资源简介

1.2 空间向量基本定理
题型01 空间向量的基底 3
题型02 空间向量的表示 6
题型03 共线共面问题 9
题型04 求夹角 12
题型05 求距离 18
知识点1： 空间向量基本定理
1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点2： 空间向量共线、共面问题
1．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
知识点3： 由向量求夹角
1．θ为a，b的夹角，则cos θ＝．
2．若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．
知识点4： 空间距离
1．|a|2＝a2．
2．|a|＝．
1．空间基底的判断．
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2．空间向量的表示．
(1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底．
(2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律．
(3)列式：列出式子，用基底表示目标向量．
3．空间向量的平行共面问题．
(1)由向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
4．求夹角
(1)由数量积定义得cos〈a，b〉＝．
(2)再求〈a，b〉的大小．
(3)即得空间向量的夹角．
5．求长度
(1)运用公式|a|2＝a·a．
(2)使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
题型01 空间向量的基底
（2025春 平和县校级期末）若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可
【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，
对于选项A：，故，，共面，故A错误，
对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，
对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，
对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，
故选：C．
【变式练1】（2024秋 四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用向量基底的定义和共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】解：由于{，，}是空间的一个基底，
对于A：由于，故A错误；
对于B：不存在实数λ和μ，使得，故B正确；
对于C：由于，故B错误；
对于D：假设存在实数λ和μ，使得，整理得，解得，故D错误．
故选：B．
【变式练2】（2024秋 青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用向量基底的定义判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于，故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B：由于，故不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C：由于，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D：由于，无解，故能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：D．
【变式练3】（多选）（2025 白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论．
【解答】解：对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底．
对于D，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底．
故选：ABD．
题型02 空间向量的表示
（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得．
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
【变式练1】（2025春 平和县校级期末）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设，，，则用，，表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算公式，即可求解．
【解答】解：∵M为BC的中点，
∴，
∵N为A1C1靠近A1的三等分点，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式练2】（多选）（2024秋 哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D．
【解答】解：选项，判断正确；
选项B：，判断错误；
选项C：，判断正确；
选项D：，判断错误．
故选：AC．
【变式练3】（2025春 浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于　　 （用，，表示）．
【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：根据向量的线性运算，
，，
所以．
故答案为：．
题型03 共线共面问题
（2025春 江苏月考）在下列命题中正确的是（　　）
A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为xyz
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量，，两两共面，则，，共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
【答案】D
【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断；
对于B，利用向量的定义判断；
对于C，举例判断；
对于D，共面向量定理判断．
【解答】解：对于A，若，，三个向量共面，则空间中不在平面α内的向量不能用，，表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量，，两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为 A ， B ， C 三点不共线，，且1，所以 A ， B ， C ， D 四点共面，所以D正确，
故选：D．
【变式练1】（2025春 西城区校级期末）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足，则点P与△ABC的关系为（　　）
A．点P在△ABC内部
B．P是AC边的一个五等分点
C．P是AC边的一个三等分点
D．P是AC边的中点
【答案】D
【分析】利用向量的运算法因为则将等式变形，得到，即得出结论．
【解答】解：已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足，
因为，所以，
即，即，所以P是AC边的中点．
故选：D．
【变式练2】（2025春 湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据三点共线的结论可知α＞0，β＞0，且α+β＝1，利用乘“1”结合基本不等式运算求解．
【解答】解：点B在线段AC上（异于A，C两点），
所以α＞0，β＞0，且α+β＝1，
则（α+β）（）＝55+29，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为9．
故选：C．
【变式练3】（多选）（2025春 银川校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
【答案】ABD
【分析】由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判定B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断D．
【解答】解：对于A，非零向量，，若，则，故A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有，
因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，
所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：ABD．
题型04 求夹角
（2025春 漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设．
（1）试用表示向量，并求MN的长；
（2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，利用，，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得
，
又，，，
所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，
所以，
又因为∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
所以，
所以，
所以；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，
因为，
又，，
所以，
又由（1）知，，
所以
，
所以，，
所以异面直线MN，BC所成角的余弦值为．
【变式练1】（2024秋 福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
（1）试用，，表示向量、；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值．
【答案】（1），，（2）．
【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解；
（2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解．
【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
，
．
（2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，，
所以，
，
，
所以，
即向量与所成的角的余弦值为．
【变式练2】（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知，根据向量的线性运算即可求得；
（2）利用向量的夹角公式求得和夹角的余弦值，即可得异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得
，
由，
可得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
【变式练3】（2024秋 禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题．
