资源简介

2.3 直线的交点坐标与距离公式
题型01 两直线的交点 4
题型02 直线过定点问题 5
题型03 两点间的距离 6
题型04 点到线的距离 7
题型05 平行线间的距离 8
题型06 对称问题 9
知识点1： 两直线的交点
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．
2．若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0．
3．若点A是直线l1与l2的交点，则有
知识点2： 两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
知识点3： 距离
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
2．点P(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
知识点4： 对称问题
1．点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
2．直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
3．点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
4．直线关于直线对称:①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
1．两相交直线的交点坐标．
(1) 求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2) 解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
2．直线过定点问题的策略．
(1) 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2) 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
3．点到直线距离的求解．
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
4．两平行线间距离的求解．
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝．
题型01 两直线的交点
（2025秋 灌南县校级月考）两条直线l1：2x﹣y﹣1＝0与l2：x+3y﹣11＝0的交点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
【分析】直接利用二元一次方程组的解法的应用求出结果．
【解答】解：两直线的交点坐标满足，解得．
故交点坐标为（2，3）．
故选：B．
【变式练1】（2025春 武陵区校级月考）若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（　　）
A．4 B．2 C． D．
【变式练2】（2024秋 白城校级期末）两直线2x﹣3y﹣12＝0和x+y﹣1＝0的交点为　　　　．，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　或　　　　．
【变式练3】（2025春 静安区校级月考）已知l1过P1（0，﹣1），P2（2，0），l2：x+y﹣1＝0，则l1与l2的交点坐标为　　　　．
题型02 直线过定点问题
（2025 定安县校级开学）若直线（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0（a∈R）恒过定点A，则点A的坐标为（　　）
A． B．（1，3） C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将已知直线化简为a（3x+y﹣1）+2x﹣y＝0，可知该直线经过3x+y﹣1与2x﹣y＝0的交点，然后通过解方程组得到交点坐标，进而可得答案．
【解答】解：直线l：（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0可化为a（3x+y﹣1）+2x﹣y＝0，
所以直线l经过直线3x+y﹣1与2x﹣y＝0的交点，
由，解得，即直线3x+y﹣1与2x﹣y＝0交于点A（，）．
所以直线（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0经过的定点A的坐标为（，）．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2024秋 武强县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．直线y＝ax﹣3a+2（a∈R）必过定点（3，2）
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点（﹣1，2）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y＝0
【变式练2】（2025春 徐汇区校级期中）设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为　　　　．
【变式练3】（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
题型03 两点间的距离
（2024秋 新平县期中）已知A（a，0），B（0，10），且|AB|＝17，则a＝　　　　．
【答案】．
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解．
【解答】解：因为A（a，0），B（0，10）且|AB|＝17，
所以，解得．
故答案为：．
【变式练1】（2024 东风区校级学业考试）已知两点A（3，0），B（0，4），则|AB|的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式练2】（2024秋 扬州校级期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），则BC边上的中线长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【变式练3】（2024秋 攀枝花月考）坐标原点O到直线（1+k）x+y﹣k﹣3＝0的距离的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
题型04 点到线的距离
（2025 钦南区校级开学）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线l的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项．
【解答】解：已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
对于B选项：的斜率为，故B选项错误；
对于C选项：的斜率为，故C选项错误；
对于D选项：的斜率为，故D选项错误；
对于A选项：点O到直线l的距离为，故A选项正确．
故选：A．
【变式练1】（多选）（2025 东台市校级二模）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0
C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0
【变式练2】（2024秋 长宁区校级期末）已知点M（4，﹣1），点P是直线l：y＝2x+3上的任一点，则|PM|最小值为　　　　．
【变式练3】（2025 金坛区校级二模）已知点P（2，﹣1），则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为　　　　．
题型05 平行线间的距离
