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1.4.1 用空间向量研究直线、平面位置关系
题型01 直线与平面的向量表示 3
题型02 平面的法向量 5
题型03 平行问题 9
题型04 垂直问题 10
知识点1： 直线的方向向量
1．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
2．空间直线的向量表示：．
知识点2： 平面的法向量
1．直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
2．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．
知识点3： 平行关系
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2．
2．设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2．
3．设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u．
4．平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2．
知识点4： 垂直关系
1．设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0．
2．设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u．
3．设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
1．直线方向向量的求解．
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．
2．法向量的求解．
(1) 写出平面内两向量的坐标．
(2) 设出法向量．
(3) 根据数量积为零列出方程组．
(4) 解方程组，求出一个法向量．
3．向量法证明平行问题．
(1) 线线平行：方向向量平行．
(2) 线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
(3) 面面平行：两平面的法向量平行．
4．向量法证明垂直问题．
(1) 线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2) 线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3) 面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
题型01 直线与平面的向量表示
（2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【答案】B
【分析】结合方向向量的定义，列出方程组，即可求解．
【解答】解：向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，
则，解得x＝﹣1．
故选：B．
【变式练1】（2024秋 景德镇期末）若P（0，1，1），Q（2，3，5）在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（　　）
A．（1，1，2） B．（1，2，1） C．（1，2，2） D．（2，2，2）
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解．
【解答】解：由题意可知，，
所以直线l的一个方向向量的坐标为（1，1，2）．
故选：A．
【变式练2】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1）
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解．
【解答】解：A（1，0，﹣1），B（2，1，2），
则（1，1，3）．
故选：B．
【变式练3】（多选）（2024秋 大连期末）在空间中，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则＜2，﹣3
B．若{，，}是空间向量的一组基底，则{，，}可以构成空间向量的另一组基底
C．“向量，，共面”是“直线AB，CD，EF共面”的充要条件
D．，分别是直线l1，l2的方向向量，“与不平行”是“l1与l2异面”的必要条件
【答案】ABD
【分析】A中，由题意及向量夹角的定义，可得＜2，﹣3的夹角，判断出A的真假；B中，由空间向量作为基底的性质，判断出B的真假；C中，三个向量共面，则向量所在的直线不一定共面，判断出C的真假；D中，由直线的方向向量不平行，可得直线相交或异面，判断出D的真假．
【解答】解：A中，若，，则＜2，﹣3π，所以A正确；
B中，若{，，}是空间向量的一组基底，则{，，}中，，，中，任何一个向量都与另外两个向量不共面，
所以{，，}可以构成空间向量的另一组基底，所以B正确；
C中，向量，，共面，可能由一个向量所在的直线另外两个向量所在平面外，所以直线AB，CD，EF不一定共面，
直线AB，CD，EF共面时，则向量，，共面，所以“向量，，共面”是“直线AB，CD，EF共面”的必要条件，所以C不正确；
D中，，分别是直线l1，l2的方向向量，
l1与l2异面时，与不平行，此时“与不平行”是“l1与l2异面”的必要条件，所以D正确．
故选：ABD．
题型02 平面的法向量
（2025春 南京期末）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体．
①直线CC1的一个方向向量为（0，0，1）；
②直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）；
③平面B1C1CB的一个法向量为（﹣1，0，0）；
④平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）．
则上述结论正确的是　　　　．（填序号）
【答案】①②③．
【分析】根据题意，设正方体的棱长为1，求出C、C1、B的坐标，由直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断．
【解答】解：根据题意，不妨设正方体的棱长为1，
则C（1，1，0），C1（1，1，1），B（1，0，0），
依次分析4个命题：
对于①，（0，0，1），则直线CC1的一个方向向量为（0，0，1），正确；
对于②，（0，1，1），则直线BC1的一个方向向量为（0，1，1），正确；
对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而，
故 （﹣1，0，0）可作为平面B1C1CB的法向量，即③正确；
对于④，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因CD⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，故BC1⊥平面B1CD，
而，即可作为平面B1CD的法向量，故④错误．
故答案为：①②③．
【变式练1】（2025春 衡水期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（﹣1，1，0），B（2，1，﹣2），C（0，2，﹣1），则平面ABC的一个法向量为（　　）
A．（2，1，3） B．（﹣2，1，3） C．（2，﹣1，3） D．（2，1，﹣3）
【答案】A
【分析】根据法向量的求法求解即可．
【解答】解：根据题意知，A（﹣1，1，0），B（2，1，﹣2），C（0，2，﹣1），
则，
设平面ABC的一个法向量为，
∴，取x＝2，得，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线．
故选：A．
【变式练2】（多选）（2025春 南京期中）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱B1C1、B1B的中点，则下列结论正确的为（　　）
A．
B．
C．
D．不是平面ACD1的一个法向量
【答案】BD
【分析】根据题意，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由于ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，2，2）、F（2，2，1）．
