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百师联盟 2026届高三上学期 9月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |log2 ≤ 1}， = { |5 > 1}，则 ∪ =
A. 15 , 2 B.
1
5 , + ∞ C. (0,2] D. (0, + ∞)
2.若“ < ”是“ 2 4 + 3 < 0”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
A. ( ∞,1] B. ( ∞,1) C. [3, + ∞) D. (3, + ∞)
2
3 .已知函数 ( ) = 1 + ( > 0 且 ≠ 1)是奇函数，则 (2) =
A. 1 B. 3 C. 103 D.
11
3
1 1 1
4.若 = 3210， = ， = 96，则下列说法中正确的是
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.本·福特定律——在大量 10 进制随机数据中，以数 ( ∈ )开头的数出现的概率 ( )满足 1 ( ) =
lg 10 +1，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济
( ) ≤ 23× 25数据、选举数据等大数据的真实性．若 3 =1 2+ ∈
，则实数 的最大值为
225
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2 + 3 + 4, ≤ 1,
6 ( ) = 1.已知函数 1 , > 1 在 2 , + ∞ 上单调递减，则实数 的取值范围是
A. 2 , 1 B. ∞, 2 C. 2 1 13 3 3 3 , 3 D. ∞, 3
7.已知函数 ( )的定义域为 ，其图象关于直线 = 3 对称且 ( + 3) = ( 3)，当 ∈ [0,3]时， ( ) =
2 + 2 11，则下列说法不正确的是
A.函数 ( )为偶函数 B.函数 ( )在[ 6, 3]上单调递增
C.函数 ( )的图象关于直线 = 3 对称 D. (2026) = 7
8 .已知关于 的方程 = | ln |有一个实根，则实数 的取值范围为
A. = 0 > 1或 2 B. 0 ≤ <
1

C. 1 < ≤ 12 D.
1
2 ≤ ≤
1

二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有
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A. ( ) = | | , ≥ 0,与 ( ) = , < 0表示同一个函数
B. 1函数 ( ) = + 2 的定义域是[ 2,0) ∪ (0, + ∞)
C.命题 ：“ ∈ ， + 1 < 0”的否定是 ：“ ， + 1 ≥ 0”
D. ( ) = | 2| 1若 ，则 2 = 0
10.下列说法中正确的有
A.若 > ，则 3 > 3 B.若 > 0，则 + 4 +2有最小值 2
C. < 1 1 2 若 ，则 > D.若 ∈ ，则 2+1有最大值 1
11.已知函数 ( ) = 3 + 22 + 2，则下列说法正确的有
A.当 = 1 时， ( )只有极大值，无极小值
B.若函数 ( )在 = 0 处取到极大值，则实数 的取值范围为( ∞,0)
C.当 = 3 时，函数 ( )在区间( ， + 2)内取到最大值，则实数 的取值范围为( 3, 1)
D.不存在实数 ，使得函数 ( )在区间( 1,1)内既有最大值又有最小值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设函数 ( ) = + 1，若 ( ) > 4，则实数 的取值范围是 ．
13.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≤ 0 时，函数 ( )单调递减，则不等式 1(2 5) >
2
29 的解集为 ．
14.已知直线 = + 与曲线 = 2 + ln 相切，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
= { | 1 ≤ ≤ 3 2 } = 2 +2已知集合 ， +3 ≤ 1 ．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)设 ： ∈ ， ： ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 4 ln + 2 2 1( ∈ ).
(1) 3若 = 4，求函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2
2 2 + ( ∈ )．
(1)当 = 0 时，求函数 ( )的极值；
(2)若 ( )有两个极值点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
+
已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = 2 ．
(1)证明：[ ( )]2 [ ( )]2 = 1；
(2)求不等式 (3 1) + ( 4) < 0 的解集；
(3)若函数 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3 的图象在区间[0, ln 3]上与 轴有 2 个交点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3ln 2 ( ∈ )．
(1)当 > 0 时，求函数 ( )的值域；
(2)若 ( )在[ 116 , + ∞)上只有一个零点，求实数 的取值范围；
(3)设 1， 2是 ( )的两个零点，证明： 1 + 2 + 6 3 > 2 + 6 + 6 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 2, + ∞)
13.( 52 ,
23
9 ) ∪ (7, + ∞)
14.[2 2, + ∞)
15. 2 +2解：(1)已知 = { | +3 ≤ 1}，
2 +2 2 +2
解不等式 +3 ≤ 1，移项得 +3 1 ≤ 0，
2 +2 ( +3)
通分得 +3 ≤ 0
1
，即 +3 ≤ 0，
( 1)( + 3) ≤ 0,
等价于 + 3 ≠ 0.
解得 3 < ≤ 1，所以 = { | 3 < ≤ 1}，
由 ∩ = ，得 ，
因为 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }，
①当 = 时， 1 > 3 2 4，解得 > 3，符合题意；
1 ≤ 3 2 ,
②当 ≠ 时，则 1 > 3, 4解得 1 ≤ ≤ ，
3 2 ≤ 1, 3
综上， ≥ 1，所以实数 的取值范围为[1, + ∞)；
(2)由题意， ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，所以 ，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }，
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由(1)得 = { | 3 < ≤ 1}，
1 ≤ 3,
则 3 2 ≥ 1,解得 ≤ 2，所以实数 的取值范围是( ∞, 2]．
16. (1) 3 3解： 当 = 4时， ( ) = 3ln + 2
2 1， ′( ) = + 4 ，
所以 (1) = 1， ′(1) = 1，
所以函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 1 = 1，即 = 0．
2
(2)由 ( ) = 4 ln + 2 2 1 4 4( + )，得 ′( ) = + 4 = ( > 0)．
若 ≥ 0，则 ′( ) > 0 恒成立，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增;
< 0 ( ) = 4( + )( )若 ，则 ′ ( > 0)，
当 > 时， ′( ) > 0，当 0 < < 时， ′( ) < 0，
则函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
综上，当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增;
当 < 0 时，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
17.解：(1)当 = 0 时， ( ) = ln 2 ( > 0)，
则 ′( ) = ln 1，令 ′( ) = 0，解得 = ．
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减;当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增．
故函数 ( )在 = 处取得极小值，极小值为 ( ) = ln 2 = ，无极大值．
(2)由题意知，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ln 1，
因为 ( )有两个极值点，
所以方程 ′( ) = 0 在(0, + ∞)上有两个不同的根，
即方程 ln 1 = 0 在(0, + ∞)上有两个不同的根，
ln 1
即方程 = 在(0, + ∞)上有两个不同的根
令 ( ) = ln 1 ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) =
2 ln
2 ，解 ′( ) = 0，得 =
2
则当 0 < < 2时， ′( ) > 0，当 > 2时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0, 2)上单调递增，在( 2, + ∞)上单调递减．
所以 ( ) 2 1max = ( ) = 2．
因为 ( ) = 0，当 > 时， ( ) > 0，当 0 < < 时， ( ) < 0，当 →+∞时， ( ) → 0，
所以函数 ( )大致图象如图．
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又 = ( ) = ln 1 在(0, + ∞)上有两个不同的根，
1
所以实数 的取值范围为(0, 2 ).
18. (1) 2 2 = (
+ )2 (
2 2 )2 = + +2
2 + 2 2
解： 证明： 2 2 4 4 = 1．
(2)解：因为 (3 1) + ( 4) < 0，所以 (3 1) < ( 4)．

