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广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上册第一次月考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次函数图像开口方向向下的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数的图象与性质说法正确的是（ ）
A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称
C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2
4．抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（ ）
A．－2 B．1 C．7 D．10
9．光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个．其中正确的结论为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
11．已知函数，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 ．
12．若关于的一元二次方程有一个根为1，则 ．
13．已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
三、解答题
17．用合适的方法解一元二次方程
(1)；
(2)
(3)
18．如图，已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该函数的解析式．
(2)利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
20．已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
… 0 1 2 3 …
… 0 3 …
(2)根据图象回答：当时，的取值范围是______；
(3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______．
21．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
22．如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 11.25 10 6.25
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
23．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
24．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

（3）对于上面的函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是_____．
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是____．
25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．
(1)求，两点的坐标．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上册第一次月考数学模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C A B A D D B
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程，即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
利用二次函数的图像和性质，二次项系数小于0，开口方向向下，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
B. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
C. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
D. 该选项，二次函数图像开口方向向下，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误；
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
离对称轴越远的点，函数值越小．
又，
，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况．
先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况．
【详解】解：，
，，，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出根的和与积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解∶∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，，
∴，．
∴，
故选∶D．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系正确列式是关键．
从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，由此列式即可求解．
【详解】解：2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，增长率为，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，
∴，
故选：D ．
10．B
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，故①正确；
当时，，
∵时，抛物线在x轴上方，
∴，
将代入得，故②正确；
∵，
当 时，，即 ；
当 时，抛物线在最低点（顶点），且，故，即 ．
∴，故③错误；
方程 的根是抛物线与直线的交点横坐标．
∵抛物线对称轴为，
∴抛物线与x轴的交点范围，可能的整数横坐标为 0，1，2，
情况1：当交点为和时，满足；
情况2：当交点为，此时直线经过抛物线的顶点，满足；
∴若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个，故④正确．
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用是二次函数得出关于a的不等式是解题关键．根据函数是二次函数，得求解即可．
【详解】已知函数，
若y是x的二次函数，
则，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一元二次方程的根，把根代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴，
解得；
故答案为：．
13．直线
【分析】根据二次函数对称轴的公式，直接代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数的对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线．
14．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
15．15
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
16．/4秒
【分析】把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求．
【详解】∵，
∵ ，
∴当时，函数有最大值，为，
∴.这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）运用因式分解法求解可得；
（2）运用公式法求解可得；
（3）运用直接开平方法求解可得
【详解】（1），
移项，得：，
因式分解，得：，
或，
，；
（2），
，，，
，
，
，．
（3）
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得解；
（2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象分别经过点，．
∴，
解得
函数的解析式；
（2）解：令，则，
解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点为，，
由图象可得当或时，，
故答案为：或．
19．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
20．(1)，，；函数图象见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键．
（1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；
（3）图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
时，；时，，时，，
描点、连线、绘制函数图象如下：
故答案为：，，；
（2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足，
∴t的取值范围为，
故答案为：．
21．(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
22．(1)
(2)运动员甲不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，，
∴，
∴设函数表达式为，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.5，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
即运动员甲在水面上无法完成此动作，
∴运动员甲不能成功完成此动作．
23．(1)
(2)
【分析】（1）分别令，代入计算求解；
（2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，解得
∴．
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，，
．
设平移后的抛物线为，则，解得，
平移后抛物线的解析式为．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（1）x为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）
【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
【详解】解：（1）∵函数y=x2-4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y=x2-4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；

（3）由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1＜k＜3，
故答案为：-1＜k＜3．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．(1)，
(2)
(3)存在，，，使是以为腰的等腰三角形
【分析】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；
（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；
（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．
【详解】（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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