资源简介

2.1 直线的倾斜角与斜率
题型01 直线的倾斜角 4
题型02 由倾斜角求斜率 5
题型03 由两点求斜率 6
题型04 两直线平行 7
题型05 两直线垂直 8
题型06 直线的方向向量 9
知识点1： 直线的倾斜角
1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
3．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
知识点2： 直线的斜率
1．一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．
2．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα．
3．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
知识点3： 直线的倾斜角与斜率
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
知识点4： 两直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
知识点5： 两直线垂直
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
1．直线倾斜角的求解．
(1)当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°．
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
(3)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
2．直线的斜率．
(1)当直线与x轴平行或重合时，，．
(2)已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
(3)直线与x轴垂直时，，k不存在．
3．两直线平行．
(1) 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合．
(2)当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
4．两直线垂直．
(1)成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
5．直线的方向向量．
(1) 直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．
(2) 直线P1P2的方向向量的坐标为()．
(3) 若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=．
题型01 直线的倾斜角
（2024秋 黄山期末）直线y＝﹣2的倾斜角为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣2为平行于x轴的直线，
∴直线y＝﹣2的倾斜角为0．
故选：B．
【变式练1】（2024秋 上虞区期末）若直线x+1＝0的倾斜角为θ，则θ的值为（　　）
A．0 B． C． D．不存在
【变式练2】（多选）（2024秋 喀什市期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．垂直于y轴的直线倾斜角为0
【变式练3】（2025春 松江区期末）直线y＝x+2025的倾斜角是　　　　．
题型02 由倾斜角求斜率
（2024秋 滨海新区期末）若直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为　　　　．
【答案】．
【分析】通过直线的倾斜角为60°求出直线的斜率即可．
【解答】解：因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k＝tan60．
故答案为：．
【变式练1】（2024秋 诸暨市期末）直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（2025春 桥西区校级月考）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【变式练3】（2024秋 东营期末）已知直线l1的斜率为﹣1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，则直线l2的斜率为（　　）
A． B． C． D．
题型03 由两点求斜率
（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式求解即可．
【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角为135°，所以，
解得m＝1．
故选：B．
【变式练1】（2025春 海南期末）已知两点A（﹣3，2），B（2，1），过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C． D．
【变式练2】（2025春 固始县校级期末）已知A（﹣2，3）、B（2，1），若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【变式练3】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则直线m的斜率为　　　　．
题型04 两直线平行
（2024秋 彭山区校级月考）若过点（3，a﹣1），（0，0）的直线l1与过点（a﹣1，3），（﹣1，1）的直线l2平行，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣2或3 D．2或﹣3
【答案】A
【分析】由两直线平行有k1＝k2，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值．
【解答】解：由直线l1过点（3，a﹣1），（0，0），可确定斜率存在，
又直线l1与l2平行，则，解得a＝3或a＝﹣2．
当a＝﹣2时，k1＝﹣1，此时直线l1方程为y＝﹣x，直线l2的方程为y＝﹣x重合，故舍去，
当a＝3时，，此时直线l1方程为，直线l2的方程为yx，符合题意．
故选：A．
【变式练1】（2024秋 海淀区校级月考）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1，a2，斜率分别为k1，k2，则下列命题
（1）若l1∥l2，则斜率k1＝k2； （2）若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
