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6.3反比例函数的应用
【知识点1】反比例函数综合题 1
【知识点2】反比例函数的应用 1
【知识点3】根据实际问题列反比例函数关系式 2
【题型1】反比例函数与一次函数 2
【题型2】反比例函数系数k几何意义的应用 6
【题型3】反比例函数与正比例函数 8
【题型4】反比例函数与速度或工作效率问题 10
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题 12
【题型6】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式 13
【题型7】反比例函数与物理知识的综合 15
【知识点1】反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【知识点2】反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【知识点3】根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
【题型1】反比例函数与一次函数
【典型例题】如图，函数y＝kx的图象与y＝的图象交于点A，B，已知点A的横坐标为3，则AB的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可得3k＝，解得k＝.将k＝分别代入两个函数中可得y=x,y=,解方程组得或所以交点为（3,）和（3,）．过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线交于点C，则AC＝3，BC＝6，在Rt△ABC中，AB＝＝，故选C.
【举一反三1】如图，直线y＝－x＋a－1与双曲线y＝－交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，a的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】直线y＝－x＋a－1与双曲线y＝－交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，∴a－1＝0，a＝1，故选B.
【举一反三2】如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　)
①点C坐标为(3,0)；②k＝；③S四边形OCBA＝；
④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】①∵将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，y3与双曲线交于B，与x轴交于C，∴直线BC的表达式为y3＝x－4，把y＝0代入，得x－4＝0，解得x＝3，∴C点坐标为(3,0)，故本结论正确；②作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，∵OA∥BC，∴∠AOC＝∠BCF，∴Rt△OAE∽Rt△CBF，∴，设A点坐标为(a,a)，则OE＝a，AE＝a，∴CF＝a，BF＝a，∴OF＝OC＋CF＝3＋a，∴B点坐标为(3+a,a)，∵点A与点B都在y2＝(x＞0)的图象上，∴a·a＝(3+a)·a，解得a＝2，∴点A的坐标为(2,)，把A(2,)代入y＝，得k＝2×＝，故本结论正确；③∵A(2,)，B(4,)，CF＝a＝1，∴S四边形OCBA＝S△OAE＋S梯形AEFB－S△BCF＝×2×＋×(+)×2－×1×＝＋4－＝6，故本结论错误；④由图象可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3，故本结论正确；⑤∵S△COD＝×3×4＝6，S四边形ABDO＝S四边形OCBA＋S△OCD＝6＋6＝12，∴S四边形ABDO＝2S△COD，故本结论正确．故选A.
【举一反三3】如图，正比例函数y＝kx(k＞0)和反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为________．
【答案】6
【解析】∵双曲线y＝与正比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC＝S△AOC，∵S△AOC＝×6＝3，∴S△ABC＝2S△AOC＝6.
【举一反三4】已知反比例函数y＝的图象过点A(3,1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的表达式．
【答案】解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点A(3,1)，∴k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)联立得ax2＋6x－3＝0，∵一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，∴△＝36＋12a＝0，∴a＝－3，∴一次函数的表达式为y＝－3x＋6.
【举一反三5】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4,2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6，
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
【答案】解：(1)把点A(4,2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，∴反比例函数表达式为y＝，∵OB＝6，∴B(0，－6)，把点A(4,2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得2=4k+b,－6=b,解得k=2,b=-6,∴一次函数的表达式为y＝2x－6.
(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，即C(3,0)，∴CO＝3，设P（a,），由S△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，∴P（,6）．
【题型2】反比例函数系数k几何意义的应用
【典型例题】当m，n是实数且满足m－n＝mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A，点B是“奇异点”且都在反比例函数y＝的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】设A（a,），∵点A是“奇异点”，∴a－b＝ab，∵a·＝2，则b＝，∴a－ ＝a×，即a－＝，而a≠0，整理得a2＋a－2＝0，解得a1＝－2，a2＝1，当a＝－2时，b＝2；当a＝1时，b＝，∴A(－2，－1)，B(1,2)，或A(1，2)，B(－2，－1)两种情况，直线AB解析式一样，选一种情况讨论即可，设直线AB的表达式为y＝mx＋n，把A(－2，－1)，B(1,2)代入，得－2m+n=－1,m+n=2,，解得m=1,n=1,∴直线AB与y轴的交点坐标为(0,1)，∴△OAB的面积＝×1×(2＋1)＝.故选B.
