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四川省成都市教育科学研究院附属中学2025-2026学年上学期九年级9月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．如图，，，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了年，该省新能源汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．已知线段是线段、的比例中项，如果，，则 ．
11．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为 ．
12．已知实数满足，，且，则的值为 ．
13．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，连接，四边形的周长为 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
16．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD=AD：DB；
（2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长．
17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF．
(1)求证：四边形CFBE是菱形；
(2)若AB=10，BC=8，求DF的长．
18．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、填空题
19．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
20．已知，则的值是 ．
21．若方程的两个实数根为，，则的值为 ．
22．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是 ．
23．如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是 ．
五、解答题
24．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
25．配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值．
解：．
，
，
当时，取最大值，最大值是5．
试利用配方法解决下列问题：
(1)求出的最小值．
(2)已知，试判断的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？
26．如图，点P是平行四边形内一点，，连接

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若的面积与的面积的比是，且，求平行四边形的面积；
(3)如图3，在（1）的条件下，若，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C C D B B B
9．5
10．
11．8
12．10
13．12
14．（1）解：，
或，
解得：或，
∴原方程的根为：，；
（2）解：
，
∴，
∴原方程的根为：．
15．（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴．
16．（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴．
（2）∵AD：BD=2：1，
∴BD=AD，
∴AD+AD=15，
∴AD=10，
∵AF：FD=AD：DB，
∴AF：FD=2：1，
∴AF=2DF，
∵AF+DF=10，
∴2DF+DF=10，
∴DF=．
17．（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AC==6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
又∵CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF=AC=6，
由（1）可知，DF=DE，
∴DF=EF=3．
18．（1）
（x﹣）（x﹣1）=0，
解得x1=，x2=1．
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=．
∴A（1，0），B（0，）．
∴AB=2．
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4．
∴C（﹣3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2．
∴
∴
①当点M在CB边上时，S==2﹣t（0≤t＜2）；
②当点M在CB边的延长线上时，S==t﹣2（t＞2）．
（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）．
19．解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
20．解：设x=2k，y=3k，z=4k，
所以，
故答案为：．
21．解：∵为方程的实数根，
∴，即，
∴
∵方程的两个实数根为，，
∴，
∴．
故答案为：．
22．当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣3)(x+2)=0，
解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+3)(x﹣2)=0，
解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
23．如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，
∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，
∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABGC是菱形，
∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，
∴AF=AG-FG=
故答案为：．
24．（1）解：由题意得：（元），
∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元；
（2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件恤衫的销售价应该定为元；
（3）解：不能，理由如下：
设每件恤衫降价元，
∵为了保证每件恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合题意，舍去，
∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
25．（1）解：，
，
，
当时，有最小值，最小值为，即的最小值为．
（2）解：，理由如下：
，
，
，
∴．
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为．
∵四边形的面积，
当的面积最大时，四边形的面积有最小值，
即当时，四边形面积的最小值，最小面积为．
26．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，即．
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
（2）如图，过点P作，交于M，交于N．

∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点P作于E交于F，在上截取一点T，使得，连接．

设．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
整理得，，
∴，
解得：，．
当时，，
∴此时不合题意舍去，
∴．
答案第1页，共2页
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