资源简介

2.2 直线的方程
题型01 直线的点斜式方程 5
题型02 直线的斜截式方程 6
题型03 直线的两点式方程 7
题型04 直线的截距式方程 8
题型05 直线的一般式方程 9
题型06 动直线过定点问题 11
题型07 直线的平行与垂直 12
题型08 对称问题 13
知识点1： 直线的点斜式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做l在y轴上的截距
知识点2： 直线的两点式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b( a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
知识点3： 直线的一般式方程
1．关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．
2．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
知识点4： 直线过定点问题
1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．
1．求直线点斜式方程的步骤．
(1) 确定点P（x0,y0）．
(2) 若斜率不存在，方程为x=x0；若斜率存在，方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
2．求直线的斜截式方程．
(1) 先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2) 斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出．
(3) b是直线在y轴上的截距．
3．直线在坐标轴上截距的求解．
(1) 令x=0得直线在y轴上的截距．
(2) 令y=0得直线在x轴上的截距．
4．直线过定点问题．
(1) 若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为的形式．
(2) 由解出的值，即得定点坐标．
5．直线的平行与垂直．
(1) ．
(2) 且或，记忆式（）．
(3) ．
(4) ．
6．对称问题．
(1) 点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
(2) 直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(3) 点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
题型01 直线的点斜式方程
（2025 凉州区校级开学）若直线l的倾斜角是直线y＝x﹣3的倾斜角的两倍，且直线l经过点（2，4），则直线l的方程为（　　）
A．y＝2x B．x＝4 C．x＝2 D．y＝2x﹣3
【答案】C
【分析】根据y＝x﹣3的倾斜角求出直线l的倾斜角即可得到直线l的方程．
【解答】解：因为直线y＝x﹣3的斜率为1，
所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，则其斜率不存在．
又直线l过点（2，4），所以直线l的方程为x＝2．
故选：C．
【变式练1】（2025春 安徽月考）直线l经过点，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的，则直线l的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式练2】（2025春 宝山区期末）经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为　　　　．
【变式练3】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：
（1）直线l的倾斜角为45°；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距相等．
题型02 直线的斜截式方程
（2024秋 市中区校级期中）直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线倾斜角得斜率，求出过点（0，1）可得直线的斜截式方程．
【解答】解：由直线的倾斜角30°，
所以过（0，1）直线的斜截式方程为：y＝xtan30°+1x+1．
即yx+1．
故选：A．
【变式练1】（2024秋 东莞市校级期中）已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　）
A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3
【变式练2】（2024秋 江西期中）若直线l的斜率为，在x轴上的截距为﹣1，则l的方程为（　　）
A．2x+y+2＝0 B．x+2y﹣1＝0 C．x+2y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【变式练3】（2024秋 嘉定区校级期末）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是　　　　．
题型03 直线的两点式方程
（2024秋 广东月考）过A（2，3），B（4，﹣5）两点的直线的两点式方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两点式方程即可求解．
【解答】解：两点式方程为，代入坐标得．
故选：B．
【变式练1】（2025春 大同期末）已知点A（8，﹣1），B（1，﹣3），若点C（2m﹣1，m+2）在直线AB上，则实数m＝（　　）
A．﹣12 B．13 C．﹣13 D．12
【变式练2】（2024秋 重庆期末）过A（2，0）、B（0，3）两点的直线方程是（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】（2024秋 龙岩期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为　　　　．
题型04 直线的截距式方程