因为 ( )的定义域为 ， ( ) = 2 =

2 = ( )，
所以函数 ( )是奇函数，所以 (3 1) < (4 )．
又因为函数 = ， = 在 上单调递增，
所以函数 ( )在 上单调递增，
所以 3 1 < 4 ，解得 < 54，
5
所以不等式的解集为{ | < 4 }.
(3)解：因为 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3 的图象在区间[0, ln3]上与 轴有 2 个交点，
所以 ( 2 + 2 ) ( ) 3 = 0 在[0, ln3]上有 2 个实数根，
=
+3
即 2 [0, ln3] 2 + 2 在 上有 个实数根．
令( ) + 3 = ，
因为 = ( ) + 3 在区间[0, ln3]上单调递增，所以 ∈ [3, 173 ]，
2
由 = +3得，1 = 6 +11 11 2 + 2 = + 6．
( ) = + 11令 6， ∈ [3,
17
3 ]，
17
由对勾函数的性质知，函数 ( )在区间[3, 11)上单调递减，在区间( 11, 3 ]上单调递增．
又 (3) = 23， ( 11) = 2 11 6， (
17
3 ) =
82
51，
作函数 ( )大致图象如图，
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当 2 11 6 < 1 ≤
2 11 1
3时，函数 ( ) = + 6 与 = 的图象有两个交点，
即函数 ( )的图象在区间[0, ln3]上与 轴有 2 个交点，
所以3
2 ≤ <
11+3，即实数 的取值范围为[ 3 11+34 2 , 4 ).
19.解：(1)将 = 代入函数 ( ) = 3ln 2 ，得
( ) = 3ln 2 = 3ln
2
( > 0)，
设 ( ) = 3ln 2 ( > 0)，
则 ′( ) = 3 2 2 3 + 2 = 2 ( > 0)，
当 0 < < 23时， ′( ) > 0， ( )单调递增;
> 2当 3时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2 2 2
所以 ( )max = ( 3 ) = 3ln 3 3 = 3(ln 3 + 1) = 3ln
2
3，
即当 ∈ (0, + ∞)时，函数 ( )的值域为( ∞, 3 2 3 ]；
(2) 2由 ( ) = 0，得 3ln = ，
( ) = 3ln 2 ( ) = ( 1)( 2)设 ，则 ′ 2 ，
1
当16 ≤ < 1 或 > 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )在 = 1 处取得极大值，且极大值为 (1) = 1 3ln1 2 = 1，
( )在 = 2 处取得极小值，且极小值为 (2) = 2 3ln2 1 = 1 3ln2 < 1，
( 1 ) = 116 16 3ln
1 511
16 32 = 16 + 12ln2 < 1 3ln2，
当 →+∞时， ( ) →+∞，
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511
所以实数 的取值范围是[ 16 + 12ln2,1 3ln2) ∪ ( 1, + ∞);
(3)证明：因为 1， 2是 ( )的两个零点，
所以 1 3ln
2
1 = ， 2 3ln
2
2
1
= ，
2
则 1 + 2 3(ln 1 + ln 2) (
2 + 2 ) = 2 ，1 2
1+ 即 21 + 2 = 2 + 3ln( 1 2) + 2 × 1
，
2
因为 1 > 0， 2 > 0， 1 ≠ 2，
所以 1 + 2 > 2 1 2，
4 4
所以 1 + 2 > 2 + 3ln( 1 ) + 1 22 = 2 + 3ln( 1 2) + ，1 2 1 2
设 1 2 = ( > 0)， ( ) = 3ln 2 +
4 = 6ln + 4 ，
则 ′( ) = 6
4 6 4
2 = 2 ，
当 0 < < 23时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减;
当 > 23时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
所以函数 ( ) ( 2的最小值为 3 ) = 6ln2 6ln3 + 6，
+ 4所以 1 2 > 2 + 3ln( 1 2) + ≥ 2 + 6ln2 6ln3 + 6，1 2
即 1 + 2 + 6ln3 > 2 + 6 + 6ln2.
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