【举一反三1】如图，反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为(　　)
A.－3 B.3 C.－6 D.6
【答案】C
【解析】设A点坐标为A(x，y)，由图可知，A点在第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵AB⊥x轴，∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，∴S△AOB＝×|AB|×|OB|＝×y×|x|＝3，∴－xy＝6，∴k＝－6.故选C.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)的图象交于点P，Q，连接PO，QO，则△POQ的面积为________．
【答案】7
【解析】∵直线l∥x轴，∴S△OQM＝×|－8|＝4，S△OPM＝×|6|＝3，∴S△POQ＝S△OQM＋S△OPM＝7.
【举一反三3】如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM＝3，求该反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】解：∵S△AOM＝|k|，而S△AOM＝3，∴|k|＝3，解得k＝±6，∵反比例函数的图象在第二象限内，∴k＝－6，∴该反比例函数的表达式为y＝－(x＜0)．
【题型3】反比例函数与正比例函数
【典型例题】已知直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2＋x2y1的值为(　　)
A.－6 B.－9 C.0 D.9
【答案】A
【解析】∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y＝上的点，∴x1·y1＝x2·y2＝3，∵直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴原式＝－x1y1－x2y2＝－3－3＝－6.故选A.
【举一反三1】如图，直线y＝2x与双曲线y＝的图象的一个交点坐标为(2,4)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－4) B.(－2,4) C.(－4，－2) D.(2，－4)
【答案】A
【解析】由于反比例函数是中心对称图形，所以正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的两交点A，B关于原点对称．所以点(2,4)关于原点对称点的坐标为(－2，－4)．故选A.
【举一反三2】已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(－2,3)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－3) B.(－3，－2) C.(2，－3) D.(3，－2)
【答案】C
【解析】直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的两个交点坐标关于原点对称，所以另一个交点的坐标是(2，－3)．故选C.
【举一反三3】已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(－2,3)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－3) B.(－3，－2) C.(2，－3) D.(3，－2)
【答案】C
【解析】直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的两个交点坐标关于原点对称，所以另一个交点的坐标是(2，－3)．故选C.
【举一反三4】如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝(m，n是非零常数)的图象交于A，B两点．若点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标是(　　)
A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2)
【答案】C
【解析】∵正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的两交点A，B关于原点对称，∴点A(1,2)关于原点对称点的坐标为(－1，－2)．故选C.
【举一反三5】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【答案】(－1，－3)
【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(－1，－3)．故答案为(－1，－3)．
【举一反三6】已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(－1，－2)，则m＝____；k＝______；它们的另一个交点坐标是__________．
【答案】2；2；(1,2)
【解析】根据题意，得－2＝－1×m，－2＝，解得m＝2，k＝2.又由于另一个交点与点(－1，－2)关于原点对称，则另一个交点的坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．
【举一反三7】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【答案】(－1，－3)
【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(－1，－3)．故答案为(－1，－3)．
【举一反三8】已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(－1，－2)，则m＝____；k＝______；它们的另一个交点坐标是__________．
【答案】2；2；(1,2)
【解析】根据题意，得－2＝－1×m，－2＝，解得m＝2，k＝2.又由于另一个交点与点(－1，－2)关于原点对称，则另一个交点的坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．
【题型4】反比例函数与速度或工作效率问题
【典型例题】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是(　　)
A.y＝(x＞0) B.y＝(x≥0) C.y＝300x(x≥0) D.y＝(x＞0)
【答案】A
【解析】这些煤能烧的天数＝煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数．∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，∴这些煤能烧的天数为y＝(x＞0)，故选A.