（2025 眉山校级三模）两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将直线的方程化为截距式方程，根据截距的正负，逐个分析选项即可判断正误．
【解答】解：两直线化为截距式分别为，，
选项A，B中，根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＜0，
∴b＞0，﹣a＞0，即直线l2在x轴，y轴上的截距都大于零，
故选项A正确，B错误，
对于选项C：根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＞0，
∴b＜0，﹣a＞0，即直线l2在x轴上的截距小于零，在y轴上的截距大于零，
故选项C错误，
对于选项D：根据直线l1的图像可知，a＞0，﹣b＜0，
∴b＞0，﹣a＜0，即直线l2在x轴上的截距大于零，在y轴上的截距小于零，
故选项D错误，
故选：A．
【变式练1】（2025春 泸州期末）直线3x+2y﹣1＝0在y轴上的截距为（　　）
A． B． C．﹣1 D．
【变式练2】（多选）（2024秋 阜南县校级月考）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【变式练3】（2025春 宝山区期末）已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）．
（1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点；
（2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程．
题型05 直线的一般式方程
（2024秋 台州期末）已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　）
A．直线l的截距式方程为
B．直线l的截距式方程为
C．直线l的斜截式方程为
D．直线l的斜截式方程为
【答案】A
【分析】根据方程之间的互化，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】解：因为直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，
两边同时除以6整理可得：直线l的截距式方程为，故A正确，B错误；
直线l的斜截式方程为，故C，D错误．
故选：A．
【变式练1】（2025春 杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　）
A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0
C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0
【变式练2】（多选）（2025春 常德校级月考）已知直线l过点（﹣2，3），则下列说法中正确的是（　　）
A．若直线l的斜率为2，则l的方程为2x+y+1＝0
B．若直线l在y轴上的截距为2，则l的方程为x+2y﹣4＝0
C．若直线l的一个方向向量为（1，﹣3），则l的方程为3x+y+3＝0
D．若直线l与直线x+y＝0平行，则l的方程为x+y﹣1＝0
【变式练3】（2025春 兴宁区校级期中）已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：　　　　．（用一般式方程表示）
①倾斜角为30°；
②不经过坐标原点．
题型06 动直线过定点问题
（2025春 静安区校级期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0）
【答案】B
【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标．
【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理得m（x+3y）﹣y+1＝0，
令，解得x＝﹣3，y＝1，
即直线恒过定点（﹣3，1）．
故选：B．
【变式练1】（多选）（2025春 宁夏校级期末）以下四个命题表述错误的是（　　）
A．mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．若直线l1：2mx﹣y+1＝0与l2：（m﹣1）x+my+2＝0互相垂直，则实数
C．已知直线l1：ax+y﹣1＝0与平行，则a＝1或﹣1
D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是
【变式练2】（2025 平果市校级开学）已知2a+5b＝5，则直线ax+by﹣10＝0必过定点　　　　．
【变式练3】（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
题型07 直线的平行与垂直
（2025 钦南区校级开学）已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求两直线平行时a的取值，再判断a＝1和a＝0时两直线是否平行，从而确定条件类型．
【解答】解：由题意直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，
l1，l2平行或重合的充要条件是（2a+1）a＝（a+2）a，所以a＝0或a＝1．
将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1＝0，l2：3x+y+2＝0，易知l1∥l2；
将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1＝0，l2：2x+2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去．
综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【变式练1】（2025 山西模拟）已知直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0，则“a＝5”是“l1⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式练2】（多选）（2025秋 灌南县校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．直线y＝ax﹣2a+4（a∈R）必过定点（2，4）
