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4.3 线段的长短
素养目标
1.会借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.
2.会用数学语言描述线段中点,会解决有关线段中点的问题.
3.知道尺规作图的基本方法和要求,会用尺规作图作线段.
4.能在具体情境中体会“两点之间,线段最短”的性质,知道两点间距离的概念.
重点
“两点之间,线段最短”的性质.
【自主预习】
预学思考
1.如何比较两名同学的身高 谈一谈你的做法.那如何比较两条线段的长短呢 你用什么方法可以得到一条线段的中点
2.如图,从小明家到学校有4条路线可走,其中哪一条路线最短
3.什么是尺规作图
自学检测
1.点E在线段CD上,下面的等式:①CE=DE;②DE=CD;③CD=2CE;④CD=DE.其中能表示E是CD中点的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图,这是A,B两地之间的公路,在制订公路长程改造计划时,为使A,B两地的行程最短,应如何设计线路 在图中用虚线画出,你的理由是 .
3.看图用线段填空:
AC= + ;AB= - ;BC= - .
【合作探究】
知识生成
知识点一 比较线段长短的方法
阅读课本本课时“例1”之前的内容,思考下列问题.
怎样比较线段AB,CD的长短
归纳总结
比较两条线段长短可以用叠合法或度量法,如果使用叠合法,就设法将线段的一端点对齐,比较另一端点的长短,叠合法一般使用圆规;如果使用度量法,那么分别度量出两条线段的长,然后比较度量值的大小,度量法一般使用直尺.
对点训练
1.如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,其中正确的是 ( )
A.A'B'>AB
B.A'B'=AB
C.A'B'D.没有刻度尺,无法确定
知识点二 作一条线段等于已知直线
阅读课本本课时“例1”的内容,解决下列问题.
如图,画线段MN=AB.(写出作法,并保留作图痕迹)
对点训练
2.在作一条线段等于已知线段的过程中,圆规的作用是 ( )
A.画圆 B.画圆弧
C.画直线 D.量取已知线段的长
知识点三 线段的和差及线段的中点
阅读课本本课时“例3”之前的内容,思考下列问题.
(1)练一练:如图,下列关系式中与图不符合的式子是 ( )
A.AD-CD=AB+BC
B.AC-BC=AD-BD
C.AC-BC=AC+BD
D.AD-AC=BD-BC
(2)做一做:①在一张透明纸上画一条线段AB;②对折这张纸,使线段AB的两个端点重合;③把纸展开铺平,标明折痕点M.
点M在线段AB上且使线段AM,MB相等,这样的点M叫作线段AB的 .
用几何语言表示:
因为M是线段AB的中点,
所以AM= = (或AB=2 =2 ).
对点训练
3.如图,直线上有四点A,B,C,D,看图填空:
①AC= +BC;②CD=AD- ;③AC+BD-BC= .
知识点四 “两点之间,线段最短”的性质
阅读课本本课时“思考”及其之后的内容,解决下列问题.
如图,通过自己度量计算填空.
比较下列各式的大小.
(1)AB+AC BC;(2)DB+DC BC.
对点训练
4.如图,通过自己度量计算填空.
比较下列各式的大小.
(1)AB+BC AC;(2)OB+OC BC;
(3)OC+OD CD.
归纳总结
两点的所有连线中,可以有无数种连法,如折线、曲线、线段等,这些所有的线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短.
题型精讲
题型1 画线段的和、差、分、倍关系
例1　根据下列语句画图:(1)如图1,延长线段AB到C,使BC=AB;
(2)如图2,延长线段BA到C,使AC=BA;
(3)如图3,在射线OA上顺次截取OB=BC=CD.
变式训练
如图,点A,B,C不在同一条直线上.(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(1)作线段AB和直线AC.
(2)作射线BC,在线段BC上作一点D,使得CD=BC-AB.
题型2 线段长度计算中的分类讨论思想
例2　A,B,C三点在同一条直线上,A,B两点之间的距离为7 cm,B,C两点之间的距离为3 cm,则A,C两点之间的距离是多少
方法归纳 当三个点在同一条直线上时,要注意讨论第三点是在其余两点确定的线段上还是在其线段的延长线上,当三个点在同一平面内时,要逐一讨论三点是否在同一直线上.
变式训练
如图,C为线段AB上一点,D为CB的中点,AB=10 cm,AD=7 cm.
(1)求AC的长.
(2)若点E在线段AB上,且CE=2 cm,求BE的长.
参考答案
自主预习
预学思考
1.可以通过测量身高,然后比较数值的大小;也可以两名同学站在同一平面上进行比较.
线段的比较可类比两同学比身高:(1)测量;(2)叠合.
可以用刻度尺得到一条线段的中点;也可以用对折法得到一条线段的中点.
2.第③条路线.
3.只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.
自学检测
1.C
2.两点之间,线段最短
3.AB　BC　AC　BC　AC　AB
合作探究
知识生成
知识点一
(1)叠合法:把线段AB,CD放在同一直线上比较;
(2)度量法:用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,再将长度进行比较.
对点训练
1.C
知识点二
作法:作直线l;在直线l上取任意一点M,以点M为圆心,以线段AB的长为半径画弧,交直线l于点N,线段MN为所求作的线段.
对点训练
2.D
知识点三
(1)C　(2)中点　BM　AB　AM　BM
对点训练
3.①AB　②AC　③AD
知识点四
(1)>　(2)>
对点训练
4.(1)>　(2)>　(3)>
题型精讲
题型1　
例1　解:
变式训练
解:(1)如图,线段AB和直线AC为所作.
(2)如图,射线BC和线段CD为所作.
题型2
例2　解:(1)当点C在线段AB的延长线上(如图1)时,AC=AB+BC=10 cm.
(2)当点C在线段AB上(如图2)时,AC=AB-BC=4 cm.
变式训练
解:(1)因为AB=10 cm,AD=7 cm,所以BD=3 cm.
因为D为CB的中点,所以CB=2BD=6 cm,所以AC=4 cm.
(2)当点E在点C左侧时,BE=CB+CE=8 cm;
当点E在点C右侧时,BE=CB-CE=4 cm.

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