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2025-2026学年云南省文山州富宁县上海市新纪元总校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)，且 + 与 2 互相垂直，则 的值是( )
A. 1 B. 43 C.
5 7
3 D. 5
2.某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有 7 张抽奖券，其中 3 张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随
机抽出 2 张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为( )
A. 2 3 5 53 B. 4 C. 7 D. 9
3.设 ， 是一个随机试验中的两个事件， ( ) = 0.2， ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5
4.已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么| + 3 | = ( )
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4
5.向量 = (2 , 1,3)， = (1, 2 , 9)，若 // ，则( )
A. = 16， =
2
3 B. =
1 3
6， = 2
C. = 1 12， = 2 D. = = 1
6.在空间直角坐标系中，向量 = (2, 1, )， = ( 4,2,4)，下列结论正确的是( )
A.若 // ，则 = 2
B.若 ⊥ 5，则 = 2
C.若 , 5为钝角，则 < 2
D.若 1在 上的投影向量为 6 ，则 = 4
7.如图在三棱柱 1 1 1中， 是面 1 1 的中心，且 1 = ， = ， = ，则 1 =( )
A. 12 +
1 1
2 + 2
B. 12
1 + 12 2
C. 1 + 1 12 2 2
D. 12 +
1
2
+ 12
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8.如图所示，在长方体 1 1 1 1，若 = ， ， 分别是 1， 1的中点，则下列结论中不成
立的是( )
A. 与 1垂直
B. ⊥平面 1 1
C. 与 1 所成的角为 45°
D. //平面 1 1 1 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2, 1)， = ( 3,2)， = (1,1)，则( )
A. // B. ( + ) ⊥ C. + = D. = 5 + 3
10 3 2.某社团开展“建党 100 周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为4，3，
两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 1 7两人均获得满分的概率2 B.两人至少一人获得满分的概率12
C. 1 1两人恰好只有甲获得满分的概率4 D.两人至多一人获得满分的概率2
11.如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1， 1 的中点，则下列结论
正确的是( )
A.直线 与 是平行直线
B.直线 与 所成的角为 60°
C.直线 与平面 所成的角为 45°
D. 9平面 截正方体所得的截面面积为2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 (0,2,3)， ( 2,1,6)， (1, 1,5)，则平面 的法向量的坐标为______．
13.已知空间向量 = (1,1,2)， = (2,3,2)，则向量 在向量 上投影向量的坐标是______．
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14.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数
字记为 ，其中 ， ∈ {1,2,3,4,5,6}，若| | ≤ 1，就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，
则他们“心有灵犀”的概率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为 0.6，0.8，0.9，而且这 3 人之间的测试互不影响．
(Ⅰ)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(Ⅱ)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
(Ⅲ)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
16.(本小题 15 分)
如图所示，在长方体 1 1 1 1中， = 1， = 1 = 2， 、 分别是 、 1 的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求证： ⊥平面 1 1 .
17.(本小题 15 分)
如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 = 4， ， 分别为 1， 1的中点．
(1)证明； 1 //平面 ．
(2)求 1 与平面 所成角的正弦值．
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18.(本小题 17 分)
科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的 .小明、小华两位同学报名参加某公司拟开
展的 培训，培训前需要面试，面试时共有 3 道题目，答对 2 道题则通过面试(前 2 道题都答对或
3
都答错，第 3 道题均不需要回答).已知小明答对每道题目的概率均为4，小华答对每道题目的概率依次为
2 2
3 , 3 ,
1
2，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立.记“小明只回答 2 道题就结束面试”为事件 ，记“小
华 3 道题都回答且通过面试”为事件 ．
(1)求事件 发生的概率 ( )；
(2)求事件 和事件 同时发生的概率 ( )；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
19.(本小题 17 分)
在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ⊥ ， = ， 为 的中点，二面角
为直二面角．
(Ⅰ)求证： ⊥ ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,1,1)
13.( 18 27 1817 , 17 , 17 )
14.49
15.解：设事件 =“甲通过测试”，事件 =“乙通过测试”，事件 =“丙通过测试”，
(Ⅰ) ∵ 3 人之间的测试互不影响，相互独立，
∴ ( ) = ( ) ( ) ( ) = 0.6 × 0.8 × 0.9 = 0.432；

(Ⅱ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = (1 0.6) × 0.8 × 0.9 = 0.288；

(Ⅲ)设事件 =“甲、乙、丙至少有一人通过”，则 =“甲、乙、丙三人都没通过”，

( ) = 1 ( ) = 1 (0.4 × 0.2 × 0.1) = 0.992．
16.证明：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
∵在长方体 1 1 1 1中， = 1， = 1 = 2， 、 分别
是 、 1 的中点，
则 1(1,0,2)， 1(1,2,2)， (0,1,1)， (1,1,0)，
(1) = (1,0, 1)，
∵平面 1 1的一个法向量 = (0,1,0)，
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∴ = 0，
∵ 平面 1 1，∴ //平面 1 1．
(2) 1 1 = (0,2,0)， 1 = ( 1,1, 1)，
∴ 1 1 = 0， 1 = 0，
∴ ⊥ 1 1， ⊥ 1 ，
∵ 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1、 1 平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 .
17.解：(1)证明：在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 = 4， ， 分别为 1， 1的中点，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 1所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 1(0,0,4)， (2,2,2)， (2,2,0)， (0,2,0)， (2,0,2)，
1 = (2,2, 2)， = (2,0,0)， = (0, 2,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则 ，取 = 1，得 = (0,1,1)， = 2 + 2 = 0
∵ 1 = 0， 1 平面 ，
∴ 1 //平面 ．
(2) 1 = (2,0, 2)，
设 1 与平面 所成角为 ，
则 1 与平面 所成角的正弦值为：

= | 1 | 2 1
| 1
= = ．
| | | 8 2 2
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18.
19.解：(Ⅰ)证明：∵ = ， 为 中点，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ = 2， ⊥ ， = ，∴ = 1．
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， ( 1,0,0)， ( 1,2,0)， (0,0,1)， (1,2,0)，
= ( 1,2, 1)， = (1,0, 1)，
∵ = 0，∴ ⊥ ．
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(Ⅱ)设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + = 0
则 ，取 = 1，得 = (0,1,2)，
= 2 = 0
设直线 与平面 所成角为 ，
= ( 1,0, 1)，

∴ = |cos < , > | = | | = | 2| = 10，
| | | | 5 2 5
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 10；
5
(Ⅲ)设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= (0,0,1)， = ( 1,2,0)，
则 = = 0

，取 = 1，得 = (2,1,0)，
= + 2 = 0
设平面 与平面 夹角为 ，
则 = | | 1 1| | | | = 5 5 = 5，
∴平面 与平面 1夹角的余弦值为5．
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