B．直线3x﹣y﹣1＝0在y轴上的截距为1
C．过点（﹣2，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y+1＝0
D．直线的倾斜角为120°
【变式练3】（2025春 崇明区期末）已知点A（0，1）、B（2，3），则线段AB的垂直平分线方程为　　　　．
题型08 对称问题
（2025 嘉峪关校级开学）已知直线l：x+2y﹣1＝0和点A（1，2）．
（1）求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线l关于点A对称的直线方程．
【答案】（1）．
（2）x+2y﹣9＝0．
【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可．
【解答】解：（1）设A′（m，n），由题意可得，解得，
所以点A′的坐标为．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），
设P（x，y）关于点A的对称点为P′（x0，y0），
则，解得，
由于P′（2﹣x，4﹣y）在直线x+2y﹣1＝0上，
则（2﹣x）+2（4﹣y）﹣1＝0，即x+2y﹣9＝0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为x+2y﹣9＝0．
【变式练1】（2024秋 郑州期末）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（4，0），经x轴反射，求反射光线所在的直线方程　　　　．
【变式练2】（2024秋 深圳期末）已知△ABC的顶点A的坐标为（0，0），边BC所在的直线方程为x﹣y﹣2＝0，边AC上的中线BM所在的直线方程为x+y﹣2＝0．
（1）求边AC所在的直线方程；
（2）求点B关于直线AC的对称点B1的坐标．
【变式练3】（2024秋 随州期末）已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x﹣2y﹣6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
（3）直线l关于点A（﹣1，﹣2）对称的直线l′的方程．2.2 直线的方程
题型01 直线的点斜式方程 5
题型02 直线的斜截式方程 7
题型03 直线的两点式方程 9
题型04 直线的截距式方程 10
题型05 直线的一般式方程 13
题型06 动直线过定点问题 15
题型07 直线的平行与垂直 18
题型08 对称问题 20
知识点1： 直线的点斜式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做l在y轴上的截距
知识点2： 直线的两点式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b( a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
知识点3： 直线的一般式方程
1．关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．
2．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
知识点4： 直线过定点问题
1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．
1．求直线点斜式方程的步骤．
(1) 确定点P（x0,y0）．
(2) 若斜率不存在，方程为x=x0；若斜率存在，方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
2．求直线的斜截式方程．
(1) 先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2) 斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出．
(3) b是直线在y轴上的截距．
3．直线在坐标轴上截距的求解．
(1) 令x=0得直线在y轴上的截距．
(2) 令y=0得直线在x轴上的截距．
4．直线过定点问题．
(1) 若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为的形式．
(2) 由解出的值，即得定点坐标．
5．直线的平行与垂直．
(1) ．
(2) 且或，记忆式（）．
(3) ．
(4) ．
6．对称问题．
(1) 点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
(2) 直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(3) 点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
题型01 直线的点斜式方程
（2025 凉州区校级开学）若直线l的倾斜角是直线y＝x﹣3的倾斜角的两倍，且直线l经过点（2，4），则直线l的方程为（　　）
A．y＝2x B．x＝4 C．x＝2 D．y＝2x﹣3
【答案】C
【分析】根据y＝x﹣3的倾斜角求出直线l的倾斜角即可得到直线l的方程．
【解答】解：因为直线y＝x﹣3的斜率为1，
所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，则其斜率不存在．
又直线l过点（2，4），所以直线l的方程为x＝2．
故选：C．
【变式练1】（2025春 安徽月考）直线l经过点，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的，则直线l的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程．
【解答】解：因为直线x＝﹣1的倾斜角为90°，
又直线l的倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的，
