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2024-2025 学年西藏昌都第一高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | = 4 3, ∈ }， = { |( + 3)( 7) ≤ 0}，若 ∩ = ，则集合 中的元素有( )个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.复数 满足 (5 + 12 ) = 13 ，则 的虚部为( )
A. 12 B. 5 13 13 C.
12
13 D.
5
13
3.已知随机变量 ～ (2, 2)，且 ( > 3) = 0.2，则 (1 < ≤ 3) =( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
4.某班有 ， ， ， ， 五名同学要排成一排进行拍照，其中 同学不站在两端， ， 两名同学相邻，则
不同的排列方式种数为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5 1.若( + )
展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( )
A. 20 B. 90 C. 40 D. 120
6.从 1，2，3，4，5，6 中任取 2 个不同的数，事件 =“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 =“取到两
个数均为奇数”，则 ( | ) =( )
A. 18 B.
1 2 1
4 C. 5 D. 2
7.某项羽毛球单打比赛规则是 3 局 2 胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的
2
概率为3，则由此估计甲获得冠军的概率为( )
A. 2 B. 4 C. 16 203 9 27 D. 27
8.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为 0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率
为 0.5，在长沙去徒步爬山的概率为 0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为( )
A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知( + 2 ) ( ∈
)的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 10 B.当 取最小值时，展开式的二项式系数的和为 32
C.当 = 10 时，展开式中的常数项为 45 D.当 = 10 时，展开式中没有 2项
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10.下列关于随机变量 的说法正确的是( )
A.若 服从正态分布 (1,2)，则 (2 + 2) = 4
B. 服从两点分布，且 ( = 1) = 0.4，设 = 2 1，那么 ( = 1) = 0.6
C. 4若 服从超几何分布 (4,2,10)，则期望 ( ) = 5
D. 1 8若 服从二项分布 (4, 3 )，则 ( = 3) = 81
11.下列的叙述正确的有( )
A.关于一元线性回归，若相关系数 = 0.98，则 与 的相关程度很强
B.关于一元线性回归，若决定系数 2越大，模型的拟合效果越差
C.关于独立性检验，随机变量 2的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D.关于独立性检验，若 2的观测值满足 2 < 6.635，依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，认为“两个分
类变量无关”(参考数据： ( 2 ≥ 6.635) = 0.01)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 3 2 ) 的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第 4 项，则展开式中
6的系数
为______．
13.现有 6 根小棒，其长度分别为 1，2，3，4，5，6，从这 6 根小棒中随机抽出 3 根，则抽出的 3 根小棒
首尾链接(不能折断小棒)，能构成三角形的概率是______．
14.在某次学校的游园活动中，高二(6)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了 5 个红球和 5 个白球，
这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出 5 个球，摸到 4 个或 4 个以上红球即为中奖，则中奖的
概率是______. (精确到 0.001)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，
其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(Ⅰ)求直方图中 的值；
(Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以
申请住宿；
(Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生，这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 ，求 的分布列
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和数学期望．(以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的
概率)
16.(本小题 15 分)
工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体
系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、
精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.如表是某地 2017 2021 年新增企业数量的有关数据：
年份(年) 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码( ) 1 2 3 4 5
新增企业数量( ) 8 17 29 24 42
(1)求 和 的相关系数 (精确到 0.01)，并推断 和 的线性相关程度(若| | ≥ 0.75，则线性相关程度很强；若
0.30 ≤ | | < 0.75，则线性相关程度一般)；
(2)请根据表中所给的数据，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2025 年此地新增企业的数量．
( )( )
参考公式：相关系数 = =1
2
，经验回归方程 = + ，其中
=1 ( ) 2 =1 ( )


= =1 ( )( )


, = ．
=1 ( )2
参考数据： 1635 ≈ 40.4．
17.(本小题 15 分)
为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取 60 人，从文史类乙班抽取 50 人参加环保知
识测试
(1)根据题目条件完成下面 2 × 2 列联表，并据此判断你是否有 99%的把握认为环保知识与专业有关
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班 30
总计 60
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(2)为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分 100 分，优秀的同学得 60 分以上
1
通过预选，非优秀的同学得 80 分以上通过预选，若每位同学得 60 分以上的概率为2，得 80 分以上的概率
1
为3，现已知甲班有 3 人参加预选赛，其中 1 人为优秀学生，若随机变量 表示甲班通过预选的人数，求
( )2
的分布列及期望 ( ).附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + +
( 2 > 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln(1 + ) ，其中 > 0．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间；
(3)当 > 1 时，设 ( ) 2的两个零点为 1， 2，求证： 1 + 2 > 2 ．
19.(本小题 17 分)
是杭州一家人工智能技术研究公司推出的 助手.它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态
数据融合与学习.某科技公司在使用 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，
它回答正确的概率为 0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为 0.19.假设每次输入的问题出现语法错
误的概率为 0.1，且每次输入问题， 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战 ，
小张和 各自从给定的 10 个问题中随机抽取 8 个作答.已知在这 10 个问题中，小张能正确作答 8
个问题，答错 2 个问题．
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被 回答正确的概率；
(3)设小张和 答对的题数分别为 和 ，求 的分布列，并比较 与 的期望大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 160
13. 720
14.0.103
15.解：(Ⅰ)由直方图可得：20 × + 0.025 × 20 + 0.0065 × 20 + 0.003 × 2 × 20 = 1．
所以 = 0.0125．
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为：0.003 × 2 × 20 = 0.12，
因为 600 × 0.12 = 72，
所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿．
(Ⅲ) 的可能取值为 0，1，2，3，4．
1
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为4，
( = 0) = ( 34 )
4 = 81256，
( = 1) = 14(
1 3 3 27
4 )( 4 ) = 64，
( = 2) = 2 1 2 3 2 274( 4 ) ( 4 ) = 128，
( = 3) = 3( 1 3 3 34 4 ) ( 4 ) = 64，
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( = 4) = ( 14 )
4 = 1256．
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
256 64 128 64 256
= 0 × 81256 + 1 ×
27 + 2 × 27 3 164 128 + 3 × 64 + 4 × 256 = 1. (或 = 4 ×
1
4 = 1)
所以 的数学期望为 1．
16. (1) = 1+2+3+4+5 = 3, = 8+17+29+24+425 5 = 24，
5

