（2）利用向量的线
性运算求解即可.
【小问 1 详解】
1
因为在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD是等腰梯形， AD = BC = CD = AB, AB ∥
2
CD, AC BD = M ，
所以 MDC = MBA , MCD = MAB ，所以V MC DC 1DMC ~VBMA ,所以 = = ，即
AM AB 2
AM 2= AC ,
3
uuuur uuur uuuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuurPM 2
uuur 1 r 2 r
由图可得 = PA + AM = PA + AC = PA + PC - PA = PA + PC = a + c ；
3 3 3 3 3 3
【小问 2 详解】
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
由图可得 PD = PC + CD = PC + BA = PC 1+ PA - PB 1 PA 1 PB PC 1 ar 1 r= - + = - b + c ；2 2 2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1
由于CE = 3ED ，所以 PE = PD + DC = PD +4 4
uuur uuur 1 uuur 3 uuur rPC - PD PC PD 3 ar 3 b cr= + = - +4 4 8 8
uuur uuur uuuur 3 r r
所以ME = PE - PM = ar 3 b cr 1 ar 2 cr 1 r 3 1- + - - = a - b + cr；
8 8 3 3 24 8 3
17. 如图，已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AB = BC = 2, AA1 = b, E 是 BC 的中点.
第 13 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
（1）证明：CD1 / / 平面 AEC1 ；
（2）设b = 2 ，若在线段 BB1 上存在点M ，使得平面 AMC1 ^平面 AEC1 ，试确定点M 的位置.
【答案】（1）证明见解析
（2）点M 与点 B1重合
【解析】
【分析】（1）取 A1D1中点 H ，连接 EH , BD1，利用正四标柱的性质得 HE / /CD1，再利用几何关系可得
HE 平面 AEC1 ，再由线面平行的判定定理，即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 AMC1与平面 AEC1 的法向量，再结合条件，即可求解.
【小问 1 详解】
取 A1D1中点 H ，连接 EH , BD1，因为 HD1 / /EC ，且 HD1 = EC ，
所以 HECD1 是平行四边形，则 HE / /CD1，
又 HD1 / /BE ，且 HD1 = BE ，所以 HBED1为平行四边形，则 HE 与 BD1相交，
且交点为线段 HE 与 BD1的中点，记 HE I BD1 = F ，
又 AB / /C1D1，且 AB = C1D1，所以 ABC1D1 为平行四边形，则 AC1与 BD1相交，
且交点为线段 AC1与 BD1的中点，所以 HE I AC1 = F ，则 HE 平面 AEC1 ，
CD1 平面 AEC1 ，所以CD1 / / 平面 AEC1 .
【小问 2 详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 AB = BC = 2, AA1 = 2 ，设 BM = l 0 l 2 ，
则 A 2,0,0 ,C1 0,2,2 , E 1,2,0 , M 2,2,l ，
第 14 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
uuuur uuur uuuur
所以 AC1 = -2,2,2 , AE = -1,2,0 , AM = 0,2,l ，
r
设平面 AEC1 的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuuur
ì r AC1 × n = -2x + 2y + 2z = 0
则 íuuur r ，取 x = 2，则 y =1, z
r
=1，所以 n = 2,1,1 ，
AE × n = -x + 2y = 0
设平面 AMC
r
1的一个法向量为m = x1, y1, z1 ，
uuuur
ìAC mr × = -2x + 2y + 2z = 0 r
则 íuuuur1 1 1 1r ，取 z1 = 2 ，则 x1 = 2 - l, y1 = -l ，所以m = 2 - l,-l, 2 ，
AM × m = 2y1 + lz1 = 0
ur r ur r
因为平面 AMC1 ^平面 AEC1 ，则m ^ n，所以m × n = 4 - 2l - l + 2 = 0，
解得l = 2 0,2 ，所以点M 与 B1重合.
18. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC, PA = AB =1, PC = 3, BC = 5, E 是 AC 的中点.
（1）求证：平面 PBE ^平面 PAB；
（2）求点A 到平面 PBC 的距离；
（3）求平面 BPE 与平面 PEC 夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
2
（2）
3
（3）60°
【解析】
第 15 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
【分析】（1）多次运用余弦定理结合勾股定理可证 AB ^ BE ，再结合空间垂直关系的转化可证平面 PBE ^
平面 PAB .
（2）利用等积法可求点A 到平面 PBC 的距离；
（3）取 AE 的中点为 N ，在平面 PAE 中过 N 作 NM ^ PE ，垂足为M ，连接 BM ，则可证 BMN 为二
面角 B - PE - A 的平面角，利用解直角三角形可得 BMN = 60°，故可得平面 BPE 与平面 PEC 夹角的
大小为60° .
【小问 1 详解】
因为 PA ^平面 ABC ，而 AC, BE 平面 ABC ，故 PA ^ BE ， PA ^ AC .
故 AC = PC 2 - PA2 = 2 2 ，
2 2 2
ABC AB + AC - BC 1+ 8 - 5 2在V 中，由余弦定理可得 BAC = = = ，
2 AB AC 2 1 2 2 2
在VABE 中，由余弦定理得：
BE2 AB2 AE2 2AB AE cos BAE 1 2 2 1 2 2= + - = + - =1，
2
故 BE =1，故 AB2 + BE2 = AE2 ，故 AB ^ BE ，
而 AB I PA = A, AB, PA 平面 PAB，故 BE ^平面 PAB，
因 BE 平面 PBE ，故平面 PBE ^平面 PAB .
【小问 2 详解】
因为 PA ^平面 ABC ， AB 平面 ABC ，故 PA ^ AB ，
而 PA = AB =1，故 PB = 2 ，
PB2 + PC 2 - BC 2 2 + 9 - 5 2
在△PBC 中，由余弦定理可得 cos BPC = = = ，
2 PB PC 2 2 3 2
而 BPC 为三角形内角，故 sin BPC 2 1 2 3= ，故 S
2 △BPC
= 2 3 = ，
2 2 2
V 1 3 1故 A-PBC = dA-PBC = VP- ABC = 1
1 1 2 2 2 1 = ，
3 2 3 2 2 3
故 d 2A-PBC = .3
【小问 3 详解】
第 16 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
取 AE 的中点为 N ，在平面 PAE 中过 N 作 NM ^ PE ，垂足为M ，连接 BM .
因为 PA ^平面 ABC ， PA 平面 PAC ，故平面 PAC ^平面 ABC .
2
由（2）可得 AB = BE =1, AE = 2 ，故 BN ^ AE 且 BN = ，
2
而平面 PAC I平面 ABC = AC ， BN 平面 ABC ，
故 BN ^平面 PAE ，而 NM , PE 平面 PAE ，故 BN ^ PE ， NM ^ PE
而MN I BN = N , MN , BN 平面 BMN ，故 PE ^平面 BMN ，
而 BM 平面 BMN ，故 PE ^ BM ，故 BMN 为二面角 B - PE - A 的平面角.
在直角三角形 PEA sin PEA PA 3 NM 2 3 6中， = = ，故 = = ，
PE 3 2 3 6
2
BN 2 3 2
在直角三角形 BNM 中， tan BMN = = = = 3 ，NM 6 6
6
而 BMN 为锐角，故 BMN = 60°，故平面 BPE 与平面 PEC 夹角的大小为60° .
19. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC, BAC = 90o , AC = PA， AB = 2PA，点 N 在
AC 上，且CN = 2NA，点M 是线段 AB 上的动点.
（1）求异面直线 PN 与 BC 所成角的余弦值；
（2）当M 是 AB 的中点时，求 PA 与平面 PMN 所成角的正弦值；
（3）求平面CPM 与平面 PMN 夹角的最大值.
第 17 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
1 30【答案】（ ） ；
30
2 3（ ） ；
6
（3）30° .
【解析】
【分析】（1）假设 AC = PA =1，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案；
（2）求出平面 PMN 的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案；
（3）求出平面CPM 与平面 PMN 的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法
和基本不等式即可求出最值.
【小问 1 详解】
设 AC = PA =1．建立如图所示的空间直角坐标系，
A(0,0,0), N 0, 1 ,0