所以直线l的方程为，即．
故选：A．
【变式练2】（2025春 宝山区期末）经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为　　　　．
【答案】x﹣y+1＝0．
【分析】根据题意运用直线的点斜式方程列式，化简即可得到所求直线的方程．
【解答】解：经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），
整理得x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
【变式练3】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：
（1）直线l的倾斜角为45°；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距相等．
【答案】（1）直线l的方程为x﹣y+1＝0；
（2）直线l的方程为3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
【分析】（1）根据题意，由直线的倾斜角可得直线l的斜率，代入直线的截距式方程即可得答案，
（2）根据题意，分直线l是否经过原点2种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直线l的倾斜角为45°，则其斜率k＝tan45°＝1，
又由直线l过点P（2，3），则直线l的方程为y﹣3＝（x﹣2），
变形可得x﹣y+1＝0，
即直线l的方程为x﹣y+1＝0．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若直线l经过原点，直线l的方程为yx，即3x﹣2y＝0；
若直线l不经过原点，则直线l的方程为1．
将点P（2，3）代入，得1，即a＝5．
所以直线l的方程为x+y﹣5＝0．
综合可得：直线l的方程为3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
题型02 直线的斜截式方程
（2024秋 市中区校级期中）直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线倾斜角得斜率，求出过点（0，1）可得直线的斜截式方程．
【解答】解：由直线的倾斜角30°，
所以过（0，1）直线的斜截式方程为：y＝xtan30°+1x+1．
即yx+1．
故选：A．
【变式练1】（2024秋 东莞市校级期中）已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　）
A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3
【答案】C
【分析】先求出直线的斜率，结合直线的斜截式即可求解．
【解答】解：直线l的倾斜角为120°，即斜率为，
因为在y轴上的截距是3，则直线l的方程为yx+3．
故选：C．
【变式练2】（2024秋 江西期中）若直线l的斜率为，在x轴上的截距为﹣1，则l的方程为（　　）
A．2x+y+2＝0 B．x+2y﹣1＝0 C．x+2y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【答案】C
【分析】根据题意直接点斜式求解即可．
【解答】解：直线l的斜率为，在x轴上的截距为﹣1，
所以l的方程为，即x+2y+1＝0．
故选：C．
【变式练3】（2024秋 嘉定区校级期末）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是　　　　．
【答案】．
【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．
【解答】解：已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），
故直线的方程为：，整理得x+4y＝19，
转化为直线的斜截式为．
故答案为：．
题型03 直线的两点式方程
（2024秋 广东月考）过A（2，3），B（4，﹣5）两点的直线的两点式方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两点式方程即可求解．
【解答】解：两点式方程为，代入坐标得．
故选：B．
【变式练1】（2025春 大同期末）已知点A（8，﹣1），B（1，﹣3），若点C（2m﹣1，m+2）在直线AB上，则实数m＝（　　）
A．﹣12 B．13 C．﹣13 D．12
【答案】C
【分析】由三点共线可得：kAB＝kAC，利用斜率计算公式即可得出．
【解答】解：由三点共线可得：kAB＝kAC，
∴，解得m＝﹣13．
故选：C．
【变式练2】（2024秋 重庆期末）过A（2，0）、B（0，3）两点的直线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由截距式得到直线方程．
【解答】解：由直线过点A（2，0）、B（0，3）可得直线方程为，A正确，BCD错误．
故选：A．
【变式练3】（2024秋 龙岩期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为　　　　．
【答案】4x+y﹣15＝0．
【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解．
【解答】解：A（1，2），B（5，4），C（2，7），
AB的中点坐标为D（3，3），则，
故边AB上的中线所在直线方程为y﹣3＝﹣4（x﹣3），
即4x+y﹣15＝0，
故答案为：4x+y﹣15＝0．
题型04 直线的截距式方程
（2025 眉山校级三模）两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将直线的方程化为截距式方程，根据截距的正负，逐个分析选项即可判断正误．
【解答】解：两直线化为截距式分别为，，
选项A，B中，根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＜0，
∴b＞0，﹣a＞0，即直线l2在x轴，y轴上的截距都大于零，