【举一反三1】已知甲、乙两地相距s(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，可得t＝，根据s为定值，则t和v成反比例函数关系，且v>0.故选D.
【举一反三2】购买x斤水果需24元，购买一斤水果的单价y与x的关系式是(　　)
A.y＝(x＞0)
B.y＝(x为自然数)
C.y＝(x为整数)
D.y＝(x为正整数)
【答案】A
【解析】∵总价为24，数量为x，∴单价y＝(x＞0)，故选A.
【举一反三3】某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数关系式为__________．(不要求写出自变量x的取值范围)
【答案】y＝
【解析】∵某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，使用的天数为y(单位：天)，∴y与x的函数关系式为y＝.
【举一反三4】某商店某种商品某一天的销售额是150元，这种商品的销售单价为x元，则这一天此种商品的销售数量y(只)与销售单价x(元)之间的函数关系式为______________．
【答案】y＝
【解析】根据“数量＝总价÷单价”，可得商品的销售数量y(只)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝.
【举一反三5】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【答案】解：(1)设线段AB所在的直线的表达式为y1＝k1x＋20，把B(10,40)代入，得k1＝2，∴y1＝2x＋20.设C，D所在双曲线的表达式为y2＝，把C(25,40)代入，得k2＝1 000，∴y2＝，当x1＝5时，y1＝2×5＋20＝30，当x2＝30时，y2＝＝，∴y1＜y2，∴第30分钟注意力更集中．
(2)令y1＝36，∴36＝2x＋20，∴x1＝8.令y2＝36，∴36＝，∴x2＝≈27.8，∵27.8－8＝19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题
【典型例题】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为(　　)
A.y＝ B.y＝5x C.y＝ D.y＝
【答案】C
【解析】∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy＝10，∴y与x的函数关系式为y＝.故选C.
【举一反三1】如果矩形的面积为6，那么它的长y与宽x间的函数关系用图象表示(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由矩形的面积公式，可得xy＝6，∴y＝(x＞0，y＞0)．图象在第一象限．故选C.
【举一反三2】为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式：V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵V＝Sh(V为不等于0的常数)，∴S＝(h≠0)，S是h的反比例函数．依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选C.
【举一反三3】已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与高所对的底a的函数关系式是h＝______________.
【答案】
【解析】∵三角形面积S＝ah，∴h＝.
【举一反三4】已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．
【答案】解：∵xy＝60，∴y＝(x＞0)，∴y是x的反比例函数．
【举一反三5】长方形相邻的两边长分别x，y，面积为30，用含x的式子表示y.
【答案】解：∵长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，∴xy＝30，∴y＝.
【题型6】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式
【典型例题】如图，函数y1＝x－1与y2＝的图象交于点A(2,1)，B(－1，－2)，则使y1＞y2的x的范围是(　　)
A.x＞2 B.－1＜x＜0或x＞2 C.－1＜x＜2 D.x＜－1或x＞2
【答案】B
【解析】∵y1＞y2，∴其解集为一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的范围，∵A(2,1)，B(－1，－2)，∴当－1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2.故选B.
【举一反三1】如图，是反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx＋n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是(　　)
A.1＜x＜6 B.x＜1 C.x＜6 D.x＞1
【答案】A
【解析】由图象可知，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是1＜x＜6；故选A.
【举一反三2】如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝nx的图象交于A(－1，－3)，B两点，则－nx≥0的解集是(　　)
A.－1＜x＜0 B.x＜－1或0＜x＜1 C.x≤－1或0＜x≤1 D.－1＜x＜0或x≥1
【答案】C
【解析】∵－nx≥0，∴≥nx，∵反比例函数y1＝和正比例函数y2＝nx的图象交于A(－1，－3)，B两点，∴B点的坐标是(1,3)，∴－nx≥0的解集是x≤－1或0＜x≤1，故选C.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A，B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是____________．
【答案】x＜0或1＜x＜3
【解析】观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方．当x＜0或1＜x＜3时，y1＜y2.
