资源简介

1.1 空间向量及其运算
题型01 空间向量的概念 5
题型02 空间向量的线性运算 8
题型03 空间向量的共线与共面 11
题型04 空间向量的数量积 13
题型05 空间向量的投影向量 16
知识点1： 空间向量的有关概念
1．空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
2．单位向量：长度或模为1的向量．
3．零向量：长度为0的向量．
4．相等向量：方向相同且模相等的向量．
5．相反向量：方向相反而模相等的向量．
6．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
7．共面向量：平行于同一个平面的向量．
知识点2： 空间向量的加法运算
1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则．
2．空间向量加法的平行四边形法则．
3．加法交换律：a＋b＝b + a．
4．加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．
知识点3： 空间向量的减法运算
设a，b是空间任意两向量，若，则．
知识点4： 空间向量的数乘运算
1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则．
2．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb．
3．数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
4．当λ＞0时，与的方向相同．
5．当λ＜0时，与的方向相反．
6．|λ|＝|λ| ||．
知识点5： 共面向量
1．共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使．
2．设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.其中x＋y＋z＝1．
知识点6： 空间向量的数量积
1．a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)．
3．|a|2＝a2，|a|＝．
4．空间向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
知识点7： 空间向量的投影向量
1．投影向量：向量在上的投影是．
2．投影长度：投影的长度为．
1．空间向量的线性运算．
(1) 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3) 在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
2．三点P，A，B共线的证明．
(1) ．
(2) 对空间任一点O，．
(3) 对空间任一点O，．
3．四点P，M，A，B共面的证明．
(1) ．
(2) 对空间任一点O，．
(3) 对空间任一点O，．
(4) ∥(或∥或∥)．
4．空间向量数量积的应用．
(1) 求长度：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2) 求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(3) 解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
题型01 空间向量的概念
（2024秋 和林格尔县校级期中）给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】直接利用向量的相关概念求出结果．
【解答】解：对于①零向量的方向是任意的；正确
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；错误；
③若空间向量，满足，则，错误；
④空间中任意两个单位向量必相等，应该为模相等，错误．
故选：D．
【变式练1】（2024春 华池县校级期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量与向量的长度相等
【答案】D
【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可．
【解答】解：对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误；
对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误；
对于C，零向量的相反向量与零向量是相等的，故C错误；
对于D，与是相反向量，由定义可知它们的长度是相等的，故D正确．
故选：D．
【变式练2】（2024秋 青铜峡市校级月考）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足||＝||，则；④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】①，零向量有方向，是任意的；
②，向量相等，方向相同，大小相等即可；
③，若||＝||，则、的方向没定；
④，根据向量相等的条件可判定；
⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等；
【解答】解：对于①，零向量有方向，是任意的，故错；
对于②，若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，故错；
对于③，若空间向量，满足||＝||，则、的方向没定，故错；
对于④，若空间向量，，满足，，则，正确；
对于⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等，故错；
故选：D．
【变式练3】（多选）（2024 柴桑区校级开学）下列说法，错误的为（　　）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别判断出A、D两项的正误，根据向量的定义与性质判断出B项的正误，利用相反向量的定义判断出C项的正误，从而可得本题答案．
【解答】解：向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不一定相同，
表示它们的有向线段也不一定起点相同且终点也相同，故A、D两项错误；
两个向量的模长可比大小，但是两个向量本身不可以比较大小，故B项错误；
根据相反向量的定义，可知：若两个非零向量与满足，则为相反向量，故C项正确．
故选：ABD．
题型02 空间向量的线性运算
（2025春 蒙城县校级期末）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出．
【解答】解：．
故选：C．
【变式练1】（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解．
【解答】解：由题意得：
故选：B．
【变式练2】（2025春 长沙期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可
【解答】解：因为空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，
所以
．
故选：D．
