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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
题型01 空间向量的坐标运算 3
题型02 共线共面问题 5
题型03 垂直问题 7
题型04 模长问题 10
题型05 夹角问题 12
知识点1： 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
2．空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
知识点2： 空间向量的坐标运算
1．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
2．a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
3．a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
4．a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
5．a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
6．cos〈a,b〉＝．
知识点3： 空间向量的模长
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝．
1．空间向量的坐标求解．
(1) 设i、j、k为两两垂直的单位向量．
(2) 若，则叫做向量的坐标．
2．空间向量数量积的求解．
(1) 设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ．
(2) 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
(3) 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．
3．空间向量模长的求解．
(1) |a|＝．
(2) 若a＝(x，y，z)，则|a|＝．
4．空间向量垂直的求解．
a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
5．空间向量法求解异面直线的夹角．
(1) 建立空间直角坐标系．
(2) 用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3) 由向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
题型01 空间向量的坐标运算
（2025春 杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　　　　．
【答案】（﹣4，3，2）．
【分析】根据空间向量的坐标表示可得．
【解答】解：由题意，故AD＝4，AB＝3，BB1＝3，
故C1（0，3，3），A（4，0，0），
故，
故答案为：（﹣4，3，2）．
【变式练1】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（　　）
A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）
【答案】C
【分析】根据射影的概念，可得答案．
【解答】解：点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则点P的坐标为（2，4，7），
则点P在yOz平面上的射影Q的坐标为（0，4，7）．
故选：C．
【变式练2】（2025春 凉州区月考）已知向量，则（　　）
A．（﹣5，1，﹣2） B．（5，﹣1，2） C．（﹣8，1，﹣3） D．（8，﹣1，3）
【答案】D
【分析】由空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：因为，所以，
所以．
故选：D．
【变式练3】（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
【答案】A
【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴（1，﹣2，0），（﹣3，1，2），
∴3﹣2+0＝﹣5，
故选：A．
题型02 共线共面问题
（2025春 南京校级期中）已知向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），若A，B，C三点共线，则a﹣b＝　　　　．
【答案】﹣8．
【分析】直接利用向量的共线求出结果．
【解答】解：由于向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），所以，解得a＝﹣2，b＝6，
所以a﹣b＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【变式练1】（2025春 秀屿区校级期中）已知A（1，3，2），B（﹣1，4，1），C（5，y，z），若，则2y﹣z＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】A
【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数y，z，由此即可得解．
【解答】解：由题意，，
因为，所以，解得y＝1，z＝4，
所以2y﹣z＝﹣2．
故选：A．
【变式练2】（2025春 甘肃期中）在空间中，若向量，，共面，则m＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣6
【答案】A
【分析】利用空间向量共面定理列出方程，代入坐标，得到方程组，解之即得．
【解答】解：由题意，，，，
由向量共面，可知存在有序实数对（x，y），使得，
即（3，3，m）＝x（1，﹣1，﹣2）+y（1，2，3），
故有，解得，
即m＝4．
故选：A．
【变式练3】（2024秋 厦门校级期末）已知向量共面，则实数t的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可．
【解答】解：因为共面，所以存在x，y∈R，使得，
整理得（1，t，﹣1）＝（﹣2x﹣y，x+3y，3x+2y），
解得x＝﹣1，y＝1，t＝2．
故选：C．
题型03 垂直问题
（多选）（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
【答案】BC
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），所以，，，
对于A，故，所以A错误；
对于B，可得，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得t＝3，所以C正确；
对于D，若且，因为，可得，解得k＝﹣2，所以D错误．
故选：BC．
【变式练1】（2024秋 湖北期末）已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得．
【解答】解：因为，
对于A选项，由可得：（1，﹣3，﹣2）＝λ（3，2，﹣5），由题意得λ的值不存在，故A错误；
对于B选项，由可知不成立，故B错误；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D正确．
故选：D．
【变式练2】（多选）（2025 泸县校级开学）已知（﹣2，1，3），（4，﹣2，x），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则x＝3
B．若，则x＝6
C．若，则x＝﹣6
D．若，则
【答案】AC
【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断．
【解答】解：对于选项A：因为，所以8﹣2+3x＝﹣1，所以x＝3，故选项A正确；
对于选项B：因为，则，解得x＝±6，故选项B错误；
对于选项C：因为，且，则，解得x＝﹣6，故选项C正确；
对于选项D：若，则，解得，故选项D错误．
故选：AC．
【变式练3】（2025春 龙岩期末）已知，若，则λ的值为　　　　．
【答案】﹣3．
【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求λ的值．
【解答】解：由题意，，
因为，所以，
即3×6+（﹣3）×1+5λ＝0，解得λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
题型04 模长问题
（2025春 浙江月考）在空间直角坐标系中，已知三点A（0，1，2），B（2，0，0），C（2a，a，1），且，则实数 a＝（　　）
A． B．2 C． D．﹣1
【答案】A
【分析】结合空间距离公式即可求解．
【解答】解：空间直角坐标系中，A（0，1，2），B（2，0，0），C（2a，a，1），且，
所以，
则实数a．
故选：A．
【变式练1】（2025春 张掖月考）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（　　）
A．9 B．8 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算．
【解答】解：由题意A（1，1，2），B（﹣1，3，4），C（2，4，4），
则D（0，2，3），所以，
所以．
故选：C．
【变式练2】（多选）（2025春 河南月考）已知向量（cos15°，sin15°），（，），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式，即可判断选项．
【解答】解：对于A，因为（cos15°，sin15°），（，）＝（cos45°，sin45°），所以，故A正确；
对于B，因为||＝||＝1，所以cos，则，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为10，所以，故D正确．
故选：ABD．
【变式练3】（多选）（2025春 甘肃期末）已知空间向量，且∥，则下列说法正确的是（　　）
A． B．m＝6
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D．
