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2024-2025 学年湖南省邵阳市邵东四中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.根据身高和体重散点图，下列说法正确的是( )
A.身高越高，体重越重 B.身高越高，体重越轻
C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关
2.( 1 103 ) 的展开式中含 的正整数指数幂的项数是( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
3.在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从 5 名国内记者与 4 名国外记者中选出 3 名记
者进行提问，要求 3 人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有( )
A. 180 种 B. 220 种 C. 260 种 D. 320 种
4.在 1 + (1 + ) + (1 + )2 + (1 + )3 + (1 + )4 + (1 + )5 + (1 + )6的展开式中，含 3项的系数是( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
5.已知随机事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = 0.5， ( ) = 0.4，则下列说法正确的是( )
A.若 ( ) = 0.9，则 ， 相互独立 B.若 ， 相互独立，则 ( | ) = 0.6
C.若 ( | ) = 0.5，则 ( ) = 0.25 D.若 ，则 ( | ) = 0.8
6.10 =1 ( 1 +
) 的展开式中 项的系数为( )
A. 1 B. 10 C. 11 D. 55
7.某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费
维权投诉.平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助.据统计，在进行维权的消费者中，选择电话
1 3 4 9
投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为2和10，且对应维权成功的概率分别为5，10，选择其他方式维权
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13
且成功的概率为100，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为( )
A. 625 B.
27 2 4
80 C. 5 D. 5
8.已知一批产品中有 90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 0.05，一个次品
被误判为合格品的概率为 0.01.任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为( )
A. 0.855 B. 0.856 C. 0.86 D. 0.865
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0，且 [ 2 + 1 + ln( )] > 1 + 2，则 ， 的值不可能是( )
A. = 2
= 25 = 3
= 31 B. 5 C.
4 = 1
= = 5
D. = 2
4 4
10.在二项式( 1 )62 的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 15常数项是 4 B.各项的系数和是 64
C.第 4 项二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为 32
11.甲口袋中有 3 个红球，2 个白球和 5 个黑球，乙口袋中有 3 个红球，3 个白球和 4 个黑球，先从甲口袋
中随机取出一球放入乙口袋，分别以 1， 2和 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从
乙口袋中随机取出一球，以 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. 1， 2， 3是两两互斥的事件 B.事件 1与事件 相互独立
C. ( | 2) =
3
11 D. ( ) =
2
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某公司生产的糖果每包标识质量是 500 ，但公司承认实际质量存在误差.已知糖果的实际质量 服从 =
500 的正态分布.若随意买一包糖果，假设质量误差超过 5 克的可能性为 ，则 (495 ≤ ≤ 500)的值为
______. (用含 的代数式表达)
13 2.( )6 3 的展开式中，含
2项的系数是______. (用数字作答)
14 ( 1.在 + )11 的展开式中，
8的系数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图
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中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉类为主)．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯．
(2)根据以上数据完成如下 2 × 2 列联表：
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
50 岁以下
50 岁及以上
总计
(3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
附表：
( 2 ≥ ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( 2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + . )
16.(本小题 15 分)
由 0，1，2，3，4 这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有多少个？
17.(本小题 15 分)
网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计其周平均网购的次
数，并整理得到如下的频数分布直方图．这 100 名市民中，年龄不超过 40 岁有 65 人，将所抽样本中周平
均网购次数不小于 4 次的市民称为网购迷，且已知其中有 5 名市民的年龄超过 40 岁．
(1)根据已知条件完成下面的 2 × 2 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为网购迷与年龄不
超过 40 岁有关？
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网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过 40 岁
年龄超过 40 岁
合计
(2)若将所抽取样本中周平均网购次数为 6 次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有 2 名年龄超过
40 岁，若从超级网购迷中任意挑选 2 名，求至少有一名市民年龄超过 40 岁的概率．
( ( )
2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + ) )
( 2 ≥ 0) 0.15 0.10 0.05 0.01
0 2.072 2.706 3.841 6.635
18.(本小题 17 分)
近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本
(单位：元)与当天揽收的快递件数 (单位：千件)之间的关系，对该网点近 5 天的每日揽件量 (单位：千
件)与当日收发一件快递的平均成本 (单位：元)( = 1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散
点图及一些统计量的值．
5 5
5 5
( (
( 2 ) ( )2 =1 =1
)( ) )( ) =1 =1
4 5.16 0.415 13.2 2.028 30 0.507
1 1
表中 =
5
， = 5 =1
．
(1) 根据散点图判断， = + 与 = + 哪一个适宜作为 关于 的回归方程类型？并根据判断结果及表
中数据求出 关于 的回归方程；
(2)各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量、提高时效保障外，价格优惠也是
重要策略之一，已知该网点每天揽收快递的件数 (单位：千件)与单件快递的平均价格 (单位：元)之间的关
系是 = 25 2 (5 ≤ ≤ 12)，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据(1)中建立的
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回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽收 2000 件快递可获得的总利润；
②单件快递的平均价格 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？


