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4.7相似三角形的性质
【知识点1】相似三角形的性质 1
【题型1】相似三角形判定与性质的综合 1
【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 5
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 6
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题型1】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6
【答案】B
【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC＝1：2，
∴AD：BC＝1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∵AD：BC＝1：2，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4．
故选：B．
【举一反三1】如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，又AB＝，BC＝，
∴BD＝＝3，
∵BE＝1.8，
∴DE＝3﹣1.8＝1.2，
∵AB∥CD，
∴＝，即＝，
解得，DF＝，
则CF＝CD﹣DF＝，
∴＝＝，
故选：A．
【举一反三2】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）
A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺
【答案】D
【解析】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD AB＝62.5 5＝57.5（尺）．
故选：D．
【举一反三3】在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为　 　．
【答案】1
【解析】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN＝1，
故答案为：1．
【举一反三4】已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN＝45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∴∠ABM＝∠ADN＝135°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；
（2）解：∵四边形BMND为矩形，
∴BM＝DN，
∵△ABM∽△NDA，
∴＝，
∴BM2＝AB2，
∴BM＝AB，
∴∠BAM＝∠BMA＝＝22.5°．
【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A.　 B.　 C.　 D.
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　)
A.只有一个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个
【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7.∴x的值可以有2个．故选B.
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为(　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的对应高之比为2∶3，故选A.
【举一反三3】已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则较小的三角形的周长为__________．
【答案】24 cm
【解析】∵相似三角形对应高的比为3∶10，∴相似三角形的相似比为3∶10，∴相似三角形周长的比为3∶10，设较小的三角形的周长为3x，则较大的三角形的周长为10x，由题意，得10x－3x＝56，解得x＝8，则3x＝24 cm.
【举一反三4】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM＝=7.5，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，
∴，即=，
∴DF＝5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN＝；
（2）∵，相似比为，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
【举一反三5】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长．
【答案】解：如图所示：∵△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，∴＝＝，∴＝，∵AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，∴＝，解得A′E′＝4，∴△A′B′C′中对应中线A′E′的长为4 cm.
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　　)
A.1.5 cm2 B.3 cm2 C.12 cm2 D.24 cm2
【答案】D
【解析】∵△ABC与△A′B′C′的周长比为2∶1，△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为4∶1，又△A′B′C′的面积为6，∴△ABC的面积＝24，故选D.
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应边之比为(　　)
A.3∶4 B.2∶3 C.9∶16 D.3∶2
【答案】D
【解析】∵△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，∴△ABC与△DEF的对应边之比3∶2.故选D.
【举一反三2】两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.1∶2
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.
【举一反三3】若△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，当S△ABC＝6 cm2时，则S△DEF＝________ cm2.
【答案】24
【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，∴面积比为1∶4，
∵S△ABC＝6 cm2，∴S△DEF＝4S△ABC＝24(cm2)．
【举一反三4】已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________cm.
【答案】8
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为81∶36＝9∶4，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2，∴AB∶DE＝3∶2，∵AB＝12 cm，∴DE＝8 cm.
【举一反三5】如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD：DB＝1：3，DE＝2，求BC的长．
【答案】解：∵AD：DB＝1：3，
∴AD：AB＝1：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵DE＝2，
∴BC＝8．
【举一反三6】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM＝=7.5，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，
∴，即，
∴DF＝5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN＝；
（2）∵，相似比为，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．4.7相似三角形的性质
【知识点1】相似三角形的性质 1
【题型1】相似三角形判定与性质的综合 1
【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 3
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 4
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题型1】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6
【举一反三1】如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）
A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺
【举一反三3】在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为　 　．
【举一反三4】已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN＝45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A.　 B.　 C.　 D.
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　)
A.只有一个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为(　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4
【举一反三3】已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则较小的三角形的周长为__________．
【举一反三4】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【举一反三5】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长．
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　　)
A.1.5 cm2 B.3 cm2 C.12 cm2 D.24 cm2
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应边之比为(　　)
A.3∶4 B.2∶3 C.9∶16 D.3∶2
【举一反三2】两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.1∶2
【举一反三3】若△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，当S△ABC＝6 cm2时，则S△DEF＝________ cm2.
【举一反三4】已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________cm.
【举一反三5】如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD：DB＝1：3，DE＝2，求BC的长．
【举一反三6】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？

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