÷ , P(0,0,1), B( 2,0,0),C(0,1,0) .
è 3
uuur 1 uuurPN = 0, ,-1

÷ , BC = (- 2,1,0) ，
è 3
uuur uuur uuur uuur
\cos PN , BC uuPurN × BC= uuur 30= ，
| PN | × | BC | 30
\异面直线 PN 与 BC 30所成角的余弦值为 ．
30
【小问 2 详解】
2 uuuur
当M 是 AB 的中点时，M ,0,0
2
÷÷ ，则 PM =2
,0,-1 ，
è è 2 ÷
÷

ì1
r y0 - z0 = 0
设平面 PMN
3
的法向量为 a = x0 , y0 , z0 ，\í ，
2 x - z = 0
2 0 0
r uuur
令 x0 = 2,\a = ( 2,3,1) ， PA = (0,0,-1)
第 18 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
r uuur
r uuur a·PA
设 PA 与平面 PMN 所成角为q ，则 sinq = cos a, PA = r uuur
3
= ．
a PA 6
\PA PMN 3与平面 所成角的正弦值为 ．
6
【小问 3 详解】
uuur uuuur uuur
设M (x,0,0)(0 x 2), PN = 0,
1 , -1 ÷ , PM = (x,0,-1), PC = (0,1,-1)，
è 3
当 x = 0 时，平面CPM 与平面 PMN 重合，
ì1
ur b - c = 0
x 当 0 3时，设平面 PMN 的法向量为m = (a,b,c)，则 í ，
ax - c = 0

ur 1
令 c =1，则m = ,3,1÷，
è x
r ìv - w = 0
当 x 0时，设平面 PMC 的法向量为 n = (u,v, w)，则 í ，
ux - w = 0
r
w 1
1
令 = ，则可求得平面 PMC 的一个法向量为 n = ,1,1x ÷
，
è
1
ur r 2 + 4
\| cos m,n |= x ，
1
2 +10
1
× 2 + 2x x
1 1 ur r
令 2 = t

t

÷ ，则 | cos m,n | 1
4(t +1)
= -
x è 2 (t +10)(t + 2)
1 4(t +1) 4= - = 1- 4 3
(t +1)2 +10(t +1) + 9 (t 1) 10 9 1- =
，
+ + +
t +1 10 + 6 2
9 2
当且仅当 t +1 = ，即 t = 2，即 x = 时，取等号，t +1 2
ur r
| cos m,n | 3此时 min = ，2
\平面CPM 与平面 PMN 夹角的最大值为30°．
第 19 页/共 20 页
（北京）股份有限公司
第 20 页/共 20 页
（北京）股份有限公司

展开更多......

收起↑