故选项A正确，B错误，
对于选项C：根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＞0，
∴b＜0，﹣a＞0，即直线l2在x轴上的截距小于零，在y轴上的截距大于零，
故选项C错误，
对于选项D：根据直线l1的图像可知，a＞0，﹣b＜0，
∴b＞0，﹣a＜0，即直线l2在x轴上的截距大于零，在y轴上的截距小于零，
故选项D错误，
故选：A．
【变式练1】（2025春 泸州期末）直线3x+2y﹣1＝0在y轴上的截距为（　　）
A． B． C．﹣1 D．
【答案】A
【分析】直线方程中令x＝0求得y值即得．
【解答】解：3x+2y﹣1＝0，令x＝0得，
故所求截距为．
故选：A．
【变式练2】（多选）（2024秋 阜南县校级月考）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【答案】BD
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．
【解答】解：∵过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0，或者y＝2x，故A错误；
∵直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故B正确；
由于直线 的斜率为，故它的倾斜角为30°，故C错误；
∵过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0，故D正确，
故选：BD．
【变式练3】（2025春 宝山区期末）已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）．
（1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点；
（2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x+3y＝0或x+y+2＝0．
【分析】（1）将直线l的方程化简为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0，然后求出直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点，即可证出所求结论；
（2）根据题意，按照直线l是否经过原点进行讨论，分别求出满足条件的k值，进而可得直线l的方程．
【解答】（1）证明：直线l的方程可化为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0，
可知直线l经过直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点（﹣3，1），
所以对任意实数k，直线l都经过定点（﹣3，1）；
（2）解：若直线l在x轴、y轴上截距相等，
则可能直线l经过原点，或直线l的斜率为﹣1，
①若直线l经过原点，则3k+1＝0，解得k，
此时直线l的方程为，即x+3y＝0；
②若直线l的斜率为﹣1，则k＝﹣1，
此时直线l的方程为﹣x﹣y﹣2＝0，即x+y+2＝0．
综上所述，直线l的方程为x+3y＝0或x+y+2＝0．
题型05 直线的一般式方程
（2024秋 台州期末）已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　）
A．直线l的截距式方程为
B．直线l的截距式方程为
C．直线l的斜截式方程为
D．直线l的斜截式方程为
【答案】A
【分析】根据方程之间的互化，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】解：因为直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，
两边同时除以6整理可得：直线l的截距式方程为，故A正确，B错误；
直线l的斜截式方程为，故C，D错误．
故选：A．
【变式练1】（2025春 杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　）
A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0
C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0
【答案】B
【分析】直接利用直线经过的象限求出结果．
【解答】解：若直线Ax+By+C＝0，
整理得，由于该直线经过第一、二、四象限，
所以，故．
故选：B．
【变式练2】（多选）（2025春 常德校级月考）已知直线l过点（﹣2，3），则下列说法中正确的是（　　）
A．若直线l的斜率为2，则l的方程为2x+y+1＝0
B．若直线l在y轴上的截距为2，则l的方程为x+2y﹣4＝0
C．若直线l的一个方向向量为（1，﹣3），则l的方程为3x+y+3＝0
D．若直线l与直线x+y＝0平行，则l的方程为x+y﹣1＝0
【答案】BCD
【分析】根据各项描述，应用斜率两点式、点斜式及直线平行求直线方程．
【解答】解：A：由题设，l的方程为y﹣3＝2（x+2），即2x﹣y+7＝0，错；
B：由题设，直线斜率，则，即x+2y﹣4＝0，对；
C：由题设，直线斜率，则y﹣3＝﹣3（x+2），即3x+y+3＝0，对；
D：由题设，令l为x+y+m＝0，将（﹣2，3）代入得﹣2+3+m＝0 m＝﹣1，
所以l的方程为x+y﹣1＝0，对．
故选：BCD．
【变式练3】（2025春 兴宁区校级期中）已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：　　　　．（用一般式方程表示）
①倾斜角为30°；
②不经过坐标原点．
【答案】xy+1＝0（答案不唯一）．
【分析】由①可得直线的斜率k，由②可得直线yx+b中的b≠0，即可求解．
【解答】解：由①可得直线的斜率k＝tan30°，
由②可得直线yx+b中的b≠0，
可得直线的一个方程为yx，即xy+1＝0．
故答案为：xy+1＝0（答案不唯一）．
题型06 动直线过定点问题
（2025春 静安区校级期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0）
