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广东省衡水金卷 2026 届高三年级 9 月份联考数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1 10 .在复平面内，3 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若函数 ( ) = ( 2 + )cos 1 的图象关于 轴对称，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 0
3.已知一个底面半径为 1 的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的 4 倍，则该圆锥的母线长为( )
A. 4 B. 1 C. 2 D. 6
4.已知向量 = (2, 5)， = (1,2)，且 2 与 + 垂直，则 =( )
A. 3 B. 11 C. 224 7 7 D.
3
2
5 = 2 .设正数 ， ， ， 满足 为 与 的等差中项， 为 与 的等比中项，若 ，则 =( )
A. 4.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
2
6.(3 + 6 4 2 2 )( ) 的展开式中， 的系数为( )
A. 60 B. 30 C. 45 D. 15
7.已知第二象限角 满足 cos + 2cos( + 3 )sin( + 3 4 4 ) = 0，则 sin =( )
A. 54 B.
6 1 3
3 C. 2 D. 2
8.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，且 (2 ≤ < 6) = 0.4，则 ( < 2|| | > 2) =( )
A. 15 B.
1
3 C.
1
6 D.
1
4
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9 1.已知集合 = {2, , }， = {1, , }，则( )
A. 1当 = = 2时，集合 ∩ 含有 2 个元素
B.集合 ∪ 中的元素个数可能为 5
C.当 ∩ = 时， ≠ 2
D.当 = 0 时， ≠
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2
10 .记 21， 2分别为双曲线 : 3 = 1 的左、右焦点，以 1为圆心，以 的焦距为半径的圆 与 的右支交
于 ， 两点，则( )
A. 的渐近线方程为 =± 3 B. : 2 + 2 + 4 10 = 0
C. | | = 15 D. cos∠ 1 =
17
32
11.已知函数 ( ) = tan( + )( > 0,0 < < 2 )，点( 12 , 0)和( 6 , 0)是曲线 = ( )相邻的两个对称中
心，记 ′( )为 ( )的导数，则( )
A. ( ) = tan(2 + 6 )
B. ′(0) = 43
C.在区间( , )上有 4 条平行于 轴且被曲线 = ( )无限逼近的直线
D.直线 = 6 3是曲线 = ( )的一条切线
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.设椭圆 的焦距为 2，短轴长为 2 3，则 的长半轴长为 ，离心率为 ．
13.函数 ( ) = 2 + 2 4 的极小值为 ．
14 2 .在△ 中，记内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 + = 4， = 3， 为边 上的一点，且
∠ 1 1是 的平分线，则 = ， + 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在平面直角坐标系 中，设 (1,0)为抛物线 : 2 = 的焦点， ， ， 为 上三点，且 为△ 的垂
心．
(1)若点 的纵坐标为 2 2，求直线 的斜率;
(2)若 为坐标原点，求△ 的面积．
16.射频芯片在无线通信技术中起着至关重要的作用，其性能的好坏直接影响到通信的稳定性和效率.现从型
号为 1280 与 220 的两款射频芯片中各抽取 50 枚芯片，每 10 枚芯片为一组，得到它们的频率参数
表：
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1 组 2 组 3 组 4 组 5 组
1280 24.2 24.3 24.1 24.0 24.4
220 24.1 24.2 24.5 24.1 24.1
记型号为 1280 的射频芯片所得平均频率为 1，方差为 21;型号为 220 的射频芯片所得平均频率为 2，
方差为 22．
(1)记 = | 1 2|．
2 21+ 2
(ⅰ)求 ， 21 1;
(ⅱ)已知：若 < 0.1，则称这两款射频芯片的电气参数相近.判断这两款射频芯片的电气参数是否相近，并证
明．
(2)现从这 10 组射频芯片中抽取 4 组进行频率检测，求至少有 3 组的平均频率不低于 2.42 的概率．
17.如图，四棱锥 中， ⊥ ， = = 2， = 4， = ， // ．
(1)证明： ⊥ ;
(2)若平面 ⊥平面 ，且四棱锥 的高为 2 3，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.已知函数 ( ) = ln2 ln + ．
(1)若 = 0，求 ( )的零点;
(2)若 > 0，讨论 ( )的单调性;
(3)若 ∈ (0,1)，证明： ( ) < 1．
19.已知等差数列{ }与等比数列{ }满足 1 = 1， 1 = 2，( + +1)( + +1) = (6 + 3) 2 ．
(1)求{ }，{ }的通项公式;
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, 为奇数,(2)记 = 为数列{ +1}的前 项和．
, 为偶数,
(ⅰ)求 ;