（2025春 湖北月考）直线3x+4y＝0与直线6x+8y﹣5＝0间的距离为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可．
【解答】解：3x+4y＝0可变为6x+8y＝0，
直线3x+4y＝0与直线6x+8y﹣5＝0间的距离为．
故选：C．
【变式练1】（2025 温江区模拟）已知直线2x+y﹣2m＝0与直线4x﹣my﹣3＝0平行，则它们之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】（多选）（2025春 碑林区校级期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或2
C．当a＝﹣3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a＞0
【变式练3】（2025 曲靖一模）已知直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，则l1与l2间的距离为　　　　．
题型06 对称问题
（2025 五华区校级开学）已知直线l：x﹣y+1＝0，从点A（﹣2，3）射出的光线经直线l反射后经过点B（2，4），则光线从A到B的路程为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出A关于直线l的对称点A′的坐标，再求得A′B的长即得．
【解答】解：设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（m，n），
则由线段AA′被直线直线l垂直平分可得解得，
因为光线从A到B的路程即|A′B|的长，而|A′B|＝5．所以光线从A到B的路程为5．
故选：C．
【变式练1】（2025春 普陀区校级期中）直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是（　　）
A．2x+3y+7＝0 B．3x﹣2y+2＝0
C．2x+3y+8＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【变式练2】（2025春 保定月考）若第一象限内的点（a，b）关于直线x+y﹣4＝0的对称点在直线x+3y＝0上，则的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．10 D．16
【变式练3】（2025春 昌江区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）点C关于直线AB对称点的坐标；
（3）△ABC的面积．2.3 直线的交点坐标与距离公式
题型01 两直线的交点 4
题型02 直线过定点问题 6
题型03 两点间的距离 9
题型04 点到线的距离 10
题型05 平行线间的距离 12
题型06 对称问题 15
知识点1： 两直线的交点
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．
2．若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0．
3．若点A是直线l1与l2的交点，则有
知识点2： 两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
知识点3： 距离
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
2．点P(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
知识点4： 对称问题
1．点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
2．直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
3．点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
4．直线关于直线对称:①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
1．两相交直线的交点坐标．
(1) 求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2) 解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
2．直线过定点问题的策略．
(1) 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2) 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
3．点到直线距离的求解．
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
4．两平行线间距离的求解．
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝．
题型01 两直线的交点
（2025秋 灌南县校级月考）两条直线l1：2x﹣y﹣1＝0与l2：x+3y﹣11＝0的交点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
【分析】直接利用二元一次方程组的解法的应用求出结果．
【解答】解：两直线的交点坐标满足，解得．
故交点坐标为（2，3）．
故选：B．
【变式练1】（2025春 武陵区校级月考）若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】首先利用直线的交点建立方程组，进一步求出交点的坐标，进一步利用该点的坐标满足直线的方程求出k的值．
【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点，
满足：，解得，
由于该点在直线y＝x+2上，故，
解得k＝4．
故选：A．
【变式练2】（2024秋 白城校级期末）两直线2x﹣3y﹣12＝0和x+y﹣1＝0的交点为　　　　．，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　或　　　　．
【答案】（3，﹣2）；2x+3y＝0，x+y﹣1＝0．
【分析】联立两直线方程即可求得交点坐标；分直线过原点与不过原点分类求解直线方程．
【解答】解：联立，解得，
∴两直线2x﹣3y﹣12＝0和x+y﹣1＝0的交点为（3，﹣2）；
当直线l过原点时，直线方程为y，即2x+3y＝0，
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝a，则3﹣2＝a，即a＝1．
直线方程为x+y﹣1＝0．
∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y＝0或x+y﹣1＝0．
故答案为：（3，﹣2）；2x+3y＝0，x+y﹣1＝0．
【变式练3】（2025春 静安区校级月考）已知l1过P1（0，﹣1），P2（2，0），l2：x+y﹣1＝0，则l1与l2的交点坐标为　　　　．
【答案】（，）．
【分析】先根据直线方程的两点式，求出直线l1的方程，再由两条直线的方程组成方程组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得直线l1的方程为，即x﹣2y﹣2＝0，
由，解得，所以直线l1与直线l2的交点坐标为（，）．
故答案为：（，）．
题型02 直线过定点问题
（2025 定安县校级开学）若直线（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0（a∈R）恒过定点A，则点A的坐标为（　　）