【答案】B
【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标．
【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理得m（x+3y）﹣y+1＝0，
令，解得x＝﹣3，y＝1，
即直线恒过定点（﹣3，1）．
故选：B．
【变式练1】（多选）（2025春 宁夏校级期末）以下四个命题表述错误的是（　　）
A．mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．若直线l1：2mx﹣y+1＝0与l2：（m﹣1）x+my+2＝0互相垂直，则实数
C．已知直线l1：ax+y﹣1＝0与平行，则a＝1或﹣1
D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误．
【解答】解：直线mx+4y﹣12＝0，即mx+4（y﹣3）＝0，
所以恒过定点（0，3），故A正确；
选项B：当m＝0时，直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在，此时，l1与l2互相垂直，
当m≠0时，直线l1的斜率k1＝2m，直线l2的斜率，
因为两直线互相垂直，所以k1 k2＝﹣1，解得，
所以m＝0或，故B错误；
选项C：根据题意，当a＝0时，直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在，
此时，l1与l2互相垂直，舍去，
当a≠0时，直线l1的斜率k1＝﹣a，直线l2的斜率，
因为两直线互相平行，所以k1＝k2，解得a＝±1，
当a＝1时，两直线重合，不符合题意，
所以a＝﹣1，故C错误；
选项D：根据题意，直线l的斜率k＝cosθ（θ∈R），
因为﹣1≤cosθ≤1，所以﹣1≤k≤1，所以﹣1≤tanα≤1，
倾斜角α的取值范围是，故D错误；
故选：BCD．
【变式练2】（2025 平果市校级开学）已知2a+5b＝5，则直线ax+by﹣10＝0必过定点　　　　．
【答案】（4，10）．
【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点．
【解答】解：由题可得：ax+by﹣2（2a+5b）＝0，
整理得a（x﹣4）+b（y﹣10）＝0，
即直线ax+by﹣10＝0必过定点（4，10）．
故答案为：（4，10）．
【变式练3】（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【答案】（1）（1，2）；
（2）；
（3）2x+y﹣4＝0．
【分析】（1）由方程变形可得a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数a的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值．
【解答】解：（1）由l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，即a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，
则，解得，所以直线过定点（1，2）．
（2）因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为，记点A（1，2），则kOA＝2，
由图可得，解得，因此，实数a的取值范围是．
（3）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，且由题意知a≠1，
令x＝0，得，得a＞1，
令y＝0，得，得，则
则，当时，S取最小值，
此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0．
题型07 直线的平行与垂直
（2025 钦南区校级开学）已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求两直线平行时a的取值，再判断a＝1和a＝0时两直线是否平行，从而确定条件类型．
【解答】解：由题意直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，
l1，l2平行或重合的充要条件是（2a+1）a＝（a+2）a，所以a＝0或a＝1．
将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1＝0，l2：3x+y+2＝0，易知l1∥l2；
将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1＝0，l2：2x+2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去．
综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【变式练1】（2025 山西模拟）已知直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0，则“a＝5”是“l1⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：由l1⊥l2，直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣4）x﹣5y﹣4＝0，
则a（a﹣4）﹣5＝0，解得a＝5或a＝﹣1，
所以“a＝5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式练2】（多选）（2025秋 灌南县校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．直线y＝ax﹣2a+4（a∈R）必过定点（2，4）
B．直线3x﹣y﹣1＝0在y轴上的截距为1
C．过点（﹣2，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y+1＝0
D．直线的倾斜角为120°
【答案】AC
【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；