(ⅱ) 若当 = 时，以 +2 ， +1， 2 为三边无法构成一个三角形，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 1； 2
13.3
14.4 2 3； 3
15.解：(1)由题意可得抛物线 : 2 = 4 ，
令 = 2 2易得 (2,2 2)，故直线 的斜率为 2 2，
由于 (1,0)为垂心，故 BC⊥ ，
1 2
故直线 的斜率为 2 2 = 4 ．
(2)易得此时 ⊥ 轴，
设 ( 2, 2 )，则 ( 2, 2 )，
2 2
则有 1 2 × = 1，
解得 =± 5．
△ 1从而 的面积为 × 22 × |4 | = 10 5．
16.解：(1)( ) 1由题意可得 1 = 5 (24.2 + 24.3 + 24.1 + 24.0 + 24.4) = 24.2，
2 = 11 5 [(24.2 24.2)
2 + (24.3 24.2)2 + (24.1 24.2) 2 + (24.0 24.2)2 + (24.4 24.2)2] = 0.02．
( )易得 2 =
1
5 (24.1 + 24.2 + 24.5 + 24.1 + 24.1) = 24.2，
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此时 1 = 2，故 = 0 < 0.1，
故可推测这两款射频芯片的电气参数相近．
(2)易知共有 5 组的平均频率不低于 2.42 ，
记事件 :共抽到 组的平均频率不低于 2.42 ，
3 1 5
则 ( 5 53) = = ， 410 21
4
( 4) =
5 1
4
=
10 42
，
故 = ( 3) + ( 4) =
11
42．
17.(1)证明：如图 1，取 的中点 ，连接 ， ，
由 = ，且 为中点，得 ⊥ ．
由于 = 12 = = = 2，且 ⊥ ， / / ，
则四边形 为正方形，故 ⊥ ．
因为 ⊥ ， ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
故 ⊥ ．
(2)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，则 为四棱锥 的高，故 = 2 3．
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系如图 2 所示，
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则 ( 2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,2 3)．
故 = (2,2, 2 3), = (0,2, 2 3), = ( 2,0, 2 3)．
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 ⊥ = 0 2 + 2 2 3 = 0则 ，则
1 ，即 1 1 1 ，
1 ⊥ 1 = 0 2 1 2 3 1 = 0
令 1 = 1，得 1 = 0, 1 = 3，故 1 = (0, 3, 1)．
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 ⊥ 2 = 0 2 2 3 = 0则 ，则 ，即 2 2 ，
2 ⊥ 2 = 0 2 2 2 3 2 = 0
令 2 = 1，得 2 = 3, 2 = 3，故 2 = ( 3, 3, 1)．
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 2 7
则 = |cos < 1 21, 2 > | = | || ，1 2|
= 7
即平面 与平面 夹角的余弦值为2 7．
7
18.解：(1) = 0 时， ( ) = ln + = (1 ln )，
令 ( ) = 0 可得 ( )的零点为 ．
(2) ( ) = 2 ln 2 ln 易得 ′ ln 1 + 1 = ln =
(2 )ln
，
若 > 0，令 ′( ) = 0，解得 = 1， = 2 ，
1①若 2 < 1，即 0 < < 2时，
当 ∈ (0,2 ) ∪ (1, + ∞)时， ′( ) < 0；当 ∈ (2 , 1)时， ′( ) > 0，
故 ( )在区间(2 , 1)上单调递增，在区间(0,2 )，(1, + ∞)上单调递减，
②若 2 = 1，即 = 12时， ′( ) ≤ 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
③若 2 > 1，即 > 12时，当 ∈ (0,1) ∪ (2 , + ∞)时， ′( ) < 0；当 ∈ (1,2 )时， ′( ) > 0，
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故 ( )在区间(1,2 )上单调递增，在(0,1)，(2 , + ∞)上单调递减．
(3)要证 ( ) = 3 + < 1 (1 ) < 1 3，
因为 ∈ (0,1)，故 < 1 + + 2，
1+ + 2
故只需证明 > 1，
2+ +1 2 (1 )
设 ( ) = ，则 ′( ) = = ，
2+ +1
所以当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，故 ( ) = 在区间(0,1)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 1，原式得证．
19.解：(1)记{ }公差为 ，{ }公比为 ，
则 = 1 + ( 1) = 1 + ( 1) ， = 1 = 2 1 1 ，
故[2 + (2 1) ](2 1 + 2 ) = (6 + 3) 2 ，即(6 + 3) 2 1 = [2 ( + 1) + ( + 1)(2 )] 1，
= 2 = 2
故 2 ( + 1) = 6 .解得 ．
( + 1)(2 ) = 3 = 1
故 = ， = 2 ．
, 为奇数,
(2)( ) =
2 , 为偶数,
当 为偶数时， = 1 × 22 + 3 × 22 + 3 × 24 + + ( 1) × 2 + ( + 1) × 2 = 2(2 × 22 + 4 × 24 + +