A． B．（1，3） C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将已知直线化简为a（3x+y﹣1）+2x﹣y＝0，可知该直线经过3x+y﹣1与2x﹣y＝0的交点，然后通过解方程组得到交点坐标，进而可得答案．
【解答】解：直线l：（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0可化为a（3x+y﹣1）+2x﹣y＝0，
所以直线l经过直线3x+y﹣1与2x﹣y＝0的交点，
由，解得，即直线3x+y﹣1与2x﹣y＝0交于点A（，）．
所以直线（3a+2）x+（a﹣1）y﹣a＝0经过的定点A的坐标为（，）．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2024秋 武强县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．直线y＝ax﹣3a+2（a∈R）必过定点（3，2）
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点（﹣1，2）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y＝0
【答案】ABD
【分析】A，直线y＝a（x﹣3）+2 （a∈R）必过定点（3，2）；
B，线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为﹣2；
C，求得直线x+y+1＝0 的斜率为，即可；
D，利用点斜式写方程，即可．
【解答】解：对于A，直线y＝a（x﹣3）+2 （a∈R）必过定点（3，2），故正确；
对于B，直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为﹣2，故正确；
对于C，直线x+y+1＝0 的斜率为，其倾斜角为120°，故错误；
对于D，过点（﹣1，2）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为：y﹣2＝﹣2[x﹣（﹣1）]，即2x+y＝0，故正确．
故选：ABD．
【变式练2】（2025春 徐汇区校级期中）设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为　　　　．
【答案】（0，2）．
【分析】将直线转化为k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令，即可求解．
【解答】解：直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，
令，解得x＝0，y＝2，
故点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【变式练3】（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【答案】（1）（1，2）；
（2）；
（3）2x+y﹣4＝0．
【分析】（1）由方程变形可得a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数a的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质得最值．
【解答】解：（1）由l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，
即a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，
则，解得，所以直线过定点（1，2）．
（2）因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为，记点A（1，2），则kOA＝2，
由图可得，解得，因此，实数a的取值范围是．
（3）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，且由题意知a≠1，
令x＝0，得，得a＞1，
令y＝0，得，得，则
则，当时，S取最小值，
此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0．
题型03 两点间的距离
（2024秋 新平县期中）已知A（a，0），B（0，10），且|AB|＝17，则a＝　　　　．
【答案】．
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解．
【解答】解：因为A（a，0），B（0，10）且|AB|＝17，
所以，解得．
故答案为：．
【变式练1】（2024 东风区校级学业考试）已知两点A（3，0），B（0，4），则|AB|的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】利用两点间的距离公式求解可得．
【解答】解：因为两点A（3，0），B（0，4），
由两点间的距离公式得．
故选：B．
【变式练2】（2024秋 扬州校级期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），则BC边上的中线长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长．
【解答】解：△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），
设BC的中点为D，所以D（4，1），
所以BC边上的中线长．
故选：B．
【变式练3】（2024秋 攀枝花月考）坐标原点O到直线（1+k）x+y﹣k﹣3＝0的距离的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先求得含参直线恒过定点，再利用两点间距离公式，求解即可．
【解答】解：将直线（1+k）x+y﹣k﹣3＝0整理可得（x﹣1）k+x+y﹣3＝0，
令，解得，所以直线恒过定点A（1，2），
当OA与直线垂直时，
点O到直线的距离取得最大值OA．
故选：C．
题型04 点到线的距离
（2025 钦南区校级开学）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线l的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项．
【解答】解：已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
对于B选项：的斜率为，故B选项错误；
对于C选项：的斜率为，故C选项错误；
对于D选项：的斜率为，故D选项错误；
对于A选项：点O到直线l的距离为，故A选项正确．
故选：A．
【变式练1】（多选）（2025 东台市校级二模）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0
C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0
【答案】AC
【分析】分别讨论直线l的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求方程．
【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
A到直线l的距离为5，B到直线l的距离为3，显然不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k＝0，
由已知得，所以k＝4或，
所以直线l的方程为4x﹣y﹣5＝0或3x+4y﹣18＝0．
故选：AC．
【变式练2】（2024秋 长宁区校级期末）已知点M（4，﹣1），点P是直线l：y＝2x+3上的任一点，则|PM|最小值为　　　　．
【答案】．
【分析】可得|PM|最小值即为点M到直线l的距离，由点到直线的距离公式计算可得．
【解答】解：由题意可得|PM|最小值即为点M到直线l的距离，
由距离公式可得d，
故答案为：．