（3）若l1∥l2，则倾斜角a1＝a2；（4）若倾斜角a1＝a2，则l1∥l2；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式练2】（多选）（2024秋 南关区校级期末）在平面直角坐标系中，已知P（﹣1，0），Q（2，﹣3），则（　　）
A．点P在直线x+y+1＝0上
B．直线PQ的倾斜角是45°
C．直线PQ与直线x+y﹣4＝0平行
D．直线PQ的一个方向向量为（2，2）
【变式练3】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线4x﹣2y﹣5＝0平行，则a的值为　　　　．
题型05 两直线垂直
（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（　　）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
【答案】C
【分析】先利用单位向量模长为1，得出x0，再利用垂直得数量积为0即可求出．
【解答】解：由题可得到：，
因直线l上的单位向量为，则，得，
又，即，
当时，；当时，b＝4；
则或b＝4．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025春 横峰县校级期中）若直线l1的斜率，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【变式练2】（2024秋 武昌区校级月考）直线l1过点A（4，a），B（a﹣1，3）两点，直线l2过点C（2，3），D（﹣1，a﹣2）两点，若l1⊥l2，则a＝　　　　．
【变式练3】（2024秋 兴宁区校级月考）已知点A（﹣4，3），B（2，5），C（6，3），D（﹣3，0），
（1）试判断直线AB和直线CD的位置关系；
（2）试判定四边形ABCD的形状．
题型06 直线的方向向量
（2025春 郴州月考）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线的方向向量定义得到直线l的斜率，进而求解结论．
【解答】解：由直线的方向向量定义可知，直线l的方向向量为（1，），
故直线l的斜率为k，故直线l的倾斜角为．
故选：A．
【变式练1】（2025春 商丘月考）若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角θ的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（2024秋 武汉期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】（2024秋 北碚区期末）直线x+3y﹣1＝0的一个方向向量为　　　　．2.1 直线的倾斜角与斜率
题型01 直线的倾斜角 4
题型02 由倾斜角求斜率 6
题型03 由两点求斜率 7
题型04 两直线平行 9
题型05 两直线垂直 12
题型06 直线的方向向量 14
知识点1： 直线的倾斜角
1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
3．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
知识点2： 直线的斜率
1．一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．
2．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα．
3．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
知识点3： 直线的倾斜角与斜率
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
知识点4： 两直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
知识点5： 两直线垂直
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
1．直线倾斜角的求解．
(1)当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°．
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
(3)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
2．直线的斜率．
(1)当直线与x轴平行或重合时，，．
(2)已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
(3)直线与x轴垂直时，，k不存在．
3．两直线平行．
(1) 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合．
(2)当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
4．两直线垂直．
(1)成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
5．直线的方向向量．
(1) 直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．
(2) 直线P1P2的方向向量的坐标为()．
(3) 若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=．
题型01 直线的倾斜角
（2024秋 黄山期末）直线y＝﹣2的倾斜角为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣2为平行于x轴的直线，
∴直线y＝﹣2的倾斜角为0．
故选：B．
【变式练1】（2024秋 上虞区期末）若直线x+1＝0的倾斜角为θ，则θ的值为（　　）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】先判断直线的斜率存在情况，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】解：由题意得直线x+1＝0的斜率不存在，
故θ的值为．
故选：C．
【变式练2】（多选）（2024秋 喀什市期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．垂直于y轴的直线倾斜角为0
【答案】CD
【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项的真假．
