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陕西省天一大联考 2026届高三上学期 9月顶尖计划(一)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知幂函数 ( )的图象经过点(4,2)，( , 3)，则 =( )
A. 19 B. 3 C. 6 D. 9
2.命题“ < 0，2 1 < 0”的否定为( )
A. < 0，2 1 > 0 B. < 0，2
1
≥ 0
C. < 0，2 1 1 > 0 D. < 0，2 ≥ 0
3.已知集合 = {1,2,4,8,12}， = { |4 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {1,2,4} C. {4,8} D. {1,2,4,8}
4.若 > > ，且 + + = 0，则( )
A. > 0 B. > C. < 0 D. > 0
5 2.已知函数 ( ) = 3 +1的图象关于原点对称，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6 ( ) = + .已知函数 ( + )2的图象如图所示，则实数 ， ， 中正数的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7 .已知函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，导数为 ′( ) = + 1，若 ( )有两个极值点，则实数 的取值范
围是( )
A. ( 12 , 0) B. (0,
1
2 ) C. ( ∞,
1
4 ) D. (
1
4 , 0)
8 = ln9 = 2ln4 1.已知 3 ， 4 ， = ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2 + 3( ∈ )在区间[1,2]上单调递增，则 的可能取值是( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
10.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 2，则( )
A. 0 < < 1 B. 2 + 4 的最小值为 3
C. 1 1的最大值为2 D. + > 2
11.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 2 ，且 ( ) + ( ) = ( + )，则( )
A. = ( +1)曲线 +1 关于点( 1,0)中心对称
B. ( )在 上单调递增
C. ( ) + 2 ≥ 0
D.函数 ( ) = (2 + 1) (2 + ) 2 1的所有零点之和为2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = { + 5, + 1,0}，若 4 ∈ ，则 = ．
13.已知 ， > 0，当 ∈ (0, + ∞)时，( )( ) ≥ 0 恒成立，则 的最小值为 ．
14.已知函数 ( )， ( )， ′( )的定义域均为 ， ( + 3) + ( 1) = ( + 2) ( 2) = 4，且 ′( )
的图象关于点(2,0)中心对称， (2) = 2，则2025 =1 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { |2 2 3 2 < 0}， = { |3 2 < < + 1}．
(1)若 = 0，求 ∪ ;
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 22 + + ln 的极值点分别为 1 和 2．
(1)求实数 ， 的值;
(2)设函数 ( ) = ( ) 2 + 3 ，求 ( )的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知 > 0， > 0，完成下列各题：
(1)若 > ，比较 2 2 + 2 与 2 + 3 2的大小;
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(2)若 + 3 2 = 0，求 3 + 的最小值;
3(3)若 > ，且 + +
2 + 1 2 ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
( ) = 2
, ≤ 0,
已知函数 1 + log2 , > 0.
(1) 1求不等式 ( ) < 2的解集;
(2)已知直线 = + 1 与曲线 = ( )恰有 2 个不同的交点，求实数 的取值范围;
(3)若关于 的方程 ( ( )) = 有且仅有三个不同的实数根 1， 2， 3，求 1 + 2 + 3的取值范围．
附：(ln2)2 ≈ 0.48．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 ln ( ∈ )．
(1)若 ( )在[1,3]上单调递增，求 的取值范围;
(2)当 > 0 时，证明： ( ) ≥ ln ;
(3)若对任意 ∈ (0, + ∞)，不等式 ( + 1 ) + ln( + 1 ) ≥ ( + 1) 1 ≥ ln ( , ∈ )恒成立，
求证： ≤ 2 + 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.
14.8100
15.解：(1)依题意，得 = { |(2 + 1)( 2) < 0} = { | 12 < < 2}， = { | 2 < < 1}，
故 A∪ = { | 2 < < 2}．
(2) = 3当 时，3 2 ≥ + 1，解得 ≥ 2 ;
+ 1 ≤ 1 , 3 2 ≥ 2,
当 ≠ 时， < 3，此时 22 3 或 3 < 2 ,
< 2 ,
≤ 3 4 3解得 2或3 ≤ < 2．
综上，实数 的取值范围为( ∞, 32 ] ∪ [
4
3 , + ∞).
2
16.解析(1) ( ) = + + = + + 依题意，得 ′ ，
由题意知，1 和 2 是方程 2 + + = 0 的两个根，
1 + 2 = , = 3,
则 1 × 2 = , 解得 = 2,
经检验， = 3， = 2 符合题意．
(2) (1) ( ) = 1由 可知， 2
2 3 + 2ln ，所以 ( ) = 1 22 + 2ln ，则 ′( ) = +
2 = ( 2+ )( 2 ) ， > 0，
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令 ′( ) = 0，可得 = 2，当 0 < < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 > 2时， ′( ) < 0， ( )
单调递减，所以 = 2时， ( )取得最大值，为 ( 2) = ln2 1．
17.解：(1) ∵ > > 0
∴ 2 2 + 2 ( 2 + 3 2) = 2 + 2 3 2 = ( )( + 3 ) > 0，
∴ 2 2 + 2 > 2 + 3 2．
(2) ∵ + 3 2 = 0， > 0， > 0 3 1，则 + = 2，
∴ 3 + = 1 3 1 1 3 3 1 3 3 2 (3 + )( + ) = 2 (10 + + ) ≥ 2 (10 + 2 · ) = 8，
当且仅当 = = 2 时等号成立，
∴ 3 + 的最小值为 8．
3 1 3 1 3 1
(3) + +
2 + 2 22 = + + 2 + 2 = + ( ) + 2
2 +
2
3≥ 2 ( ) + 2 2 + 1 = 4 2 + 1 ≥ 2 4 2 1 2 2 2 = 4，
3
当且仅当 = ( )且 4
2 = 1 2 2，即 = 2， = 2 时等号成立，
故实数 的取值范围为( ∞,4]．
18.解：(1) 1 1当 ≤ 0 时， ( ) < 2 2 < 2 < 1，
当 > 0 时， ( ) < 1 log 1 2 22 2 + 1 < 2 log2 < log2 2 0 < < ．2
综上，所求不等式的解集为( ∞, 1) ∪ (0, 22 ).
(2)作出 = ( )的大致图象如图所示，易知直线 = + 1 过定点(0,1)．
当 ≤ 0 时，直线 = + 1 与曲线 = ( )有 2 个不同的交点;
当 > 0 时，曲线 = 2 在点(0,1)处的切线的斜率为 ln2.
设直线 = + 1 与曲线 = 1 + log2 相切于点( 0, 1 + log2 0)，
log2 0 + 1 = 0 + 1 0 =
则 1 ，解得 = 1 ．
0ln2
= ln2
1 1
由 2 < (ln2) 可知 ln2 < ln2
1
，所以当 ln2 < < ln2 时，
直线 = + 1 与曲线 = 1 + log2 没有交点，
与曲线 = 2 ( ≤ 0)有 2 个交点，符合题意．
1
当 0 < ≤ ln2或 ≥ ln2 时，直线 = + 1 与曲线 = ( )的交点均不是 2 个．
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1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞,0] ∪ ( ln2，ln2)．
(3)由于 ( )在( ∞,0] 1上单调递增，且值域为(0,1]， ( )在(0, + ∞)上单调递增，且值域为 ， ( 2 ) = 0，
(1) = 1，
结合图象可知， ( ( )) = 有三个不同的实数根，当且仅当 ( ) = 有两个不同的实数根 ， ( < )，即 ∈
(0,1]．
此时2 = = log2 ∈ ( ∞,0]，log2 + 1 = = 2 1 ∈ (
1
2 , 1]，
再考虑方程 ( ) = 和 ( ) = ．
由 ( ) = ，得log2 + 1 = ，设 = 2 11 =