对于A，，则，故A错误；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，故，故C错误；
对于D，，故不是平面ACD1的一个法向量，故D正确．
故选：BD．
【变式练3】（2025春 长汀县校级月考）平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为　　　　．
【答案】（1，2，2）（答案不唯一）．
【分析】求出，由，求解即可．
【解答】解：由A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0）
则
因为向量是平面α的一个法向量，
所以，令x＝1，则．
故答案为：（1，2，2）．
题型03 平行问题
（2025春 商丘月考）已知平面α的法向量为，直线l在平面α外，且方向向量，则直线l与平面α的位置关系为　　　　．
【答案】l∥α．
【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可．
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为，
直线l的方向向量，
由于，
所以，所以l α或l∥α．
因为l α，所以l∥α．
故答案为：l∥α．
【变式练1】（2025 鄄城县校级开学）已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量．若l∥α，则y＝（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．
【答案】B
【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解．
【解答】解：因为是直线l的方向向量，是平面α的法向量，
若l∥α，则，所以，
即5+3y+16＝0，解得y＝﹣7．
故选：B．
【变式练2】（2024秋 铜仁市期末）已知（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则（　　）
A．λ＝2μ B．λ＝μ C．3λ+μ＝0 D．λ+3μ＝8
【答案】C
【分析】由两个平面平行，可得这两个平面的法向量平行，列方程，可得λ，μ的值，选出正确答案．
【解答】解：（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，得∥，可得，解得λ＝2，μ＝﹣6，
所以A，B，D不正确，C正确．
故选：C．
【变式练3】（2025春 上海校级月考）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，且l∥α，则m＝　　　　．
【答案】﹣3．
【分析】由线面平行得到求解即可．
【解答】解：因为，，且l∥α，
所以，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
题型04 垂直问题
（多选）（2024秋 白城校级期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　）
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，3，﹣1），，﹣3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，2，﹣1），，4，2），则α⊥β
D．直线l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），则l∥α
【答案】AC
【分析】对于A：验证，是否平行即可．
对于B：验证是否平行即可．
对于C：验证数量积是否为零即可．
对于D：验证是否平行于即可．
【解答】解：因为，3，﹣1），，﹣3，1），即，又因为l1，l2不重合，所以l1∥l2，A正确．
因为，﹣1，2），，4，﹣1），所以与不平行，所以l不垂直于α，B错误．
因为，2，﹣1），，4，2），所以2×（﹣3）+2×4+（﹣1）×2＝0，所以，所以α⊥β，C正确．
因为，3，0），，﹣5，0），所以，所以，所以l⊥α，D错误．
故选：AC．
【变式练1】（2025春 黑龙江期末）已知平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α⊥β，则x＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为0，由此可列出关于x的方程，进而求解x的值．
【解答】解：平面α的一个法向量为，
平面β的一个法向量为，
已知α⊥β，所以，
解得：﹣x+2﹣1＝0 x＝1．
故选：B．
【变式练2】（2025春 杨浦区月考）在空间直角坐标系中，是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则t＝（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】A
【分析】利用线面垂直的性质，结合直线的方向向量、平面的法向量求解．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
是直线l的一个方向向量，
是平面α的一个法向量，
∵l⊥α，∴∥，∴，
解得t＝4．
故选：A．
【变式练3】（多选）（2024秋 蜀山区校级期末）给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．若直线l的方向向量，直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量，平面α的法向量，则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为，，则α⊥β
D．若存在实数x，y，使，则点P、M，A，B共面
【答案】AD
【分析】对于A，利用向量垂直的l与m垂直；对于B，求出直线l的方向向量和平面α的法向量，推导出l⊥α不成立；对于C，求出平面α，β的法向量，推导出6≠0，从而不垂直，从而α⊥β不成立；对于D，利用向量共面定理能判断
【解答】解：对于A，先计算0，判断出，即可证明l与m垂直，故A正确；
对于B，∵直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），且，∴l⊥α不成立，故B不正确；
对于C，∵平面α，β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），且6≠0，∴不垂直，故α⊥β不成立，故C错误；
对于D，若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本原理可得存在实数x，y，使x，则点P，M，A，B共面；若共线，则存在实数x，y，使x，∴P，M，A，B 共线，∴P，M，A，B共线，则点P，M，A，B共面也成立．
综上所述：点P，M，A，B共面，故D正确．
故选：AD．1.4.1 用空间向量研究直线、平面位置关系
题型01 直线与平面的向量表示 3
题型02 平面的法向量 4
题型03 平行问题 6
题型04 垂直问题 7
知识点1： 直线的方向向量
1．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
2．空间直线的向量表示：．
知识点2： 平面的法向量
1．直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
2．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．
知识点3： 平行关系
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2．
2．设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2．
3．设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u．
4．平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2．
知识点4： 垂直关系
1．设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0．
2．设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u．
3．设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
1．直线方向向量的求解．
