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广东省部分学校 2026届高三上学期 9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { , 2}， = {1,2}，且 ∩ = {1}，则 ∪ =( )
A. {1,2} B. { 1,1,2} C. { 2,1,2} D. { 2, 1,1,2}
2.已知向量 = (2 , 1)， = (1 , )，若 ⊥ ( + 2 )，则 =( )
A. 1 16 B. 4 C.
1
6 D.
1
4
3.已知函数 ( ) = 3 + ，则“ (0) = 0”是“ ( )是奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在△ 中，已知sin2 + 2sin sin = (cos + cos )(cos cos )，则 =( )
A. B. C. 2 4 3 3 D.
3
4
5.一组数据 10，13，17，25，47 的第 80 百分位数为 ，若 6， ， 三个数成等差数列，则 =( )
A. 21 B. 23 C. 31 532 D. 2
6.已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = ，若 ( ) < ( )恒成立，则 的取值范围为( )
A. (0, 3) B. [0, 3) C. [0, 3] D. (0, 3]
7.过抛物线 : 2 = 6 的焦点的直线与该抛物线交于 ， 两点，若线段 的中点的纵坐标为 1，则| | =( )
A. 12 B. 35 C. 203 3 D.
11
3
8.若对任意实数 ，函数 ( ) = sin( + 12 )( > 0)在[ , + 4]上最少有三个不同的零点，则 的最小值为
( )
A. B. 3 4 C.

2 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 的中点， 1 = 2 1， 1 = 2 1，则( )
A. //平面 B. 1//平面
C. 1 ⊥平面 D.平面 1 1 ⊥平面
2 2
10 .已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)经过点 ( , 2 3 )， 为 的右焦点， 为坐标原点，则( )
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A.直线 的斜率为 4 3
B. 的离心率为 5
C. 的两条渐近线的夹角小于3
D.若点 ( , 5 )， 是 左支上一点，则| | + | |的最小值为 2 3 + 2
11.已知函数 ( ) = ln + 2 2 + 1 的导函数为 ′( )，则下列结论正确的是( )
A.若 ′(1) = 0，则 (2) = 1
B.若 = 1，则 ∈ (1, + ∞)， ( 2) > ( )
C.若 < 0，则 0 < 1 < 2 < 3， ( 1) = ( 2) = ( 3) = 0
D. > 1， ∈ 1，22 +
1
32 + +
1 < ln 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 = 3 | 2 .若 ，则 1 | = ．
13.已知( + 1)6 = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + + 6( 1)6