【变式练3】（2025春 闵行区期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，　　　　．（用、、表示）
【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由于，，
所以：．
故答案为：．
题型03 空间向量的共线与共面
（2025春 普陀区校级期末）已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的加法，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：∵56，72，
∴，
∵2，
∴，即A，B，D共线．
故选：C．
【变式练1】（2025春 四川校级月考）已知向量与不共线，，且A，B，C三点共线，则（　　）
A．3n＝5m B．3n＝﹣5m C．mn＝15 D．mn＝﹣15
【答案】C
【分析】根据共线的性质即可求解．
【解答】解：向量与不共线，且，
且A，B，C三点共线，故，
故mn＝15，
故选：C．
【变式练2】（2024秋 浦东新区校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝　　　　．
【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算和共面向量基本定理求出结果．
【解答】解：空间的一点M满足，整理得，
即，化简得：，
由于M、A、B、C四点共面，故，解得．
故答案为：．
【变式练3】（2025春 邗江区校级月考）已知向量是空间中不共面的三个向量，，，．
（1）若，m∈R，求p，q的值；
（2）若O，A，B，C四点共面，求3p+5q的值．
【答案】（1）2，﹣2；（2）﹣4．
【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果；
（2）根据四点共面得到，可用λ和μ表示出p和q，即可求出结果．
【解答】解：（1）已知向量是空间中不共面的三个向量，，，；
由题可得：
，
，
因为，所以，
即解得
所以p，q的值分别为2，﹣2；
（2）因为O，A，B，C四点共面，所以存在λ，μ∈R，使得，
即pa+b+qc＝λ（a﹣2b+c）+μ（2a+b﹣2c）
＝（λ+2μ）a+（μ﹣2λ）b+（λ﹣2μ）c，
于是有
所以3p+5q＝3（λ+2μ）+5（λ﹣2μ）＝8λ﹣4μ＝8λ﹣4（1+2λ）＝﹣4，
即3p+5q的值为﹣4．
题型04 空间向量的数量积
（2025春 白银期末）设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
【答案】B
【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算．
【解答】解：如图，
，且AD＝AC＝AB＝2，，
所以．
故选：B．
【变式练1】（2025春 株洲校级期中）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
【解答】解：由于四面体ABCD为正四面体，且点E和F为棱AB和AD的中点，所以．
故选：D．
【变式练2】（2025春 云南期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．取棱B1C1的中点M，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取BC的中点N，连接MN，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，取棱B1C1的中点M，
根据向量的线性运算，则
所以，
所以．
故选：B．
【变式练3】（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
【答案】（1）15；
（2）．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义求解即可．
（2）利用空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，，
，
所以3+3+32＝15；
（2）29+4，
所以线段AC′的长为．
题型05 空间向量的投影向量
（2024秋 洛阳月考）如图，在八面体ABCDEF中，平面ABE，ACF均垂直于底面ABC，且AE＝BE＝AF＝CF，则下列向量中与向量在平面ABC上的投影向量相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的运算求出结果．
【解答】解：取P，Q分别为AC，AB的中点，连接FP，EQ，PQ，则 ．
因为AE＝BE＝AF＝CF，所以 EQ⊥AB，FP⊥AC．
因为平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC＝AB，EQC平面ABE，
所以EQ⊥平面ABC．同理可得 FP⊥平面ABC，
所以向量 在平面ABC上的投影向量为 ，
由于，所以．
故选：C．
【变式练1】（2025春 雨花区校级月考）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解．
【解答】解：在上的投影向量为．
故选：D．
【变式练2】（2025春 环县校级期中）已知||＝4，空间向量为单位向量，，，则空间向量在向量方向上的投影长为　　　　．
【答案】2．
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解．
【解答】解：由题意，4，1，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为，
所以空间向量在向量方向上的投影长为2．
故答案为：2．
【变式练3】（2024秋 仓山区校级期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为　　　　．
【答案】1
【分析】根据投影向量的定义求解．
【解答】解：，
在方向上的投影向量的模长为：1．
故答案为：1．1.1 空间向量及其运算
题型01 空间向量的概念 5
题型02 空间向量的线性运算 7
题型03 空间向量的共线与共面 8
题型04 空间向量的数量积 9
题型05 空间向量的投影向量 11
知识点1： 空间向量的有关概念
1．空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
2．单位向量：长度或模为1的向量．
3．零向量：长度为0的向量．
4．相等向量：方向相同且模相等的向量．
5．相反向量：方向相反而模相等的向量．
6．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
7．共面向量：平行于同一个平面的向量．
知识点2： 空间向量的加法运算
1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则．
2．空间向量加法的平行四边形法则．
3．加法交换律：a＋b＝b + a．
4．加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．
知识点3： 空间向量的减法运算
设a，b是空间任意两向量，若，则．
知识点4： 空间向量的数乘运算
1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则．