【举一反三4】如图所示是一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为______________．
【答案】－2＜x＜0或x＞3
【解析】根据图象，可得当y1＞y2时，x的取值范围为－2＜x＜0或x＞3.
【举一反三5】在同一直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝的图象，利用这两个图象回答：
(1)x取什么值时，x比大？
(2)x取什么值时，x比小？
【答案】解：列表，描点，画图如下.
(1)当－1＜x＜0或x＞1时，x比大.
(2)当x＜－1或0＜x＜1时，x比小．
【题型7】反比例函数与物理知识的综合
【典型例题】某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)(R＞0)成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为(　　)
A.I＝ B.I＝ C.I＝ D.I＝－
【答案】C
【解析】设I＝(R＞0)，点(3,2)在这个函数图象上，则k＝3×2＝6，∴I＝ .故选C.
【举一反三1】一个物体对桌面的压力为10 N，受力面积为S cm2，压强为P Pa，则下列关系不正确的是(　　)
A.P＝ B.S＝ C.PS＝10 D.P＝
【答案】D
【解析】∵压强＝压力÷面积，压力为10 N，受力面积为S cm2，压强为P Pa，∴P＝，A正确；∴S＝，B正确；∴PS＝10，C正确；既然A正确，那么D不正确，故选D.
【举一反三2】蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I(安)与电阻R(欧)之间关系图象如图所示，若点P在图象上，则I与R(R＞0)的函数关系式是______________．
【答案】I＝
【解析】观察图象易知，I与R之间的是反比例函数关系，所以可以设I＝，由于点(3,12)在此函数图象上，∴k＝3×12＝36，∴I＝.
【举一反三3】阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m.
(1)动力F(N)与动力臂L(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？
(2)若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
【答案】解：(1)根据“杠杆原理”有FL＝1 500×0.4，∴函数的表达式为F＝，当L＝1.5时，F＝＝400, 因此，撬动石头需要400 N的力.
(2)由(1)知，FL＝600，∴函数表达式可以表示为L＝，当F＝400×＝200时，L＝3,3－1.5＝1.5(m)，因此若用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5米.
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆原理”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F＝，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂L的增大而减小，所以动力臂越长越省力．
【举一反三4】蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当R＝10 Ω时，电流能是4 A吗？为什么？
【答案】解：(1)由电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，设I＝(k≠0)，把(4,9)代入，得k＝4×9＝36，∴I＝.
(2)解法一：当R＝10 Ω时，I＝3.6 A≠4 A，∴电流不可能是4 A.
解法二：∵10×4＝40≠36，∴当R＝10 Ω时，电流不可能是4 A.6.3反比例函数的应用
【知识点1】反比例函数综合题 1
【知识点2】反比例函数的应用 1
【知识点3】根据实际问题列反比例函数关系式 2
【题型1】反比例函数与一次函数 2
【题型2】反比例函数系数k几何意义的应用 4
【题型3】反比例函数与正比例函数 5
【题型4】反比例函数与速度或工作效率问题 6
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题 7
【题型6】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式 8
【题型7】反比例函数与物理知识的综合 9
【知识点1】反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【知识点2】反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【知识点3】根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
【题型1】反比例函数与一次函数
【典型例题】如图，函数y＝kx的图象与y＝的图象交于点A，B，已知点A的横坐标为3，则AB的长为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线y＝－x＋a－1与双曲线y＝－交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，a的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　)
①点C坐标为(3,0)；②k＝；③S四边形OCBA＝；
④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，正比例函数y＝kx(k＞0)和反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为________．
【举一反三4】已知反比例函数y＝的图象过点A(3,1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的表达式．
【举一反三5】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4,2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6，
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
【题型2】反比例函数系数k几何意义的应用
【典型例题】当m，n是实数且满足m－n＝mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A，点B是“奇异点”且都在反比例函数y＝的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.