，则 4 = ．0
14.在平面直角坐标系 中，斜率为 2 的直线与圆 2 + 2 = 1 交于 ， 两点，且射线 ， 所对应的象
限角分别为 ， ，则 sin( + ) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ 2 + 1}是等比数列，且 1 = 2， 4 = 34．
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)求数列{ }的前 项和．
16.(本小题 15 分)
1
甲、乙两位同学参加答题活动，已知两人各答 3 道试题，答对每道试题的概率均为3 .假定两位同学的答题
情况互不影响，且每位同学每道试题答对与否相互独立．
(1)记甲同学答对的试题数为 ，求 的分布列与期望;
(2)求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ln .
(1)若 = 1，证明： ≥ 1， ( ) ≥ 1.
(2)若 ( )存在两个极值点，求 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图 1，将一张长方形的纸条用虚线
分成 6 个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图 2 所示的“菱角” ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由．
(3)求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距为 2 3，且与直线 : + = 3 相切.直线 1: = + 与 交于 ，
两点， 为坐标原点， 是 上的点(异于 ， )，直线 ， 的斜率分别为 1， 2．
(1)求 的方程．
(2)若△ 4的面积为3，求 的值．
(3)是否存在定点 ，使得 1 + 2为定值 若存在，求出该定点的坐标;若不存在，说明理由。
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 55
13.1516
14. 45
15.解：(1)由 1 = 2， 4 = 34，得 1 2 + 1 = 1， 4 8+ 1 = 27，
因为{ 2 + 1}是等比数列，
设{ 2 + 1}的公比为 ，
所以 3 = 271 = 27，得 = 3，
则 2 + 1 = 1 × 3 1，
则 = 3 1 + 2 1；
(2)记{ }的前 项和为 ，
则 = 30 + 1 + 31 + 3 + + 3 1 + 2 1
= 30 + 31 + + 3 1 + 1 + 3 + + 2 1
= 3
0(1 3 ) (1+2 1) 3 +2 2 1
1 3 + 2 = 2 ．
16.解：(1)由题可知， 的可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = ( 2 )3 = 8 1 2 43 27， ( = 1) =
1
3 × 3 × (
2
3 ) = 9，
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( = 2) = 2 13 × ( 3 )
2 × 2 = 23 9， ( = 3) = (
1 3 1
3 ) = 27．
的分布列为：
0 1 2 3
8 4 2 1
27 9 9 27
( ) = 0 × 8 + 1 × 4 + 2 × 227 9 9 + 3 ×
1
27 = 1．
(2)记事件 为“甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多”，
甲同学答对的试题数为 ，乙同学答对的试题数为 ，
则 ( ) = ( = 1, = 0) + ( = 2, = 0) + ( = 2, = 1) + ( = 3, = 0) +
( = 3, = 1) + ( = 3, = 2)
= 4 × 8 + 2 × 8 2 4 1 8 1 4 1 2 2429 27 9 27+ 9 × 9 + 27 × 27 + 27 × 9+ 27 × 9 = 729．
17.(1)证明：因为 = 1，所以 ( ) = 2 2 ln ， > 0，则 ′( ) = 2 2ln 2．
令 ( ) = 2 2ln 2， > 0，则 ′( ) = 2 2 2 2 = ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( ) ≥ (1) = 0，即 ′( ) ≥ 0 恒成立，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
故 ≥ 1， ( ) ≥ (1) = 1．
(2)解：由 ( ) = 2 2 ln ， > 0，得 ′( ) = 2 2ln 2．
令 ( ) = 2 2ln 2 > 0 ( ) = 2 2， ，则 ′ ．
当 ≤ 0 时，易得 ′( ) < 0 在(0, + ∞)上恒成立，则 ( ) = ′( )在(0, + ∞)上单调递减，
则 ′( )最多只有一个零点，则 ( )不可能存在两个极值点，不符合题意．
当 > 0 时，由 ′( ) > 0 1，得 ∈ ( , + ∞)，由 ′( ) < 0
1
，得 ∈ (0, )，
1 1 1
则 ( ) = ′( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，从而 ( ) ≥ ( ) = 2ln .
若 ≥ 1，则 ( ) = ′( ) ≥ 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，所以 ( )没有极值点，不符合题意．
1 1 1
若 0 < < 1 1 ，则 < < 2， ′(
) = 2 + 2 2 > 0
1
， ′( ) = 2ln < 0， ′(

2 ) =
2
2 +
4ln 2．
令 ( ) = 1，0 < < 1，则 ′( ) = 1，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( ) > (0) = 0，则 > + 1，
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2
从而 2 + 4ln 2 >
2 +2 2
2 + 4ln 2 = 2 + 4ln .
2 2
令 ( ) = 2 + 4ln ，0 < < 1
2 4 2( 1)
，则 ′( ) = 2 2 + = 2 < 0 恒成立，