( )( ) = ( 2) × ( 16) + ( 1) × ( 7) + 0 × 5 + 1 × 0 + 2 × 18 = 75
=1
5
2
=1 ( ) = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10，
5

( )2 = ( 16)2 + ( 7)2 + 52 + 0 + 182 = 654
=1
5 ( )(
可得相关系数 = =1
)
=
75 75
5 ( )2 5 ( )2 10×654
= 2 1635 ≈ 0.93 > 0.75，
=1 =1
∴变量 和 的线性相关程度很强．

(2)由(1)知，5 ( )( ) = 75,5

=1 =1 ( )
2
= 10，
5 ( )( )
∴ = =1 = 7.5，
5 =1 ( )2

样本中心点( , )在回归方程上，则 = = 1.5，

∴ = 7.5 + 1.5；

预测 2025 年，即当 = 9 时，由经验回归方程可得 = 69，
∴估计 2025 年此地新增企业的数量约为 69 家．
17.解(1)2 × 2 列联表如下
优秀 非优秀 总计
甲班 40 20 60
乙班 20 30 50
总计 60 50 110
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2 = 110×(40×30 20×20)
2
60×50×60×50 ≈ 7.8 > 6.635，
所以有 99%的把握认为环保知识与专业有关 (4 分)
(2)不妨设 3 名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件 ， ， 分别表示小王，小张，小李通过预
1 1
选，则 ( ) = 2， ( ) = ( ) = 3 (5 分)
随机变量 的取值为 0，1，2，3 (6 分)
所以 ( = 0) = ( ) = 12 ×
2
3 ×
2
3 =
2
9，
( = 1) = ( + + ) = 12 ×
2
3 ×
2
3 +
1 × 22 3 ×
1
3 +
1 × 22 3 ×
1 4
3 = 9，
( = 2) = ( + + ) = 1 2 1 1 2 1 1 1 1 52 × 3 × 3 + 2 × 3 × 3 + 2 × 3 × 3 = 18，
( = 3) = ( ) = 1 × 12 3 ×
1 = 13 18 (10 分)
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
2 4 5 1
9 9 18 18
( ) = 0 × 2+ 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 1 = 79 9 18 18 6 (12 分)
18.解：(1)已知函数 ( ) = ln(1 + ) ，
当 = 2 时， ( ) = ln(1 + 2 ) ，
则 2′( ) = 1+2 1，即 ′(0) = 1， (0) = 0，
故当 = 2 时，曲线 = ( )在(0, (0))处的切线方程为 = ．
(2)由 ( ) = ln(1 + ) ， > 0，
( ) = 1 = + 1 ( > 1则 ′ 1+ 1+ )，
令 ′( ) > 0，则 1 < < 1
1
；
令 ′( ) < 0，则 > 1 1 ，
故 ( ) 1 1 1的单调递增区间为( , 1 )，单调递减区间为(1 , + ∞)．
(3)当 > 1 时，1 1 > 0，
1
由(2)知 ( )在( , 1
1
]
1
上单调递增，在(1 , + ∞)上单调递减，
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又 (0) = 0， = 0 是 ( )的一个较小的零点，不妨设 1 = 0，
+ > 2 2 2要证 1 2 ，只需证 2 > 2 ，
1 1 1
因为 2(1 ) > 1 ，且 ( )在(1 , + ∞)上单调递减，
2
从而只需证 (2 ) > ( 2) = 0 即可．
(2 2 ) = ln[1 + (2
2
)] 2 +
2 2
= ln(2 1) 2 + ，
令 ( ) = ln(2 1) 2 + 2 ( > 1)，
2
′( ) = 2( 1)(2 1) 2 > 0, ( )在(1, + ∞)上单调递增．
( ) > (1) = 0，即证 (2 2 ) > 0
2
，即证 1 + 2 > 2 ．
19.解：(1)设小张答对的题数为 ，
8 1
则 ( = 8) = 8 = ;
810 45
(2)设事件 表示“输入的问题没有语法错误”，事件 表示“一个问题能被 正确回答”，
由题意知 ( ) = 0.1， ( | ) = 0.99， ( | ) = 0.19，
则 ( ) = 1 ( ) = 0.9，
( ) = ( ) + ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.99 × 0.9 + 0.19 × 0.1 = 0.91;
(3)已知小张答对的题数为 ，则 的可能取值是 6，7，8，
6 2
则 ( = 6) = 8 2 = 28，
810 45
7 1
( = 7) = 8 2 = 16
810 45
，
8
( = 8) = 8 = 1，
810 45
所以 ( ) = 6 × 2845 + 7 ×
16
45 + 8 ×
1 32
45 = 5 = 6.4，
已知 答对的题数为 ，则 ∽ (8,0.91)，
故 E( ) = 8 × 0.91 = 7.28，
所以 ( ) < ( ).
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