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2025年河北省邢台市平乡县直中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a3□a=a2，则“□”内应填的运算符号是（　　）
A. + B. - C. × D. ÷
2.用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3.对于式子（-5）×3，左边的第一个因数增加2后，积变化为（　　）
A. 减少5 B. 减少10 C. 增加6 D. 增加10
4.下列计算结果与结果不相同的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，已知等腰△AEN中，AE=AN，分别以AE，AN为边，作正五边形ABCDE与正方形ABMN有公共边AB，则∠AEN的度数为（　　）
A. 9°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
6.用科学记数法表示的数3.06×107还原后0的个数为m,则m的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（　　）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
8.某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）.如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（　　）
A. 18个 B. 10个 C. 9个 D. 8个
9.如图，直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切，圆心O在边AB上，若∠C=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是BC与半圆弧上的动点，则PQ的最大值和最小值之积是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.沧州市某天的气温y1（℃）随时间t的变化情况如图所示，设y2（℃）表示0h到th,气温值的极差，则y2（℃）与t的函数图象大致是（　　）
A.
B.
C.
D.
11.如图，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的顶点B（0，2）在y轴上，AB=AC，且BC∥x轴，函数的图象过点A（2，5），且与AC交于点D，则点D的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D. （5，2）
12.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，在△ABC外的Rt△DCE中，EC=CD，∠ECD=90°，连接AD，转动Rt△DCE使EC的延长线与线段AD相交于点M，点M为AD中点，连接BE，下列几人的结论：
甲同学说：△BEC为直角三角形且∠BEC=90°；
乙同学说：BE的长是CM的长的2倍；
丙同学说：△BCE与△ACD的面积相等.
其中正确的是（　　）
A. 甲的说法正确
B. 乙的说法正确
C. 丙的说法正确
D. 三人的说法都正确
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.嘉琪参加了一个摸球抽奖游戏，一个不透明的盒子里有1个红球，3个白球，3个黄球，5个绿球，这些小球除颜色外完全相同，从箱子中摸出1球，摸到白球的概率为 .
14.如图，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，点E为BC边上一点，且BE=3，点M是AE上一点，且，P，Q两点分别是AD、CD上的动点，则PM+QM的最小值为 .
15.对于实数P，我们规定：用表示不大于的最大整数，例如：，，…，则（其中“+”“-”依次相同）的值为 .
16.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD是△ABC的底边上的高，且AD=1.线段DE是△ABD的中线，点P是线段DC上一点，连接EP.将线段EP绕点E逆时针旋转60°至点P′，交DA的延长线于点F，若点P为CD中点，∠AFE=40°，则AF= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄.某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正.出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：-8，+7，+3，-12，+6，-13，+4，+9.
（1）通过计算，说明出租车离A市多远？
（2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站______次；
（3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？
18.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，点C是的中点，过点C作AD的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F.
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若，通过计算比较⊙O的直径与劣弧的长度哪个更长.
19.(本小题9分)
如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B.
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）延长AB至点C，使AB：BC=1：1.若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程.
20.(本小题9分)
在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示.
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是______
A.
B.
C.
D.
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用.
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
21.(本小题9分)
眼睛是人类观察世界的重要器官，是人类从外界获取信息，与外界沟通的重要媒介，眼睛是心灵的窗口，每年6月6日是全国“爱眼日”，今年“爱眼日”的主题——爱眼、护眼、远离眼盲.某中学为了解本校学生视力健康状况，组织趣味数学小组按下列步骤来开展统计活动.
一、确定调查对象
（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查.
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______.
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别.数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成统计表和一幅不完整的统计图.
抽取的学生视力状况统计表
类别 A B C D
视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5
健康状况 正常 轻度不良 中度不良 重度不良
人数 160 m n 56
三、分析应用数据
（2）调查视力数据的中位数所在类别为______类；
（3）该校共有学生1800人，求出m,n的值并估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议.
22.(本小题9分)
【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k,b为常数，且k≠0），称函数为一次函数y=kx+b的关联函数.
【理解运用】
（1）例如：一次函数y=-3x-1的关联函数为
若点P（2，m）在一次函数y=-3x-1的关联函数的图象上，则m的值为______.
（2）已知一次函数y=-3x-1，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究.下面是嘉嘉的探究过程：
①填表：
x … -1 0 1 2 …
y … …
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=-3x-1的关联函数的图象；
③若-1≤x≤2，则y的取值范围为______.
23.(本小题9分)
【问题提出】
（1）如图1，点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，∠BDA=∠BAC，，若△ABD的面积为4，则△ACD的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，在射线BC和射线CD上分别取点E、F，使得，连接AE、BF相交于点P，连接CP，求CP的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形ABCD是某社区的一块空地，经测量，AB=120米，∠ABC=60°.社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD上取一点E，沿BE、CE修两条小路，并在小路BE上取点H，将CH段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，∠BHC=∠BCE，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH的长度尽可能小，问CH的长度是否存在最小值？若存在，求出CH长度的最小值；若不存在，请说明理由.
24.(本小题9分)
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=-的距离PN（该结论不需要证明）.他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=-叫做抛物线的准线方程.准线l与y轴的交点为H.其中原点O为FH的中点，FH=2OF=.例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=-，其中 PF=PN，FH=2OF=.
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y=x2的焦点坐标和准线l的方程：______，______；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y=x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y=x2的焦点为F，准线方程为l.直线m：y=x-3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a（x-h）2+k（a＞0）.抛物线y=a（x-h）2+k（a＞0）内有一定点F（h,k+），直线l过点M（h,k-）且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线y=2（x-1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离.
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=x2-1上一动点.当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】23
16.【答案】
17.【答案】4千米；
6；
4.34升
18.【答案】（1）解：EF是⊙O的切线，
如图，连接AC、OC，则OC=OA，
∴∠OCA=∠EAC，
∵=，
∴∠EAC=∠FAC，
∴∠OCA=∠FAC，
∴OC∥AF，
∵CF⊥AD，
∴∠OCE=∠F=90°，
∵EF经过⊙O的半径OC的外端，且EF⊥OC，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：设OA=OB=OC=r,OE=AE-OA=9-r,
∵OC2+CE2=OE2，且CE=3，
∴r2+（3）2=（9-r）2，
解得r=3，
∴OC=3，OE=9-3=6，
∵sinE===，
∴∠E=30°，
∴∠AOC=∠E+∠OCE=30°+90°=120°，
∴==2π，
∴的长为2π．
∵圆的直径是6，6＜2π，
∴ 长．
19.【答案】a=2，抛物线的顶点坐标为；

20.【答案】2；
C；
58元
21.【答案】方案三； B； m=64，n=120，该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数792名； 大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操
22.【答案】5；

23.【答案】5
24.【答案】解：（1）（0，1）， y=-1
（2）由（1）知抛物线y=2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴=3y0，整理得：=8+2y0-1，
又∵y0=，
∴4=8+2y0-1，
解得：y0=或y0=-（舍去），
∴0=，
∴点P的坐标为（，）；
（3）d1+d2的最小值为-1．
（4）∵抛物线y=x2-1中a=，
∴=1，-=-1，
∴抛物线y=x2-1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y=-2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG=PF，则PO+PD=PG+PD，如图：
若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD=PG+PD=DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：
∵点D的坐标为（-1，），DG⊥准线l,
∴点P的横坐标为-1，代入y=x2-1解得y=-，
即P（-1，-），DP=+=，
则△OPD的面积为××1=．
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