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．
2．法向量的求解．
(1) 写出平面内两向量的坐标．
(2) 设出法向量．
(3) 根据数量积为零列出方程组．
(4) 解方程组，求出一个法向量．
3．向量法证明平行问题．
(1) 线线平行：方向向量平行．
(2) 线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
(3) 面面平行：两平面的法向量平行．
4．向量法证明垂直问题．
(1) 线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2) 线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3) 面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
题型01 直线与平面的向量表示
（2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【答案】B
【分析】结合方向向量的定义，列出方程组，即可求解．
【解答】解：向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，
则，解得x＝﹣1．
故选：B．
【变式练1】（2024秋 景德镇期末）若P（0，1，1），Q（2，3，5）在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（　　）
A．（1，1，2） B．（1，2，1） C．（1，2，2） D．（2，2，2）
【变式练2】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1）
【变式练3】（多选）（2024秋 大连期末）在空间中，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则＜2，﹣3
B．若{，，}是空间向量的一组基底，则{，，}可以构成空间向量的另一组基底
C．“向量，，共面”是“直线AB，CD，EF共面”的充要条件
D．，分别是直线l1，l2的方向向量，“与不平行”是“l1与l2异面”的必要条件
题型02 平面的法向量
（2025春 南京期末）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体．
①直线CC1的一个方向向量为（0，0，1）；
②直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）；
③平面B1C1CB的一个法向量为（﹣1，0，0）；
④平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）．
则上述结论正确的是　　　　．（填序号）
【答案】①②③．
【分析】根据题意，设正方体的棱长为1，求出C、C1、B的坐标，由直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断．
【解答】解：根据题意，不妨设正方体的棱长为1，
则C（1，1，0），C1（1，1，1），B（1，0，0），
依次分析4个命题：
对于①，（0，0，1），则直线CC1的一个方向向量为（0，0，1），正确；
对于②，（0，1，1），则直线BC1的一个方向向量为（0，1，1），正确；
对于③，因AB⊥平面B1C1CB，而，
故 （﹣1，0，0）可作为平面B1C1CB的法向量，即③正确；
对于④，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因CD⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
则BC1⊥CD，易得BC1⊥B1C，又CD∩B1C＝C，故BC1⊥平面B1CD，
而，即可作为平面B1CD的法向量，故④错误．
故答案为：①②③．
【变式练1】（2025春 衡水期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（﹣1，1，0），B（2，1，﹣2），C（0，2，﹣1），则平面ABC的一个法向量为（　　）
A．（2，1，3） B．（﹣2，1，3） C．（2，﹣1，3） D．（2，1，﹣3）
【变式练2】（多选）（2025春 南京期中）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱B1C1、B1B的中点，则下列结论正确的为（　　）
A．
B．
C．
D．不是平面ACD1的一个法向量
【变式练3】（2025春 长汀县校级月考）平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为　　　　．
题型03 平行问题
（2025春 商丘月考）已知平面α的法向量为，直线l在平面α外，且方向向量，则直线l与平面α的位置关系为　　　　．
【答案】l∥α．
【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可．
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为，
直线l的方向向量，
由于，
所以，所以l α或l∥α．
因为l α，所以l∥α．
故答案为：l∥α．
【变式练1】（2025 鄄城县校级开学）已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量．若l∥α，则y＝（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．
【变式练2】（2024秋 铜仁市期末）已知（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则（　　）
A．λ＝2μ B．λ＝μ C．3λ+μ＝0 D．λ+3μ＝8
【变式练3】（2025春 上海校级月考）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，且l∥α，则m＝　　　　．
题型04 垂直问题
（多选）（2024秋 白城校级期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　）
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，3，﹣1），，﹣3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，2，﹣1），，4，2），则α⊥β
D．直线l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），则l∥α
【答案】AC
【分析】对于A：验证，是否平行即可．
对于B：验证是否平行即可．
对于C：验证数量积是否为零即可．
对于D：验证是否平行于即可．
【解答】解：因为，3，﹣1），，﹣3，1），即，又因为l1，l2不重合，所以l1∥l2，A正确．
因为，﹣1，2），，4，﹣1），所以与不平行，所以l不垂直于α，B错误．
因为，2，﹣1），，4，2），所以2×（﹣3）+2×4+（﹣1）×2＝0，所以，所以α⊥β，C正确．
因为，3，0），，﹣5，0），所以，所以，所以l⊥α，D错误．
故选：AC．
【变式练1】（2025春 黑龙江期末）已知平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α⊥β，则x＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【变式练2】（2025春 杨浦区月考）在空间直角坐标系中，是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则t＝（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【变式练3】（多选）（2024秋 蜀山区校级期末）给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．若直线l的方向向量，直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量，平面α的法向量，则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为，，则α⊥β
D．若存在实数x，y，使，则点P、M，A，B共面

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