× 2 ) = 4(1 × 41 + 2 × 42 + + 22 × 4 )，

而 4 = 4[1 × 42 + + (

2 1) × 42 +

2+1
2 × 4 ]，

2)
两式相减，可得到 3 = 4[ 2
+1 2 2 +2
2 × 4 (4 + 4 + + 4 )] = 2 2 4
4(1 4 = 2 2 +2 161 4 3 (2

1) = 6 43 × 2
+2 + 163，
6 4
故此时 = 9 2
+2 + 16 = 12 89 9 2
+1 + 169．
= = 6( +1) 4当 为奇数时， +3 +1 +1 +2 9 2 2
+1 ( + 2) + 16 = 15 109 9 2
+1 + 169，
15 10 2 +1 + 169 9 , 为奇数,于是 = 12 8
9 2
+1 + 169 , 为偶数.
( )考虑可以构成三角形的情况．
当 为奇数时，
= 15 10 2 +1 + 16 = 24 +8 2 +1 + 16 ， ， +2 9 9 +1 9 9 2 =
30 +40
9 2
+1 + 89，
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于是 +22 > +1 > ，

故要能够以 +2 ， +1， 2 为三边构成一个三角形，则只需
+2
2 < +1 + 即可．
14 24
则 +1 + +2 +1 2 = ( 3 ) 2 + 9，
14 2
当 ≤ 4 时， 3 ≤ 3，2
+1 ≥ 4，
+2 2 24故此时 +1 + 2 < 3 × 4+ 9 = 0;
当 ≥ 5 时，显然 + +2 +1 2 > 0.故由 为奇数可知此时 的最大值为 3．
当 为偶数时，
12 8 = 9 2
+1 + 16 = 30 +109， +1 9 2
+1 + 16 +2 = 24 +32， +1 89 2 9 2 + 9．
当 = 2 时， 2 = 16， 3 = 64

， 42 = 72，此时显然可构成三角形，
≥ 4 当 时，易知 > +2 +1 2 > ，故只需
+2
+1 < 2 + 即可构成三角形．
+2 + = 6 +14而 2 +1 9 2
+1 + 89 > 0，

故当 为偶数时，以 +2 ， +1， 2 为三边必然构成一个三角形.综上， 的最大值为 3．
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