【解答】解：A选项：当直线平行y轴或为y轴，此时直线的斜率不存在，所以A选项错误；
B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误；
C选项：任何一条直线的倾斜角α均唯一存在，且α∈[0，π），C选项正确；
D选项：垂直于y轴的直线与x轴平行或为x轴，则该直线倾斜角为0，所以D选项正确．
故选：CD．
【变式练3】（2025春 松江区期末）直线y＝x+2025的倾斜角是　　　　．
【答案】．
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得l的倾斜角，即可得答案．
【解答】解：设斜率为k，倾斜角为α，α∈[0，π），
因为直线y＝x+2025的斜率为k＝1，则k＝tanα＝1，
所以．
故答案为：．
题型02 由倾斜角求斜率
（2024秋 滨海新区期末）若直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为　　　　．
【答案】．
【分析】通过直线的倾斜角为60°求出直线的斜率即可．
【解答】解：因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k＝tan60．
故答案为：．
【变式练1】（2024秋 诸暨市期末）直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系式求出结果
【解答】解：直线l的倾斜角为，则直线的斜率k．
故选：B．
【变式练2】（2025春 桥西区校级月考）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据斜率的定义即可求解．
【解答】解：k＝tan1．
故选：A．
【变式练3】（2024秋 东营期末）已知直线l1的斜率为﹣1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，则直线l2的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，算出直线l1的倾斜角为135°，从而可得直线l2的倾斜角为105°，然后根据两角和的正切公式算出直线l2的斜率，可得答案．
【解答】解：设直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，
根据直线l1的斜率为tanα＝﹣1，结合0°≤α＜180°，得α＝135°，
所以β＝α﹣30°＝105°，
因此，直线l2的斜率等于tanβ＝tan（45°+60°）．
故选：B．
题型03 由两点求斜率
（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式求解即可．
【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角为135°，所以，
解得m＝1．
故选：B．
【变式练1】（2025春 海南期末）已知两点A（﹣3，2），B（2，1），过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C． D．
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围．
【解答】解：如图所示，
直线PB逆时针旋转到PA的位置才能保证过点P（0，﹣1）的直线与线段AB有交点，
从PB转到PF过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时k∈[1，+∞）；
从PF旋转到PA过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时k∈（﹣∞，﹣1]，
综上可得直线l的斜率的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：A．
【变式练2】（2025春 固始县校级期末）已知A（﹣2，3）、B（2，1），若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【答案】C
【分析】直接利用直线的斜率和直线间的位置关系求出结果．
【解答】解：已知A（﹣2，3）、B（2，1），
若斜率存在的直线l经过点P（0，﹣1），故kAP＝﹣2，kBP＝1，
由于与线段AB有交点，故k≥kBP＝1，k≤kAP＝﹣2，
即直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．
故选：C．
【变式练3】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则直线m的斜率为　　　　．
【答案】．
【分析】先求出直线l的斜率，再结合二倍角公式求解．
【解答】解：因为直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，
所以直线l的斜率为2，
设直线l的倾斜角为θ，则直线m的倾斜角为2θ，则tanθ＝2，
所以tan2θ．
故答案为：．
题型04 两直线平行
（2024秋 彭山区校级月考）若过点（3，a﹣1），（0，0）的直线l1与过点（a﹣1，3），（﹣1，1）的直线l2平行，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣2或3 D．2或﹣3
【答案】A
【分析】由两直线平行有k1＝k2，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值．
【解答】解：由直线l1过点（3，a﹣1），（0，0），可确定斜率存在，
又直线l1与l2平行，则，解得a＝3或a＝﹣2．
当a＝﹣2时，k1＝﹣1，此时直线l1方程为y＝﹣x，直线l2的方程为y＝﹣x重合，故舍去，
当a＝3时，，此时直线l1方程为，直线l2的方程为yx，符合题意．
故选：A．
【变式练1】（2024秋 海淀区校级月考）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1，a2，斜率分别为k1，k2，则下列命题
（1）若l1∥l2，则斜率k1＝k2； （2）若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
（3）若l1∥l2，则倾斜角a1＝a2；（4）若倾斜角a1＝a2，则l1∥l2；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】（1）两直线平行时，得到与x轴的夹角即倾斜角相等，根据倾斜角与斜率的关系，当斜率不存在时可以得到两直线平行；
（2）两直线的斜率相等，即可得到倾斜角的正切值相等，根据正切函数的单调性可判断两个倾斜角相等，根据同位角相等得到两直线平行；