【变式练3】（2025 金坛区校级二模）已知点P（2，﹣1），则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为　　　　．
【答案】x＝2或3x﹣4y﹣10＝0
【分析】对直线l的斜率k不存在与存在时分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出．
【解答】解：①当l的斜率k不存在时，过P（2，﹣1）的直线l的方程为x＝2，显然成立；
②当l的斜率k存在时，设l：y+1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
由点到直线的距离公式得，解得，
所以直线l的方程为y+1（x﹣2），即3x﹣4y﹣10＝0．
综上所述：所求直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．
故答案为：x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．
题型05 平行线间的距离
（2025春 湖北月考）直线3x+4y＝0与直线6x+8y﹣5＝0间的距离为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可．
【解答】解：3x+4y＝0可变为6x+8y＝0，
直线3x+4y＝0与直线6x+8y﹣5＝0间的距离为．
故选：C．
【变式练1】（2025 温江区模拟）已知直线2x+y﹣2m＝0与直线4x﹣my﹣3＝0平行，则它们之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两条直线平行列式算出m，然后运用点到直线的距离公式算出答案．
【解答】解：若直线2x+y﹣2m＝0与直线4x﹣my﹣3＝0平行，
则m≠0且，解得m＝﹣2．
两条直线方程分别为2x+y+4＝0与4x+2y﹣3＝0，
在直线2x+y+4＝0上取点P（﹣2，0），
P到直线4x+2y﹣3＝0的距离d，
所以直线2x+y+4＝0与直线4x+2y﹣3＝0之间的距离为．
故选：B．
【变式练2】（多选）（2025春 碑林区校级期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1⊥l2，则a＝0或2
C．当a＝﹣3时，l1与l2的距离为
D．若l1不经过第三象限，则a＞0
【答案】ABC
【分析】把直线方程化为a（x﹣2y）+3y﹣1＝0可得选项A正确；根据垂直公式可得选项B正确；利用两平行线间距离公式可得选项C正确；根据a＝0时结论成立可得选项D错误．
【解答】解：对于选项A，由ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0得a（x﹣2y）+3y﹣1＝0，
由得，直线l2始终过定点，故选项A正确；
对于选项B，由l1⊥l2得a﹣（2a﹣3）a＝0，解得a＝0或2，故选项B正确；
对于选项C，由直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，
可得当a＝﹣3时，l1：x﹣3y+3＝0，即3x﹣9y+9＝0，l2：3x﹣9y+1＝0，
l1与l2的距离为，故选项C正确；
对于选项D，当a＝0时，l1：x＝0，不经过第三象限，故选项D错误．
故选：ABC．
【变式练3】（2025 曲靖一模）已知直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，则l1与l2间的距离为　　　　．
【答案】．
【分析】由平行关系易得m值，代入平行线间的距离公式计算可得．
【解答】解：因为直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，
所以，解得m＝﹣1，
故两直线为：x+y+1＝0和x+y﹣1＝0，
故l1与l2间的距离为：．
故答案为：．
题型06 对称问题
（2025 五华区校级开学）已知直线l：x﹣y+1＝0，从点A（﹣2，3）射出的光线经直线l反射后经过点B（2，4），则光线从A到B的路程为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出A关于直线l的对称点A′的坐标，再求得A′B的长即得．
【解答】解：设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（m，n），
则由线段AA′被直线直线l垂直平分可得解得，
因为光线从A到B的路程即|A′B|的长，而|A′B|＝5．所以光线从A到B的路程为5．
故选：C．
【变式练1】（2025春 普陀区校级期中）直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是（　　）
A．2x+3y+7＝0 B．3x﹣2y+2＝0
C．2x+3y+8＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【答案】C
【分析】直线l关于点A对称后的直线l'与原直线l平行，对称中心A到两直线l，l'的距离相等，列方程求解．
【解答】解法一：
因为直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线斜率不变，
故设对称后的直线方程l'为2x+3y+c＝0，
又∵点（1，﹣1）到两直线距离相等．
∴，化简得：|c﹣1|＝7，即c＝﹣6 或 c＝8
∴l'方程为2x+3y﹣6＝0 （舍） 或 2x+3y+8＝0，
直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是2x+3y+8＝0；
故选C．
解法二：直线2x+3y﹣6＝0上任选两点，比如A（0，2），B（3，0），
所以点A，B关于点（1，﹣1）对称的点A'，B'在所求直线上．
∵A与A'的中点为点（1，﹣1），∴点A'（2，﹣4）
同理可得B'（﹣1，﹣2）
由两点式得直线A'B'方程为：2x+3y+8＝0
故选：C．
【变式练2】（2025春 保定月考）若第一象限内的点（a，b）关于直线x+y﹣4＝0的对称点在直线x+3y＝0上，则的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．10 D．16
【答案】A
【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得a，b关系，由基本不等式求得最小值．
【解答】解：若第一象限内的点（a，b）关于直线x+y﹣4＝0的对称点在直线x+3y＝0上，
设点（x0，y0）是点（a，b）关于直线x+y﹣4＝0的对称点，
则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直，
则，解得，
点（x0，y0）在直线x+3y＝0上，∴4﹣b+3（4﹣a）＝0，即3a+b＝16，
∴，
当且仅当，即a＝b＝4时，取等号，
则的最小值为1．
故选：A．
【变式练3】（2025春 昌江区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）点C关于直线AB对称点的坐标；
（3）△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平行四边形的性质、中点坐标公式即可得出．
（2）利用垂直平分线的性质即可得出；
（3）利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设AC中点为M，则
由ABCD为平行四边形知M为BD中点，而B（3，2）
故D（0，2）．
（2）直线AB方程为y＝x﹣1
过点C且与AB垂直的直线方程为y＝﹣x+6，
由，得交点E为，
设点C关于直线AB的对称点为C′，
则E为C，C′的中点，故C′点坐标为（5，1）．
（3），
点C（2，4）到直线AB：x﹣y﹣1＝0的距离为，
∴．

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