2．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb．
3．数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
4．当λ＞0时，与的方向相同．
5．当λ＜0时，与的方向相反．
6．|λ|＝|λ| ||．
知识点5： 共面向量
1．共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使．
2．设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.其中x＋y＋z＝1．
知识点6： 空间向量的数量积
1．a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)．
3．|a|2＝a2，|a|＝．
4．空间向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
知识点7： 空间向量的投影向量
1．投影向量：向量在上的投影是．
2．投影长度：投影的长度为．
1．空间向量的线性运算．
(1) 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3) 在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
2．三点P，A，B共线的证明．
(1) ．
(2) 对空间任一点O，．
(3) 对空间任一点O，．
3．四点P，M，A，B共面的证明．
(1) ．
(2) 对空间任一点O，．
(3) 对空间任一点O，．
(4) ∥(或∥或∥)．
4．空间向量数量积的应用．
(1) 求长度：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2) 求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(3) 解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
题型01 空间向量的概念
（2024秋 和林格尔县校级期中）给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】直接利用向量的相关概念求出结果．
【解答】解：对于①零向量的方向是任意的；正确
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；错误；
③若空间向量，满足，则，错误；
④空间中任意两个单位向量必相等，应该为模相等，错误．
故选：D．
【变式练1】（2024春 华池县校级期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量与向量的长度相等
【变式练2】（2024秋 青铜峡市校级月考）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足||＝||，则；④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式练3】（多选）（2024 柴桑区校级开学）下列说法，错误的为（　　）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
题型02 空间向量的线性运算
（2025春 蒙城县校级期末）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出．
【解答】解：．
故选：C．
【变式练1】（2025春 南京校级期中）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（2025春 长沙期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【变式练3】（2025春 闵行区期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，　　　　．（用、、表示）
题型03 空间向量的共线与共面
（2025春 普陀区校级期末）已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的加法，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：∵56，72，
∴，
∵2，
∴，即A，B，D共线．
故选：C．
【变式练1】（2025春 四川校级月考）已知向量与不共线，，且A，B，C三点共线，则（　　）
A．3n＝5m B．3n＝﹣5m C．mn＝15 D．mn＝﹣15
【变式练2】（2024秋 浦东新区校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝　　　　．
【变式练3】（2025春 邗江区校级月考）已知向量是空间中不共面的三个向量，，，．
（1）若，m∈R，求p，q的值；
（2）若O，A，B，C四点共面，求3p+5q的值．
题型04 空间向量的数量积
（2025春 白银期末）设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
【答案】B
【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算．
【解答】解：如图，
，且AD＝AC＝AB＝2，，
所以．
故选：B．
【变式练1】（2025春 株洲校级期中）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【变式练2】（2025春 云南期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．取棱B1C1的中点M，则（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】（2025春 东坡区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．
（1）求；
（2）求线段AC′的长．
题型05 空间向量的投影向量
（2024秋 洛阳月考）如图，在八面体ABCDEF中，平面ABE，ACF均垂直于底面ABC，且AE＝BE＝AF＝CF，则下列向量中与向量在平面ABC上的投影向量相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的运算求出结果．
【解答】解：取P，Q分别为AC，AB的中点，连接FP，EQ，PQ，则 ．
因为AE＝BE＝AF＝CF，所以 EQ⊥AB，FP⊥AC．
因为平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC＝AB，EQC平面ABE，
所以EQ⊥平面ABC．同理可得 FP⊥平面ABC，
所以向量 在平面ABC上的投影向量为 ，
由于，所以．
故选：C．
【变式练1】（2025春 雨花区校级月考）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（2025春 环县校级期中）已知||＝4，空间向量为单位向量，，，则空间向量在向量方向上的投影长为　　　　．
【变式练3】（2024秋 仓山区校级期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为　　　　．

展开更多......

收起↑