（3）根据两直线平行，同位角相等即可判断；
（4）根据同位角相等，两直线平行即可判断．
【解答】解：（1）由于斜率都存在，若l1∥l2，则k1＝k2，此命题正确；
（2）因为两直线的斜率相等即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等即tana1＝tana2，即可得到a1＝a2，所以l1∥l2，此命题正确；
（3）因为l1∥l2，根据两直线平行，得到a1＝a2，此命题正确；
（4）因为两直线的倾斜角a1＝a2，根据同位角相等，得到l1∥l2，此命题正确；
所以正确的命题个数是4．
故选：D．
【变式练2】（多选）（2024秋 南关区校级期末）在平面直角坐标系中，已知P（﹣1，0），Q（2，﹣3），则（　　）
A．点P在直线x+y+1＝0上
B．直线PQ的倾斜角是45°
C．直线PQ与直线x+y﹣4＝0平行
D．直线PQ的一个方向向量为（2，2）
【答案】AC
【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等，且在x轴的截距；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判断．
【解答】解：对于A选项，将点P（﹣1，0）代入直线x+y+1＝0，左边＝﹣1+0+1＝0，右边＝0，所以左边＝右边，所以点P在直线x+y+1＝0上，所以A选项正确；
对于B选项，已知P（﹣1，0），Q（2，﹣3）可得直线PQ的斜率，设直线PQ的倾斜角为α，0°≤α＜180°，则tanα＝﹣1，所以α＝135°，所以B选项错误；
对于C选项，由前面计算kPQ＝﹣1，而直线x+y﹣4＝0的斜率为﹣1，两直线斜率相等，但直线PQ在x轴上的截距为﹣1，而直线x+y﹣4＝0在x轴的截距为4，所以点P不在直线x+y﹣4＝0上，所以直线PQ与直线x+y﹣4＝0平行，所以C选项正确．
对于D选项，kPQ＝﹣1，直线的方向向量λ（1，﹣1），对于向量（2，2）≠λ（1，﹣1），所以（2，2）不是直线PQ的一个方向向量，所以D选项错误．
故选：AC．
【变式练3】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线4x﹣2y﹣5＝0平行，则a的值为　　　　．
【答案】2．
【分析】利用两直线平行时斜率相等即可求解．
【解答】解：因为直线4x﹣2y﹣5＝0的斜率为2，
过点A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线的斜率为，
由题意得2，
解得a＝2．
故答案为：2．
题型05 两直线垂直
（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（　　）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
【答案】C
【分析】先利用单位向量模长为1，得出x0，再利用垂直得数量积为0即可求出．
【解答】解：由题可得到：，
因直线l上的单位向量为，则，得，
又，即，
当时，；当时，b＝4；
则或b＝4．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025春 横峰县校级期中）若直线l1的斜率，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】AD
【分析】根据直线垂直的性质求解即可．
【解答】解：因为直线l1的斜率，
直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，
所以，解得a＝﹣1或5．
故选：AD．
【变式练2】（2024秋 武昌区校级月考）直线l1过点A（4，a），B（a﹣1，3）两点，直线l2过点C（2，3），D（﹣1，a﹣2）两点，若l1⊥l2，则a＝　　　　．
【答案】0或5．
【分析】根据直线l1的斜率是否存在，分两种情况讨论，利用两条直线垂直的位置关系列方程，解出实数a的值．
【解答】解：（1）当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，
满足l1⊥l2，此时，
解得a＝5；
（2）当直线l1的斜率存在时，
由l1⊥l2得，解得a＝0．
综上，a＝0或a＝5．
故答案为：0或5．
【变式练3】（2024秋 兴宁区校级月考）已知点A（﹣4，3），B（2，5），C（6，3），D（﹣3，0），
（1）试判断直线AB和直线CD的位置关系；
（2）试判定四边形ABCD的形状．
【答案】（1）AB∥CD；
（2）四边形ABCD为直角梯形．
【分析】（1）求出kAB，kCD可得两直线线关系；
（2）求出kAD≠kBC且kAB kAD＝﹣1可得四边形形状；
【解答】解：（1）因为A（﹣4，3），B（2，5），C（6，3），D（﹣3，0），
可得，
可得直线AB方程为y﹣5（x﹣2），整理可得：x﹣3y+13＝0，
直线CD的方程为y（x+3），整理可得：x﹣3y+3＝0，
可得两条直线平行，
即AB∥CD；
（2）因为，，
所以kAD≠kBC，即AD与BC不平行，
又kAB kAD＝﹣1，所以AB⊥AD，
所以四边形ABCD为直角梯形．
题型06 直线的方向向量
（2025春 郴州月考）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线的方向向量定义得到直线l的斜率，进而求解结论．
【解答】解：由直线的方向向量定义可知，直线l的方向向量为（1，），
故直线l的斜率为k，故直线l的倾斜角为．
故选：A．
【变式练1】（2025春 商丘月考）若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角θ的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得．
【解答】解：由题可得直线l的斜率为，
所以直线l的倾斜角为．
故选：D．
【变式练2】（2024秋 武汉期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案．
【解答】解：因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则，
所以，
故选：D．
【变式练3】（2024秋 北碚区期末）直线x+3y﹣1＝0的一个方向向量为　　　　．
【答案】（3，﹣1）答案不唯一．
【分析】根据直线的写方向向量即可．
【解答】解：因为直线x+3y﹣1＝0的斜率，
所以直线的方向向量可以为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）答案不唯一．

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