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2025-2026学年浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是二次函数的是（　　）
A. y=x+ B. y=3（x-1）2 C. y=ax2+bx+c D. y=+3x
2.已知⊙O的半径是5，OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定
3.将抛物线y=2（x-1）2+3先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A. y=2（x+1）2+2 B. y=2（x-3）2+4 C. y=2（x+1）2+4 D. y=2（x-3）2+2
4.已知点A（0，y1）和点B（3，y2）在二次函数y=（x-1）2的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1=y2 C. y1＜y2 D. 无法确定
5.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若CD=AD，∠B=25°，则下列结论中错误的是（　　）
A. ∠ACB=90° B. ∠CAD=65°
C. ∠ACD=50° D. 点D为△ABC的外心
6.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　）
A. BF=DF
B. ∠CBD=∠EBD
C. CB∥DE
D. AG⊥DE
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0），（-3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为（　　）
A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=-3 C. x1=-1，x2=3 D. x1=1，x2=-3
8.如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动.当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动.设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A. B.
C. D.
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（-2，0）.则下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③9a+c＜3b；④方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2，x2=4.其中正确的结论是（　　）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
10.如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB=2，BC=6，CD=4，则⊙O的半径为（　　）
A. 5
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=-2x2的图象的开口向______.
12.一个圆的半径为3cm,则此圆的最大弦长为 cm.
13.二次函数y=6（x+3）2-5，当x＞-3时，y随x的增大而 .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为______.
15.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A（-2，0）和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 .
16.如图，二次函数y=ax2-7ax+6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，⊙P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为，则a的值为______.
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上.
18.(本小题6分)
如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
19.(本小题8分)
如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
（1）求证：AC=BD.
（2）若OF=2EF，CD=8，求⊙O直径的长.
20.(本小题8分)
某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x/元 … 40 60 80 …
每天销售数量y/件 … 80 60 40 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式______；
（2）设该公司销售这种商品每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
21.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0）和（0，3）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）当-2≤x≤t时，函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=9，求t的取值范围.
22.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动.
如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE.
【操作发现】
（1）当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是______；直线DG与BE的夹角度数为______；
【深入探究】
（2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE，∠DAB=∠GAE=60°，猜想DG与BE的数量关系与直线DG与BE的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，AB=2，在菱形AEFG绕点A旋转过程中，直接写出线段CE的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】下
12.【答案】6
13.【答案】增大
14.【答案】（5，5）
15.【答案】1
16.【答案】或
17.【答案】解：（1）把A（-2，-8）代入线y=ax2得：-8=4a,
解得a=-2，
∴y=-2x2；
（2）在y=-2x2中，令x=1得y=-2≠4，
∴点B（1，4）不在此抛物线上．
18.【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
19.【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，且OE过圆心O
∴CF=DF，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴AF=BF，
∴AF-CF=BF-DF，
∴AC=BD
（2）解：连接OC，设⊙O的半径是r,
∵OF=2EF，OF+EF=OE=r,
∴，
∵CD=8，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴⊙O的直径是．
20.【答案】y=-x+120； 销售单价定为75元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是2025元．
21.【答案】解：（1）∵函数图象经过点（-1，0），（0，3），
∴a+2a+c=0，且c=3，
∴a=-1．
∴这条抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴这条抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）；
（3）∵对称轴为直线x=1，
分以下两种情况：
①当t≤1时，
又∵-2≤x≤t≤1，
∴当-2≤x≤t≤1时，y随x的增大而增大，
∴当x=t时，y取最大值为-t2+2t+3=m；
当x=-2时，y取最小值为-4-4+3=n.
又∵m-n=9，
∴-t2+2t+3-（-5）=9．
∴t2-2t+1=0．
解得t=1．
②当t＞1时，
∴当x=1时，y取最大值为-12+2+3=4=m；
分情况讨论如下：
当x=-2到对称轴的距离大于x=t到对称轴的距离时，即t-1≤1-（-2），此时1＜t≤4，
当x=-2时，y取最小值为-4-4+3=-5=n,此时m-n=9，符合题意．
当x=-2到对称轴的距离小于x=t到对称轴的距离时，即t-1＞1-（-2），即t＞4，
当x=t时，y取最小值为-t2+2t+3=n.
又∵m-n=9，
∴n=-5．
∴-t2+2t+3=-5．
∴t=-2或t=4，不合题意．
∴若m-n=9，则1≤t≤4．
22.【答案】DG=BE，90°；
【深入探究】 DG=BE；直线DG与BE的夹角度数为60°；理由见解析；
【迁移探究】 如图4，线段CE的最小值为2-1．
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