资源简介

上海市桃李园实验学校2025-2026学年九年级上学期第一次质量调研数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把一个多边形按的比缩小，则下列说法正确的是（ ）
A．各边都扩大到原来的3倍，各角不变 B．各边和各角都缩小到原来的
C．各边和各角都扩大到原来的3倍 D．各边都缩小到原来的，各角不变
2．下列语句叙述正确的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似
C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似
3．在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ）
A． B． C． D．
6．如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（ ）
A．与的面积相同，且与平行
B．与的面积相同，且与不平行
C．与的面积相同，且与平行
D．与的面积相同，且与不平行
二、填空题
7．两个相似多边形的面积比是，则它们的周长比是 ．
8．如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 ．
9．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为 ．（结果保留根号）
10．如图，在中，于点D，点E在上，且，连接并延长交于点F，则线段长为 ．
11．如图，若，如果，那么 ．
12．如图，在矩形中，若，则的长为 ．
13．如图，点G是的重心，连接、并延长分别交、于点D，E，连接，则 ．

14．若，则 ．
15．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．

16．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里．
17．如图，点为平分线上一点，以点为顶点的两边分别与射线、相交于点、，如果在绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的关联角．如果，是的关联角，那么的度数为 ．
18．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则 ．
三、解答题
19．如图，已知线段、、，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹）．
20．如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．
(1)如果，求的长；
(2)如果，，求的长．
21．如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且，
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
22．如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．

(1)求证：；
(2)求证：．
23．如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
24．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
(1)求像的长度．
(2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
25．已知在梯形中，，，且，，
(1)如图：P为上的一点，满足，求的长；
(2)如果点P在上移动（点P与点A、D不重合），且满足，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么
①当点Q在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式；
②当时，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《上海市桃李园实验学校2025-2026学年九年级上学期第一次质量调研数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B D C B A
1．D
【分析】题目中“1:3”表示缩小后的图形与原图形的对应边之比为，即各边缩小到原来的 .
【详解】解：把一个多边形按的比缩小后，各边都缩小到原来的，各角是不变的.
故选：D ．
【点睛】根据相似多边形的性质，按比例缩小后的图形与原图形对应边成比例，对应角相等。比例1:3表示缩小后的边长为原边长的，而角度保持不变.
2．B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明．
本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用．
【详解】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、有一个角是的直角三角形都相似，正确；
C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误；
D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：A. ∵，，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B.∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
C.∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
D. 不等得到，故D符合题意；
故选D．
4．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，，，
正确选项为C，
故答案为：C
5．B
【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线得性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
由题意可知：，，，，，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查三角形重心，根据三角形重心的性质求出，从而根据三角形面积性质即可判断G，D的位置，从而得到答案．
【详解】解：∵内部有一点，且、、的面积分别为、、，
∴，
如图，
E，F，H分别是所在边的中点，则G为的重心，
过G和A分别作的垂线，垂足分别为M、N，
则根据三角形重心的性质可知，
∴，
同理，
∴，
∴点、到的距离相等，且位于的同侧，
∴，故A正确，BCD错误；
故选：A．
7．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比计算即可．
【详解】∵两个相似多边形的面积比是，
∴相似多边形的相似比为
∴它们的周长比是．
【点睛】本题考查了相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
8．8
【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似比是，可得面积的比是，即可求解；掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：长为为，宽为的矩形的面积是，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是，
因而面积的比是，
因而留下矩形的面积是．
故答案为：8．
9．/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，二次根式的计算，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．将代入计算即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，作交于H．想办法证明：即可解决问题．
【详解】解：如图，作交于H．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
11．6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
12．1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
13．
【分析】根据三角形的重心的概念得到是的中位线，证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：点是的重心，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的重心的概念、三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键．
设，可得，再代入求值即可得到答案．
【详解】设，则，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可．
【详解】解：设与的交点为，如下图：

设，则，
由题意可得，，
∴，
∴，即
解得，即
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解．
【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里，
正方形的中心为，
里，，
，
即
解得：，或不合题意，舍去，
，
故答案为：．
17．/155度
【分析】由已知条件得到，由于，得到，根据相似三角形的性质得到，根据等量代换即可得到结论；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得到．
18．1：5
【分析】作EF//AB交CM于点F，先证明△DMN≌△EMF，得，MF＝MN＝NF，设，由＝，得CF＝NF＝2MF，可推导出，再由△CEF∽△CAN推导出，则，即可求得．
【详解】解：如图，作EF//AB交CM于点F，
∵∠MDN＝∠MEF，DM＝EM，∠DMN＝∠EMF，
∴△DMN≌△EMF（SAS），
∴，MF＝MN＝NF，
设，
∵DE是△ABC的中位线，
∴AE＝CE，
∵，
∴△CEF∽△CAN，
∴＝=，＝＝＝，
∴CF＝NF＝2MF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1：5．
【点睛】此题重点考查三角形的中位线、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．图形见解析
【分析】把x＝变形得到c：a=b：x，则实际上作c、a、b、x的第四比例项，按照做比例线段的方法作图即可．
【详解】∵x＝，
∴c：a=b：x，
作出c、a、b、x的第四比例项得到x，如图：
【点睛】本题考查了作图—相似变换，能将x＝变形得到得到c：a=b：x，确定出求x就是求第四比例项是解题的关键.
若a、b、c、d满足：a：b=c：d，则这四条线段成比例，其中d叫第四比例项．
20．(1)6
(2)15
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，
（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长，
熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质：
（1）利用平行线分线段成比例的推论即可得证；
（2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即．
【详解】（1）∵，
∴．
∵E为中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，E为中点，
∴，，
∴，
∴．
又由（1）可得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论；
（2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论．
【详解】（1）解：证明：是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）过点A作于H，如图2所示：
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．(1)3.2
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键．
（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与解答即可；
（2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米；
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米．
25．(1)或
(2)①；② 或
【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形；
（1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出的长．
（2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式．
②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可．
【详解】（1）是梯形，，．
，
，，
，
．
，即：，
解得：或．
（2）如图，
①由（1）可知：
，即：，
．
②当时，
，
，即或，
，
解得：或，
或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