（1）求||；
（2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，先求得，，然后利用空间向量的线性运算法则将用、、表示，再利用向量数量积的运算性质与向量的模的公式加以计算，可得||的值；
（2）根据空间向量的夹角公式，算出向量的夹角余弦值，即可得到异面直线MN与BC所成角的余弦值．
【解答】解：（1）因为∠BAC＝90°，所以．
由于∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，所以cos60°．
由
（）．
所以（）2．
可得；
（2）由，
得．
因为（） （）1，
所以，．
可知异面直线MN与BC所成角的余弦值为．
题型05 求距离
（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解；
（2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
【变式练1】（2025春 南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示；
（2）利用向量的数量积运算求解向量的模．
【解答】解：（1）因为，所以，，
所以，
又因为，，，所以．
（2）因为∠BAC＝90°，所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，所以，
因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，
所以，
所以．
【变式练2】（2024秋 诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，．
（1）用表示，；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果；
（2）直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
【解答】解：（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，，
所以，
．
（2）由（1）得：．
【变式练3】（2024秋 青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）用向量，，表示，并求出．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）根据三角形中位线定理与比例线段的性质，证出EF∥GH，由此可判断出E、F、G、H四点共面；（2）以为基底，表示出，利用空间向量的数量积的性质、向量的模的公式，算出的值．
【解答】解：（1）因为△ABC中，因为，所以EF∥AC，
因为△ADC中，H、G分别是AD、CD的中点，所以FG∥AC，
所以EF∥GH，即直线EF、GH共面，可得E、F、G、H四点共面；
（2）以为基底，则，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
所以，．
．
所以
，可得．1.2 空间向量基本定理
题型01 空间向量的基底 3
题型02 空间向量的表示 6
题型03 共线共面问题 9
题型04 求夹角 12
题型05 求距离 18
知识点1： 空间向量基本定理
1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点2： 空间向量共线、共面问题
1．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
知识点3： 由向量求夹角
1．θ为a，b的夹角，则cos θ＝．
2．若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．
知识点4： 空间距离
1．|a|2＝a2．
2．|a|＝．
1．空间基底的判断．
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2．空间向量的表示．
(1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底．
(2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律．
(3)列式：列出式子，用基底表示目标向量．
3．空间向量的平行共面问题．
(1)由向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
4．求夹角
(1)由数量积定义得cos〈a，b〉＝．
(2)再求〈a，b〉的大小．
(3)即得空间向量的夹角．
5．求长度
(1)运用公式|a|2＝a·a．
(2)使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
题型01 空间向量的基底
（2025春 平和县校级期末）若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可
【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，
对于选项A：，故，，共面，故A错误，
对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，
对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，
对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，
故选：C．
【变式练1】（2024秋 四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（2024秋 青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】（多选）（2025 白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
题型02 空间向量的表示
（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得．
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
【变式练1】（2025春 平和县校级期末）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设，，，则用，，表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（多选）（2024秋 哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式练3】（2025春 浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于　　 （用，，表示）．
题型03 共线共面问题
（2025春 江苏月考）在下列命题中正确的是（　　）
A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为xyz
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量，，两两共面，则，，共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
【答案】D
【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断；
对于B，利用向量的定义判断；
对于C，举例判断；
对于D，共面向量定理判断．
【解答】解：对于A，若，，三个向量共面，则空间中不在平面α内的向量不能用，，表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量，，两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为 A ， B ， C 三点不共线，，且1，所以 A ， B ， C ， D 四点共面，所以D正确，
故选：D．
【变式练1】（2025春 西城区校级期末）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足，则点P与△ABC的关系为（　　）
A．点P在△ABC内部
B．P是AC边的一个五等分点
C．P是AC边的一个三等分点
D．P是AC边的中点
【变式练2】（2025春 湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．12
【变式练3】（多选）（2025春 银川校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
题型04 求夹角
（2025春 漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设．
（1）试用表示向量，并求MN的长；
（2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，利用，，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得
，
又，，，
所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，
所以，
又因为∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
所以，
所以，
所以；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，
因为，
又，，
所以，
又由（1）知，，
所以
，
所以，，
所以异面直线MN，BC所成角的余弦值为．
【变式练1】（2024秋 福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
（1）试用，，表示向量、；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值．
【变式练2】（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【变式练3】（2024秋 禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题．
（1）求||；
（2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值．
题型05 求距离
（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解；
（2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
【变式练1】（2025春 南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【变式练2】（2024秋 诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，．
（1）用表示，；
（2）求的值．
【变式练3】（2024秋 青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）用向量，，表示，并求出．

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