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2025年上海市中考数学模拟练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（ ）
A．甲方案实惠 B．乙方案实惠
C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠
4．小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小． 此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．y与x的关系式为 B．当时，
C．镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小 D．平光镜（近视度数为 0）的镜片到光斑距离为0米
5．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ）
A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形
C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形
二、填空题
7．已知，则的值等于 ．
8．函数中，自变量x的取值范围是 ．
9．方程的根是 ．
10．关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
11．截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为 ．
12．一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ．
13．如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．

14．如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接．
给出下列结论：
①若，两点关于直线对称，则；
②，两点距离的最大值为4；
③若平分，则；
④在滑动过程中，始终等于．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，是矩形的一条对角线，交于点，交于点，若，，则的长是 ．
16．常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有 人．
17．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
18．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．先化简再求值：，其中．
20．解不等式组
21．如图，D是以为直径的上一点，，过点D的直线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的直径为9，，求线段的长．
22．如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
23．如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点．
(1)直接写出A，B两点的坐标，并求出抛物线的表达式；
(2)如图，点E是线段之间的一个动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点D，直线于点F．当D，E，F三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求的面积；
(3)若点P是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形且时，求点P的横坐标．
25．如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求⊙的半径．
试卷第1页，共3页
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《2025年上海市中考数学模拟练习试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D A C B D
1．D
【分析】本题考查二次根式的化简，倒数和相反数，先计算的值，再然后根据倒数和相反数的定义解答即可．
【详解】解：，它的倒数的相反数是，
故选：D．
2．D
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，单项式乘法，单项式除法进行判断即可．
本题考查了幂的乘方，合并同类项，单项式乘法，单项式除法，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．
【详解】A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，设两次加油的油价分别为a，且将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小．
【详解】解：设两次加油的油价分别为a，且，
甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价；
乙方案：设每次加油量为N，则平均油价，
则，
因为，a，且，
所以，，，
所以，，
所以，，甲方案实惠．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：该函数图象过点，
设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项正确，符合题意；
根据题意得：平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
5．B
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到，
由点在外，于是得到，即可得到结论．
【详解】解：连接AD，
∵，，，
∴
∵的半径长为3，与相交，
∴，
∵，
∴，
∵点在外，
∴，
∴的半径长的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
6．D
【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解．
【详解】解：这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，
拼成的正多边形的边数必为奇数，
A、对于顶角是的等腰三角形，要拼成正多边形，意味着正多边形的内角必须是该等腰三角形内角的正整数倍，由于正多边形的内角和公式为，那么每个内角为，若用该等腰三角形拼成正多边形，需满足是的正整数倍或其底角的正整数倍，该等腰三角形底角为，因为和都不能满足要求，所以无法构成正多边形，A选项错误，不符合题意；
B、顶角是的等腰三角形是等边三角形，其每个内角都是，正六边形的每个内角为，
，
等边三角形可以拼成正六边形。但正六边形是中心对称图形，不满足题目中“正多边形不是中心对称图形”，B选项错误，不符合题意；
C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意；
D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
7．8
【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等，根据几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．求出x，y，再代入计算并求出算术平方根即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：8．
8．x≥-2且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
9．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
∴，
∵
∴
∴不符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
【详解】解：亿，
故答案为： ．
12．
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意可画树状图为：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况，
∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵向量，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．