2，
由 ( ) = ，得2 = 或log2 + 1 = ，设 2 = log2 = 1， 3 = 2 1．
故 1 + 2 + 3 = 2 + 1 + 2
1 = 2 1 + 3 2 1，
由于 ∈ (0,1]， = 2 1是关于 的增函数，所以 1 + 2 + 3是关于 的增函数，
所以 1 + 2 + 3的取值范围为(
2
2 1,
3
2 ].
1
19.解：(1) ( ) = 1 ln ( ∈ )， ′( ) = 1 = ( > 0)，
令 ′( ) ≥ 0，得 1 ≥ .
设 ( ) = 1，则当 > 0 时， ′( ) = 1 + 1 = ( + 1) 1 > 0，
故 ( )在[1,3]上单调递增， ( )min = (1) = 1，
故 ≤ 1，即实数 的取值范围为( ∞,1]．
(2)证明：由题可知 ( )的定义域为(0, + ∞).由(1)可知 ( ) = 1在(0, + ∞)上单调递增，
又 (0) = 0，当 →+∞时， ( ) →+∞，所以 ( )在(0, + ∞)上的值域为(0, + ∞).
所以，存在唯一的 0 > 0，使得 0 10 = ，
且当 0 < < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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所以 ( )的最小值为 ( 0).
下证 ( 0) ≥ ln ，即证 0 1 ln 0 ≥ ln ，
因为 0 0 1 =

，所以 0 1 = ， 0 1 = ln ln 0，0

所以 ( 0) = 0 1 ln 0 = (ln

0 + 1) = + 0 ln ≥ 2

0 ln = 2 0 0 0
ln = ln ，
当且仅当 0 = 1 时等号成立．
所以 ( ) ≥ ln .
(3)由题可知 ≥ + 1 ≥ ln 在区间(0, + ∞)上恒成立，显然 > 0．
令 ( ) = ln + 1 1 1，则 ′( ) = ，令 ′( ) = 0，可得 = ，
当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) < 0， ( )
1
在区间(0, )上单调递减，
1 1
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0. ( )在区间( , + ∞)上单调递增，
故 ( ) 1min = ( ) = + ln ≥ 0.
令 ( ) = + 1 ( > 0)，则 ′( ) = ．
( )当 ≤ 时， ′( ) > ≥ 0，故 ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
故只需 (0) = + 1 ≥ 0 即 1 ≤ ，则 ≤ ≤ ln ，
故 2 ≤ ln 2 = ( + ln ) ≤ 0，则 ≤ 2．
( )当 > 时，令 ′( ) = 0，得 = + ln ，
当 0 < < + ln 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > + ln 时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
故只需 ( )min = ( + ln ) = ( + ln ) + 1 = 1 ln ≥ 0，则 ≤ 1 ln ，
故 2 ≤ 1 ln 2 ≤ 1，即 ≤ 2 + 1．
综上所述， ≤ 2 + 1．
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