附：对于一组数据( 1, 1)，( 2, 2)，…，( , )，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计分

别为 = =1 ( )( ) 2 ， = ． =1 ( )
19.(本小题 17 分)
某市为了了解高二学生物理学习情况，在 34 所高中里选出 5 所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，
将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
(1)将 34 所高中随机编号为 01，02，…，34，用下面的随机数表选取 5 组数抽取参加考试的五所学校，选
取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 4 所
学校的编号是多少？
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
(2)求频率分布直方图中 的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上，(含 80 分)的人
数记为 ，求 的分布列及数学期望．(注：频率可以视为相应的概率)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 2
13. 12
14. 495
15.解：(1)由茎叶图可知：30 位亲属中 50 岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50 岁以下的人饮食以肉类为主；
(2)2 × 2 列联表如下所示：
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
50 岁以下 4 8 12
50 岁及以上 16 2 18
总计 20 10 30
2
(3)由题意，知随机变量 2 = 30×(4×2 16×8)的观测值 12×18×20×10 = 10 > 6.635，
故有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
16.解：(1)先排数字 0，除最高位置外，有 14种排法，
再排剩下四个数字有 44种，能组成多少个无重复数字的五位数 1 44 4 = 4 × 24 = 96 个；
(2)当个位数字为 2 或 4 时，则可以组成 12 13 33 = 36 个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为 0 时，则可以组成 44 = 24 个无重复数字的五位偶数，
即可以组成 24 + 36 = 60 个无重复数字的五位偶数；
(3)计算比 21034 大的五位数的个数分两类：
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万位比 2 大的五位数个数是 12 44，
万位是 2 的五位数中，千位比 1 大的有 2 32 3个，千位是 1，百位比 0 大的有 2 22 2个，千位是 1，百位是 0，
十位比 3 大的有 1 个，
由分类加法计数原理得 12 44 + 22 33 + 2 22 2 + 1 = 65，
所以组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有 65 个．
17.解：(1)由题意可得列联表如下：
网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过 40 岁 20 45 65
年龄超过 40 岁 5 30 35
合计 25 75 100
100×(20×30 45×5)2
根据列联表中的数据可得， 2 = 65×35×25×75 ≈ 3.297 > 2.706，
∴可以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为网购迷与年龄不超过 40 岁有关．
(2)由图可知，超级网购迷共有 4 名，
记其中年龄超过 40 岁的 2 名市民为 、 ，其余 2 名市民记为 、 ，
现从 4 人中任取 2 人，有 、 、 、 、 、 ，共 6 种，
至少有 1 名市民年龄超过 40 岁的有 、 、 、 、 ，共 5 种，
故所求的概率为 = 56．
18. 解：(1)由散点图可知， = + 适宜作为 关于 的回归方程类型，
1
令 = ，则 = + ，

因为 = 2.0280.507 = 4，所以 = = 5.16 4 × 0.415 = 3.5，

所以 = 4 + 3.5 4，即所求的回归方程为 = + 3.5；
(2) 25 4设收发 千件快递获利 千元，则 = ( ) = ( 2 3.5) = 9
1 2
2 4， ∈ [1,15]，
①当 = 2 时， = 12，故该网点某天揽收 2000 件快递可获得的总利润约为 12000 元；
②因为 = 12
2 + 9 4 = 1 2 732 ( 9) + 2，
所以当 = 9，即 = 8 时， 取得最大值，
故单件快递的平均价格 为 8 元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大．
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19.解：(1)将 34 所高中随机编号为 01，02，…，34，
用题中所给随机数表选取 5 组数抽取参加考试的五所学校，选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7
列数字开始，
由左到右依次选取两个数字，则选出来的五所学校依次为：21，32，09，16，17．
∴第 4 所学校的编号是 16．
(2)由频率分布直方图的性质得：
2 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20 ，20 × 10 = 1，
解得 = 0.005，
估计全市学生参加物理考试的平均成绩为：
0.1 × 55 + 0.15 × 65 + 0.35 × 75 + 03 × 85 + 0.1 × 95 = 76.5
(3) 2从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为5
可能的取值是 0，1，2，3
( = 0) = 0( 2 )0( 3 )33 5 5 =
27
125，
( = 1) = 13(
2 )1( 3 2 545 5 ) = 125，
( = 2) = 2 2 2 3 1 363( 5 ) ( 5 ) = 125，
( = 3) = 3 2 3 3 0 83( 5 ) ( 5 ) = 125，
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
所以 ( ) = 0 × 27 + 1 × 54 + 2 × 36 + 3 × 8 6125 125 125 125 = 5 (或 ～ (3,
2
5 )，所以 ( ) = = 3 ×
2 = 65 5 ).
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