【解答】解：空间向量（1，2，3），设（x，y，z），则2（﹣3，0，5）＝（1，2，3）+2（x，y，z）＝（1+2x，2+2y，3+2z），即1+2x＝﹣3，2+2y＝2，3+2z＝5，解得（﹣2，﹣1，1），则||，A正确；
因为∥，所以设，B正确；
因为，所以C错误；
cos，，D正确．
故选：ABD．
题型05 夹角问题
（2025 宜春校级开学）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；
（2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【解答】解：（1）由题意知，，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为；
（2）因为，
又与互相垂直，
所以，
解得．
【变式练1】（多选）（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可依次求解．
【解答】解：，则，故A正确；
向量，，则，，则，故B错误；
，，故在上的投影向量为，故C正确；
，，故，故D正确．
故选：ACD．
【变式练2】（2025春 栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据向量的共线定理可求x，从而可解；
（2）根据向量垂直的坐标运算可得x，从而可解．
【解答】解：（1）（2，4，﹣2），（x，2，﹣1），（﹣1，0，2）
∵∥，∴存在实数k，使得，所以，则x＝1，
则．
（2）∵⊥，则，∴x＝﹣2，
∴，
故．
【变式练3】（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算公式求出的坐标，再根据已知，解得即可求得k值．
（2）根据空间向量数量积公式△ABC中角A的余弦值即cos∠BAC，进而求出sin∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可求四边形面积．
【解答】解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
所以，
，
所以，
∵向量（）⊥，
∴，
解得．
（2）∵，，
∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即，
则，
以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，
而，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S．1.3 空间向量及其运算的坐标表示
题型01 空间向量的坐标运算 3
题型02 共线共面问题 5
题型03 垂直问题 6
题型04 模长问题 7
题型05 夹角问题 8
知识点1： 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
2．空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
知识点2： 空间向量的坐标运算
1．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
2．a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
3．a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
4．a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
5．a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
6．cos〈a,b〉＝．
知识点3： 空间向量的模长
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝．
1．空间向量的坐标求解．
(1) 设i、j、k为两两垂直的单位向量．
(2) 若，则叫做向量的坐标．
2．空间向量数量积的求解．
(1) 设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ．
(2) 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
(3) 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．
3．空间向量模长的求解．
(1) |a|＝．
(2) 若a＝(x，y，z)，则|a|＝．
4．空间向量垂直的求解．
a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
5．空间向量法求解异面直线的夹角．
(1) 建立空间直角坐标系．
(2) 用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3) 由向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
题型01 空间向量的坐标运算
（2025春 杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　　　　．
【答案】（﹣4，3，2）．
【分析】根据空间向量的坐标表示可得．
【解答】解：由题意，故AD＝4，AB＝3，BB1＝3，
故C1（0，3，3），A（4，0，0），
故，
故答案为：（﹣4，3，2）．
【变式练1】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（　　）
A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）
【变式练2】（2025春 凉州区月考）已知向量，则（　　）
A．（﹣5，1，﹣2） B．（5，﹣1，2） C．（﹣8，1，﹣3）D．（8，﹣1，3）
【变式练3】（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
题型02 共线共面问题
（2025春 南京校级期中）已知向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），若A，B，C三点共线，则a﹣b＝　　　　．
【答案】﹣8．
【分析】直接利用向量的共线求出结果．
【解答】解：由于向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），所以，解得a＝﹣2，b＝6，
所以a﹣b＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【变式练1】（2025春 秀屿区校级期中）已知A（1，3，2），B（﹣1，4，1），C（5，y，z），若，则2y﹣z＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【变式练2】（2025春 甘肃期中）在空间中，若向量，，共面，则m＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣6
【变式练3】（2024秋 厦门校级期末）已知向量共面，则实数t的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
题型03 垂直问题
（多选）（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
【答案】BC
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），所以，，，
对于A，故，所以A错误；
对于B，可得，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得t＝3，所以C正确；
对于D，若且，因为，可得，解得k＝﹣2，所以D错误．
故选：BC．
【变式练1】（2024秋 湖北期末）已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式练2】（多选）（2025 泸县校级开学）已知（﹣2，1，3），（4，﹣2，x），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则x＝3
B．若，则x＝6
C．若，则x＝﹣6
D．若，则
【变式练3】（2025春 龙岩期末）已知，若，则λ的值为　　　　．
题型04 模长问题
（2025春 浙江月考）在空间直角坐标系中，已知三点A（0，1，2），B（2，0，0），C（2a，a，1），且，则实数 a＝（　　）
A． B．2 C． D．﹣1
【答案】A
【分析】结合空间距离公式即可求解．
【解答】解：空间直角坐标系中，A（0，1，2），B（2，0，0），C（2a，a，1），且，
所以，
则实数a．
故选：A．
【变式练1】（2025春 张掖月考）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（　　）
A．9 B．8 C．3 D．
【变式练2】（多选）（2025春 河南月考）已知向量（cos15°，sin15°），（，），则（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】（多选）（2025春 甘肃期末）已知空间向量，且∥，则下列说法正确的是（　　）
A． B．m＝6
C． D．
题型05 夹角问题
（2025 宜春校级开学）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；
（2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【解答】解：（1）由题意知，，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为；
（2）因为，
又与互相垂直，
所以，
解得．
【变式练1】（多选）（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
【变式练2】（2025春 栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
【变式练3】（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．

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