14．①④/④①
【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确；④延长至点，可证，可得④正确；
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∴若、两点关于对称，如图1：
∴为的垂直平分线，
∴，故①正确；
②如图1，取的中点为，连接、，
∵，
∴，
当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确；
③如图2：
当，
∴四边形是矩形，
∴与相互平分，但不成立，故③不正确；
④延长至点，如图1，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①④
15．
【分析】过点作，交于点，根据矩形的性质可知，从而可知四边形是平行四边形，根据同角的余角相等可证，从而可证，根据相似三角形的性质可得，从而可求的长．
【详解】解：如下图所示，过点作，交于点，
，
，
是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
在中，，
，
又，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质找到边之间的关系．
16．1600
【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体，先根据扇形统计图计算出有氧运动的占比，再根据条形统计图计算出喜欢快走的占比，两项占比乘以总人数即可．
【详解】解：估计该社区最喜欢快走的居民大约有：
（人）．
故答案为：1600．
17．
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
由题意可知，存在，
∴，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，
∴且，
∵，，
∴且，
解得．
故答案为：，．
18．①②/②①
【分析】连接AC并延长至点E，根据三角形外角的性质可证明结论①；连接AC，BD，根据“”证明△ABC≌△ADC，结论②可得；由由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD，可得结论③；连接BD，假设存在凹四边形ABCD，则可证△ABD≌△CDB，∠A＝∠BCD，从而得出结论④．
【详解】解：①连接AC并延长至点E，如图1所示：
∵∠BCE为△ABC的外角，
∴∠BCE＝∠BAC+∠B，
∵∠DCE为△DAC的外角，
∴∠DCE＝∠CAD+∠D，
∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D，
故①正确；
②连接AC，BD，如图2所示：
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AC⊥BD，
故②正确；
③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，
不能得出BC＝CD，
故③不正确；
④连接BD，假设存在凹四边形ABCD，
有AB＝CD，AD＝BC，
则在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，
故④不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、凹四边形的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解①得：，
解②得：，
．
21．(1)是的切线，理由见解析
(2)1
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理的推论，可知，再根据等腰三角形三线合一性质，可得点D为的中点，再根据中位线定理可证明，然后利用平行线的性质即可证明，最后根据切线的判定定理，即可证明结论；
（2）先证明，即得，在和中，利用解直角三角形，即可分别求出和的长．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下：
如图，连接，，
为的直径，
，
，
，
点D为的中点，
点O为中点，
为中位线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，D为的外端点，
是的切线；
（2）∵，
，
，，
，
即，
在中，，，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22．(1)
(2)画图见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）分两种情况：点D在线段上，此时；点D在线段上，此时；利用相似三角形的性质即可求解；
（2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图像即可写出的一条性质；
（3）观察图像，当的图像在的图像上方或相交时，即可确定自变量的取值范围．
【详解】（1）解：当点D在线段上，此时；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
当点D在线段上，如图，此时，；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
综上，，
（2）解：所画的两个函数的图像如下：
函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．
（3）解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时．
【点睛】本题考查了了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数解析式，画函数图像，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知是菱形，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
．
24．(1)，
(2)的面积为4或5
(3)或
【分析】（1）令，求出A，B两点的坐标，将点的坐标代入求出抛物线的解析式即可；
（2）设，分点为的中点和点为的中点，两种情况进行讨论求解；
（3）分点在对称轴的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
设，则：，，
当点为的中点时，则：，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
∴；
当点为的中点时，则：，
解得：（舍去）或，
∴，
同法可得，直线的解析式为，
设与轴交于点，
当时，，
∴，
∴；
综上：的面积为4或5；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∴的横坐标为，
∵四边形是矩形且，
∴，，
设，
当点在对称轴左侧：
①点在轴下方时，如图：过点作轴，过点作，
则：，，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去）或；
②当点在轴上方时，如图：
同法可得：，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
当点在对称轴右侧时，分别过点作对称轴的垂线，垂足分别为，如图：
同法可得：，
∴，
∴，
解得：（舍去）或；
综上：点的横坐标为：或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点问题，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键．
（1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到，进而利用等角对等边可得结论；
（2）先利用直径所对的圆周角是直角得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据相似三角形的判定可得结论；
（3）设，，则，，，证明求得，再利用等腰三角形的性质得到，由列方程求解x值即可解答．
【详解】（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴，则，
∵，，
∴，又，
∴；
（3）解：由可设，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即⊙的半径是4．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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