所以 ( )在(0,1)上单调递减，则 ( ) > (1) = 0 2，即 2 + 4ln > 0，则 (

′ 2 ) > 0，
1 1 故 1 ∈ ( , )， ′( 1) = 0， ∈ (
1
2 , 2 )， ′( 2) = 0，
则当 ∈ (0, 1) ∪ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0，当 ∈ ( 1, 2)时， ′( ) < 0，
则 ( )在(0, 1)和( 2, + ∞)上单调递增，在( 1, 2)上单调递减，
故 1是 ( )的极大值点， 2是 ( )的极小值点，符合题意．
综上所述， 的取值范围为(0,1)．
18.(1)证明：由题可知， ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， 则 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ .同理可得， ⊥ .
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
(2)解：由题可知，该“菱角”由两个正三棱锥 ， 组成，且 = 2 = 2 ．
根据对称性，可知 ， 在平面 内的投影为△ 的中心 ．
若该“菱角”所有的顶点在同一个球面上，则 为球心，连接 .
不妨令 = 2，则 = 2， = 2 3， 2 2 62sin∠ = 3 = = 3 .
因为 ≠ ，所以该“菱角”所有的顶点不在同一个球面上．
(3)
方法一：
解：由(2)知△ 的中心为 ，过 作 的平行线，易得该直线与 ， 两两垂直．
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
令 = 2，得 (0,0, 6 )，3 (0,0,
6 )， ( 33 3 , 1,0)， (
3 ，
3 , 1,0)
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则 = (0,0, 2 6 ， 3 6 ， ，3 ) = ( 3 , 1, 3 ) = (0, 2,0)
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
3 6
= 0 1 1 1 = 0
由 可得
3 3 ，令 ，得 ．
= 0 2 6
1 = 3 = ( 3, 1,0)
3 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 0 3 6
由 可得 3 2 2 3 2 = 0，令 2 = 2，得 = ( 2, 0,1)． = 0 2 2 = 0
cos , = | || =
6 = 2，
| 2 3 2
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 2．
2
方法二：
2 2 2
令 = 2，可得 = = 2 2 6 cos∠ = + 1， = ，3 2 = 3 .
⊥ 1 2 = 2 2 = 4如图，过 作 ，垂足为 ，则 = = ， 3．3 3
过 作 // ，交 于点 .因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
则∠ 即为二面角 的平面角．
连接 2，则 = = 2， =3 3．
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 109．
2 2 2
在△ 中，cos∠ = + 2 =
2，
2
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 2．
2
19.解：(1)因为 的焦距为 2 3，所以 2 = 2 + 3．
2 2
由 2+3+ 2 = 1,得(2 2 + 3) 2 6( 2 + 3) 4 + 6 2 + 27 = 0，
+ = 3,
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则 = 36( 2 + 3)2 4(2 2 + 3)( 4 + 6 2 + 27) = 8 2( 2 + 3)( 2 3) = 0，得 2 = 3，
则 2 = 2 + 3 = 6，
2 2
则 的方程为 6 + 3 = 1．
2 2
(2)设 ( 1, 1)， ( , )， 6 + 3 = 1 3 22 2 + 4 + 2 2 6 = 0,
= +
= 16 2 12(2 2 6) = 72 8 2 > 0 + = 4 = 2
2 6
， 1 2 3， 1 2 3 ．
2
△ 1的面积 = 2 | || 1 | =
1 2
2 2 | | ( 1 + 2) 4 =
| | 72 8 4 4 2
1 2 6 = 3，整理得 9 + 8 = 0，得
2 = 8 或 2 = 1，
则 =± 2 2或 =± 1.
(3) 设 ( , )，则 + = 1 + 2 = 1+ 1 2 +
2+ = ( 1+ )( 2 )+( 2+ )( 1 )
1 2 1 2 ( 1 )( 2 )
= 2. 1 2+( )( 1+ 2) 2 ( ) ( 2 ．1 2 1+ 2)+
2
由(2) 4 可知， 1 + 2 = 3， 1 2 =
2 6 + = 6 2 +4 123 ，则 1 2 2 2+4 +3 2 6 ．
假设 1 + 2为定值 ，则 6 2 + 4 12 = (2 2 + 4 + 3 2 6)．
= 0 = 2 = 2
要使方程恒成立，则 4 2 = 0 ，解得 或 ,
6 12 = 0 = 1 = 1
(±2)2 + (±1)
2
且 6 3 = 1，
故存在定点 (2,1)或 ( 2, 1)，使得 1 + 2为定值 0．
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