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滨城高中2025-2026学年度上学期9月月考
高二数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大
2．在直三棱柱中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ）
B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离是
10．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
11．已知正方体中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则点到直线的距离为
C．若平面，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则 ．
13．在正方体中，，动点满足．当时， ；当时，的取值范围是 ．
14．如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则 ．

四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体中，，．设，，．

(1)用基底表示向量；
(2)求异面直线与所成的夹角；
(3)证明：平面．
16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．

(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值．
17．（本小题满分15分）
如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）．
(1)若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明；
(2)将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值；
(3)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且
(1)求证∶ 面;
(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
19．（本小题满分17分）
如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？
《2025-2026学年度上学期9月月考》高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C B C B BD ABD
题号 11
答案 ABC
12．
13． 0
14．24
15.（1）已知，，，
∴；
（2）∵，
∴
∵
，∴，
∴异面直线与所成的夹角为；
（3），
和（2）同理可得，即，
∵，，平面，，
∴平面．
16.（1）如图所示，取的中点，连接，

因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以，
又为等边三角形，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以．
（2）设四棱锥的高为，
由题设，得，则，
由题设知，所以底面，
因为底面，所以，
故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，所以；
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，所以，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，所以，
即平面与平面的夹角正弦值为．
17.（1）连接，，所以是等边三角形，
取中点，则，因为，所以，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，
因为平面，所以，又，
且平面，所以平面.
（2）点与平面内任意一点的连线中，长度最小值是点到平面的距离.
由（1）所建坐标系可得：.
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
所以点到平面的距离，
即这些线段长度的最小值是3.
（3）设存在点满足条件，设，则
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设二面角的大小为，则由图可知为锐角，
所以，解得或（舍）
所以在线段上存在点在靠近的三等分点处，使得二面角的余弦值为.
18.（1）（1）法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵，平面，∴平面；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，令，则，
所以是平面的一个法向量，
易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为；
（3）因为，所以，
又是平面的一个法向量，
则D到平面的距离为.
所以点D到平面EBF的距离为.
19.（1）取的中点，连结，，因为，所以，
在中，，所以，
在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）连结，，，
，所以，
且，由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，，所以两两垂直，
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则，
所以点到平面的距离.
（3）设，由在平面内可知，
即，
所以，即，所以，
因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，
即，解得，故，
而，可知点不在内.

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