【举一反三1】如图，反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为(　　)
A.－3 B.3 C.－6 D.6
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)的图象交于点P，Q，连接PO，QO，则△POQ的面积为________．
【举一反三3】如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM＝3，求该反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围．
【题型3】反比例函数与正比例函数
【典型例题】已知直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2＋x2y1的值为(　　)
A.－6 B.－9 C.0 D.9
【举一反三1】如图，直线y＝2x与双曲线y＝的图象的一个交点坐标为(2,4)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－4) B.(－2,4) C.(－4，－2) D.(2，－4)
【举一反三2】已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(－2,3)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－3) B.(－3，－2) C.(2，－3) D.(3，－2)
【举一反三3】已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(－2,3)，则它们的另一个交点坐标是(　　)
A.(－2，－3) B.(－3，－2) C.(2，－3) D.(3，－2)
【举一反三4】如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝(m，n是非零常数)的图象交于A，B两点．若点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标是(　　)
A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2)
【举一反三5】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【举一反三6】已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(－1，－2)，则m＝____；k＝______；它们的另一个交点坐标是__________．
【举一反三7】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【举一反三8】已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(－1，－2)，则m＝____；k＝______；它们的另一个交点坐标是__________．
【题型4】反比例函数与速度或工作效率问题
【典型例题】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是(　　)
A.y＝(x＞0) B.y＝(x≥0) C.y＝300x(x≥0) D.y＝(x＞0)
【举一反三1】已知甲、乙两地相距s(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】购买x斤水果需24元，购买一斤水果的单价y与x的关系式是(　　)
A.y＝(x＞0)
B.y＝(x为自然数)
C.y＝(x为整数)
D.y＝(x为正整数)
【举一反三3】某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数关系式为__________．(不要求写出自变量x的取值范围)
【举一反三4】某商店某种商品某一天的销售额是150元，这种商品的销售单价为x元，则这一天此种商品的销售数量y(只)与销售单价x(元)之间的函数关系式为______________．
【举一反三5】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题
【典型例题】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为(　　)
A.y＝ B.y＝5x C.y＝ D.y＝
【举一反三1】如果矩形的面积为6，那么它的长y与宽x间的函数关系用图象表示(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式：V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与高所对的底a的函数关系式是h＝______________.
【举一反三4】已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．
【举一反三5】长方形相邻的两边长分别x，y，面积为30，用含x的式子表示y.
【题型6】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式
【典型例题】如图，函数y1＝x－1与y2＝的图象交于点A(2,1)，B(－1，－2)，则使y1＞y2的x的范围是(　　)
A.x＞2 B.－1＜x＜0或x＞2 C.－1＜x＜2 D.x＜－1或x＞2
【举一反三1】如图，是反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx＋n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是(　　)
A.1＜x＜6 B.x＜1 C.x＜6 D.x＞1
【举一反三2】如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝nx的图象交于A(－1，－3)，B两点，则－nx≥0的解集是(　　)
A.－1＜x＜0 B.x＜－1或0＜x＜1 C.x≤－1或0＜x≤1 D.－1＜x＜0或x≥1
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A，B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是____________．
【举一反三4】如图所示是一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为______________．
【举一反三5】在同一直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝的图象，利用这两个图象回答：
(1)x取什么值时，x比大？
(2)x取什么值时，x比小？
【题型7】反比例函数与物理知识的综合
【典型例题】某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)(R＞0)成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为(　　)
A.I＝ B.I＝ C.I＝ D.I＝－
【举一反三1】一个物体对桌面的压力为10 N，受力面积为S cm2，压强为P Pa，则下列关系不正确的是(　　)
A.P＝ B.S＝ C.PS＝10 D.P＝
【举一反三2】蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I(安)与电阻R(欧)之间关系图象如图所示，若点P在图象上，则I与R(R＞0)的函数关系式是______________．
【举一反三3】阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m.
(1)动力F(N)与动力臂L(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？
(2)若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
【举一反三4】蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当R＝10 Ω时，电流能是4 A吗？为什么？

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