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2025年广东省深圳市中考九年级数学综合测试题（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若向东走，记为，则向西走记为（　　）
A． B． C． D．
2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）．
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
3．如果是投掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，则关于的一元二次方程有两个实数根的概率　　
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是(　 　)
A． B．12 C．14 D．21
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．光在不同介质中的传播速度不同，从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光从玻璃射入空气时发生折射，为入射光线，为折射光线，N为延长线上一点，已知，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
7．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长交于点K，若平分，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是 ．
10．将点向右平移1个单位长度到点Q，且点Q恰好在y轴上，那么点Q的坐标是 ．
11．化简：÷＝ ．
12．在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ．
13．如图，已知在矩形中，，，点M，N分别在边和上，沿着折叠矩形，使点A的对应点始终落在边上，点D的对应点为点，连接，，则下列结论正确的有 （填序号）．

①若点是边的中点，则；
②折痕长度的取值范围为；
③当时，点M是边的一个四等分点；
④连接，当时，是等腰直角三角形．
三、解答题
14．计算．
15．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得　　；
(2)解不等式②，得　　；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为　　．
16．新华社消息：法国教育部宣布，小学和初中于2018年9月新学期开始，禁止学生在校使用手机．为了解学生手机使用情况，包河区某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数为42．
(1)本次抽样调查一共抽取了 人；补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数为 度；
(3)该校共有学生2100人，请估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
17．某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批发价/（元/千克） 4 3
零售价/（元/千克） 5
(1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数关系式；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
18．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
(2)如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
②若，则的长度为多少．
19．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）．
【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表：
（单位：） … …
（单位：） … 1 …
（1）猜想：与的数量关系是______．
【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程．
证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______．
又∵，∴______．
易证．
∴……
请完成证明过程．
【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由．
②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．

20．如图1，为半圆O的直径，为半圆上的动点，连接，点A关于的对称点为点D，连接．
(1)若，连接，求的度数；
(2)如图2，若点E在半圆O上，的长度为，连接为中点，连接交于点为上一点，．
①当时，判断点Q与直线的位置关系，并说明理由；
②如图3，连接，在点C运动过程中，当时，记，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025年广东省深圳市中考九年级数学综合测试题（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A C C C C
1．A
【分析】根据正负数的意义可进行求解．
【详解】解：∵向东走，记为，
∴向西走记为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故选B．
3．C
【分析】直接利用根的判别式以及概率公式得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，且，解得：，
符合题意的数字为：2，3，4，5，
方程有两个实数根的概率，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率：P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
5．C
【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式等知识，根据以上知识正确化简计算是解题的关键.根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，以及完全平方公式解答即可．
【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不符合题意；
B．，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．，原计算正确，故此选项符合题意；
D．，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，再利用角的和差即可求得．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题．
【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，
则实际工作时每天绿化的面积为万平方米，
根据题意得：
故选：C．
8．C
【分析】过点K作，设，先证得，可得，再证，可得，即，解出，再证，列比例式求解即可．
【详解】解：过点K作，设，
∵平分，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．
【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
根据两个方程的特点，第二个方程中的相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是，
∴关于的一元一次方程的解为：，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】先根据平移方式表示出点Q的坐标，再根据y轴上点的特征解题即可．
【详解】由题意，得点Q的坐标为，
∵点Q恰好在y轴上
则，解得，故，
点Q的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点的平移及在y轴上点的特征，掌握点的平移规律及在y轴上点的特征是解题的关键．
11．x﹣1
【分析】先利用平方差公式对第一项分子进行分解因式，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：原式＝
＝x﹣1
故答案为：x﹣1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．
12．或
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，通过交点和象限求系数的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．
先求出临界交点的坐标，然后根据反比例函数图象的性质求解，通过反比例函数图象所在的象限得出另一种情况．
【详解】解：把代入，得，
把代入得，，
∵当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，
∴；
当时，反比例函数图象位于第二和第四象限，也满足要求；
故答案为：或．
13．①②④
【分析】证明，，，可得，故①符合题意；当与重合时，折痕，此时折痕最短，且，当与重合时，折痕最长，如图，连接，由矩形的性质可得：，证明，可得，可得；故②符合题意；如图，连接，，证明，可得，设，则，，设，则，由，，可得，则，证明，可得，即，则，解方程可得，故③不符合题意；由折叠可得：，，设，，则，，证明，可得是等腰直角三角形，故④符合题意．
【详解】解：∵点是边的中点，，矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①符合题意；
∵沿着折叠矩形，使点A的对应点始终落在边上，
∴当与重合时，折痕，此时折痕最短，且，
当与重合时，折痕最长，如图，连接，