对于B，将x＝0代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；
对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；
对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案．
【解答】解：对于A，由直线方程y＝ax﹣2a+4，整理可得y＝a（x﹣2）+4，当x＝2时，y＝4，故A正确；
对于B，将x＝0代入直线方程3x﹣y﹣1＝0，可得﹣y﹣1＝0，解得y＝﹣1，故B错误；
对于C，由直线方程x﹣2y+3＝0，则其垂线的方程可设为2x+y+C＝0，将点（﹣2，3）代入上式，可得2×（﹣2）+3+C＝0，解得C＝1，
则方程为2x+y+1＝0，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，
设其倾斜角为θ，则，解得θ＝150°，故D错误．
故选：AC．
【变式练3】（2025春 崇明区期末）已知点A（0，1）、B（2，3），则线段AB的垂直平分线方程为　　　　．
【答案】x+y﹣3＝0．
【分析】由线段AB的斜率可计算出线段AB的垂直平分线的斜率，又有AB的中点是线段AB的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段AB的垂直平分线方程．
【解答】解：因为点A（0，1）、B（2，3），
kAB，故线段AB的垂直平分线的斜率为，
线段AB的中点为，
故线段AB的垂直平分线经过（1，2），
故线段AB的垂直平分线方程为：y﹣2＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣3＝0．
故答案为：x+y﹣3＝0．
题型08 对称问题
（2025 嘉峪关校级开学）已知直线l：x+2y﹣1＝0和点A（1，2）．
（1）求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线l关于点A对称的直线方程．
【答案】（1）．
（2）x+2y﹣9＝0．
【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可．
【解答】解：（1）设A′（m，n），由题意可得，解得，
所以点A′的坐标为．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），
设P（x，y）关于点A的对称点为P′（x0，y0），
则，解得，
由于P′（2﹣x，4﹣y）在直线x+2y﹣1＝0上，
则（2﹣x）+2（4﹣y）﹣1＝0，即x+2y﹣9＝0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为x+2y﹣9＝0．
【变式练1】（2024秋 郑州期末）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（4，0），经x轴反射，求反射光线所在的直线方程　　　　．
【答案】2x+y﹣8＝0．
【分析】求出直线PQ的斜率，由光的反射定律求出反射光线所在直线的斜率即可得解．
【解答】解：依题意，直线PQ的斜率为，
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线PQ关于x轴对称，
则它们的倾斜角互补，
于是得反射光线所在直线的斜率为﹣2，
所以反射光线所在直线的方程为y﹣0＝﹣2 （x﹣4），即2x+y﹣8＝0．
故答案为：2x+y﹣8＝0．
【变式练2】（2024秋 深圳期末）已知△ABC的顶点A的坐标为（0，0），边BC所在的直线方程为x﹣y﹣2＝0，边AC上的中线BM所在的直线方程为x+y﹣2＝0．
（1）求边AC所在的直线方程；
（2）求点B关于直线AC的对称点B1的坐标．
【答案】（1）x﹣3y＝0；
（2）．
【分析】（1）由题意求得B的坐标为B（2，0），令点C（m，n），则，联立方程组求得点C的坐标为C（3，1），利用点斜式方程即可求解；
（2）令点B1（a，b），则BB1的中点坐标为，联立解方程组即可求解．
【解答】解：（1）由已知得，即点B的坐标为B（2，0），
令点C（m，n），则，
由，得，
所以点C的坐标为C（3，1），所以，
直线AC的方程为：x﹣3y＝0；
（2）令点B1（a，b），则BB1的中点坐标为，
所以，解得：，
所以点B关于直线AC的对称点B1的坐标为．
【变式练3】（2024秋 随州期末）已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x﹣2y﹣6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
（3）直线l关于点A（﹣1，﹣2）对称的直线l′的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据斜率，中点关系，得出求解即可．
（2）先求出直线m与直线l的交点N，在直线m上取一点，如M（2，0），结合对称性求出关于直线l的对称点M'，再根据两点式，求出直线m'方程．
（3）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．
【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）．
点A关于直线l的对称点A′的坐标为（x0，y0），
∵直线l：2x﹣3y+1＝0，∴
x0，y0，
（2）设直线m与直线l的交点为N，
联立直线l与直线m，，解得N（4，3）
在直线m上取一点，如M（2，0），
则M（2，0）关于直线l的对称点M'必在直线m'上，
设对称点M'（a，b），则，解得，
∵m'经过点N（4，3）
∴由两点式公式可得，直线m'的方程为9x﹣46y+102＝0．
（3）设直线l关于点A（﹣1，﹣2）对称的直线l′的点的坐标为N（x，y），
∴N（x，y）关于点A（﹣1，﹣2）对称点为N′（﹣2﹣x，﹣4﹣y），
∴N′（﹣2﹣x，﹣4﹣y）在直线l：2x﹣3y+1＝0上，
代入直线方程得：直线l′的方程为：2x﹣3y﹣9＝0．

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