由勾股定理可得：，
由折叠的性质可得：，，，
由矩形的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；故②符合题意；
如图，连接，，

∵矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，，
设，则，
由对折可得：，，，
∴，
由，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴，故③不符合题意；
由折叠可得：，，
设，，
∵，，

∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故④符合题意．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是矩形与折叠，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，本题难度大，综合程度高，是压轴题．
14．
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
15．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（1）解不等式①求解集即可；
（2）解不等式②求解集即可；
（3）在数轴上表示解题即可；
（4）根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了写出公共部分．
【详解】（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）在数轴上表示为：
（4）原不等式组的解集为，
故答案为：．
16．(1)105
(2)126
(3)1380
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）从扇形统计图可得，“查资料”的有42人，占调查人数的，可求出调查人数；求出“3小时以上”的人数，即可补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求出“玩游戏”所占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数：
（3）样本中“每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）”所占的百分比，估计总体2100人中的是“每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）”的人数．
【详解】（1）解：总人数为： （人，
3小时以上的人数为：（人，
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是；
答：“玩游戏”对应的圆心角的度数为．
（3）解：估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数为：
（人．
答：全校学生2660名学生中每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的有1380人．
【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
17．(1)全部售完获利为580元
(2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解；
（2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解；
②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解；
找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克，
根据题意列出方程组为：
解得：，
全部售完获利：
（元）．
（2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜（）件，
根据题意
，
②超市第二次获利不能超过第一次获利，
理由如下：
，
解得：，
由①可知，，
，
一次函数w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
（元），
，
超市第二次获利不能超过第一次获利．
18．(1)作图见解析
(2)①作图见解析；②5
【分析】（1）延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示，即可在图中画的内接三角形，使；
（2）①过点尺规作图作即可得到答案；②由切线性质，结合平行线的性质证明平分，再根据三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，则即为所求；
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：
∵为直径，，
∴为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆综合，综合性较强，难度适中，涉及无刻度直尺作图、圆周角定理、三角形的相似判定、尺规作图作垂线、切线的判定、平行线性质、直径所对的圆周角是直角、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质和三角形相似的判定定理是解本题的关键．
19．
（1）
（2）
（3）①；②
【分析】本题主要一次函数，二次函数图象的性质，理解材料提示方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键．
（1）根据表格信息求解即可；
（2）根据题意得到，证明，即可求解；
（3）①根据材料提示的方法得到，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据题意分段得到的坐标，得到的值，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）根据表格信息得到，；
（2）证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得．
又∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，即．
（3）①直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
同理，直线与抛物线交于点，
∴，
直线与抛物线交于点，
∴，
∴关于轴对称点分别是，
∴，
∴；
②直线与抛物线相交于点，
∴，
解得，，
∴，
∴，
直线与抛物线相交于点，
，整理得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)①点Q在直线外，见解析；②
【分析】（1）连接，由轴对称的性质可得，则点D在半圆O上，则由，再由圆周角定理即可得到答案；
（2）①连接，如图所示，同理可证明点D在半圆O上，则，由弧长公式可得，可证明，设与交于点P，解直角三角形可得，由，可得点Q在直线外；
②连接，则，由三线合一定理得到，则，可推出；设交于点N，证明，求出，得到，设，则，可得，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
为半圆O的直径，点A关于对称点为点，
，
点D在半圆O上，
，
；
（2）解：①点Q在直线外，理由如下：
连接，如图所示，
为直径，点A关于对称点为点D，
，
点D在半圆O上，
，
又∵，
，
的长度为，半圆O的直径，
∴，
，
∴，
，
，
设与交于点P，直角三角形中，，
，
又∵Q在上，，
点Q在直线外；
②连接，如图所示，
则，
为中点，
，
，
，
，
∴；
设交于点N，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
直角三角形中，，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，求弧长，圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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