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2025-2026学年江苏省无锡市梅村高级中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 < ≤ 3}， = { ∈ | 2 < 16}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. { | > 4} C. {0,1,2,3} D. { | 2 < < 4}

2.已知复数 = (1 + 2 ) ，则其共轭复数 =( )
A. 2 B. 2+ C. 2 D. 2 +
3.已知向量| | = 2 2， = (1, 1)，| + | = 2 3，则向量 在 上的投影向量为( )
A. ( 12 ,
1
2 ) B. ( 2,2) C. (2, 2) D. (
1 1
2 , 2 )
4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图，已知在鳖臑 中，满足
⊥平面 ，且 = = 5， = 3， = 4，则此鳖臑外接球的表面积为( )
A. 25
B. 50
C. 100
D. 200
2
5 > > 0 +2
2
.已知 ，则 2 的最小值是( )
A. 2 3 + 1 B. 2 3 1 C. 2 2 + 1 D. 2 2 1
6.函数 ( ) = sin( + 2 4 )( > 0)的最小正周期记为 .若 3 < <
3
，且 ( )的图象关于点( 2 , 0)中心对称，
则 ( 2 ) =( )
A. 1 B. 12 C. 0 D. 1
7.已知平面直角坐标系 中，| | = | | = 2，| | = 2，设 (3,4)，则|2 + |的取值范围是( )
A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12]
8.已知函数 ( ) = (1 )，点( , )在曲线 = ( )上，则 ( ) ( )( )
A. 1 1有最大值为 ，最小值为 1 B.有最大值为 0，最小值为
C. 1有最大值为 0，无最小值 D.无最大值，有最小值为
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
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A.若复数 满足| | = 5，则复数 对应的点在以(0,1)为圆心， 5为半径的圆上
B.若复数 满足 + | | = 2 + 8 ，则复数 = 15 + 8
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离也就是复数对应的向量的模
D.若| 1 + 2| = | 1 2|，则 1 2 = 0
10.已知△ 1的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 = (4 ) ，且 = 4，则( )
A. + = 4 B. 2 = 2 157
C. △ 15的周长为 10 D. △ 的面积为 4
2
11.如图，圆锥 的底面直径和母线长均为 4 3，其轴截面为△ ， 为底面半圆弧 上一点，且 = 2 ，
= ， = (0 < < 1,0 < < 1)，则( )
A.存在 ∈ (0,1)，使得 ⊥
B. = 2当 3时，存在 ∈ (0,1)，使得 / /平面
C. = 1 = 2当 3， 3时，四面体
8
的体积为3 3
D.当 ⊥ 时， = 57
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1.已知正项等差数列{ }满足 3 = 3 ，且 4是 3 3 与 8的等比中项，则{ }的前 项和 = ______． +1
13 3.已知 cos( 4 ) = 5，sin(
5
4 + ) =
12 ∈ ( , 3 13， 4 4 )， ∈ (0,

4 )，则 sin( + )的值为______．
14.定义在 1上的函数 ( )满足 = (2 + 1) 2 是奇函数，则 ( )的对称中心为 ；若 = ( +1 ) +
( 2 3 +1 ) + ( +1 ) + … + (
2 +1
+1 )( ∈
)，则数列{ }的通项公式为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1在三角形 中， = 2， = 1，∠ = 2， 是线段 上一点，且
= 2
， 为线段 上一点．
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(1)求 的取值范围；
(2)若 为线段 的中点，直线 与 相交于点 ，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 + 2， ( ) = ．
(1)求证：直线 = + 1 既是曲线 = ( )的切线，也是曲线 = ( )的切线；
(2)请在以下三个函数：
① ( ) + ( )；② ( ) ( ) ( )；③ ( )中选择一个函数，记为 = ( )，使得该函数有最大值，并求 ( )的
最大值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， + 3 = 3 ， = 3．
(1)求角 ；
(2)若△ 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，满足 = 1 ，数列{ }满足 1 = 1， +1 = + 2．
(1)求数列{ }、{ }的通项公式；

(2) =
, 为奇数,
( ∈ )，求数列{ }的前 项和 ；
2 , 为偶数
(3)对任意的正整数 ，是否存在正整数 ，使得 > ？若存在，请求出 的所有值；若不存在，请说明理
由．
19.(本小题 17 分)
( ) = ( 1已知函数 )，其中 > 0．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( ) 3有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，证明： ( 1) + ( 2) + ( 1 + 2) > 2 4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 9 +9
13.5665
14.(1,2)； = 4 + 2
15.(1)设 = , (0 ≤ ≤ 1)，

因为在三角形 中， = 2, = 1, ∠ = 2，
所以∠ = 60°，
所以 = ( ) ( ) = ( ) ( )
= 4 2 + 1 × 2 × 1 2 12 = 4 + = 4( 8 )
2 + 116，
又 0 ≤ ≤ 1 1 1，所以 4( )28 + 16 ∈ [ 3,
1
16 ]，
故 1的取值范围为[ 3, 16 ]；
(2)因为 ， ， 三点共线，
所以存在实数 ，使得 = + (1 ) = + (1 ) 2 3 ，
因为 为 的中点，
所以 = 1 2
+ 1 2 ，
又 ， ， 三点共线，所以存在 ∈ 使得 = ，
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2
所以 + 3 (1 )
= 1 1 2 + 2 ，
= 1 = 2
所以 22 ，解得
5，
3 (1 ) =
1 4
2 = 5
则 = ( 2 + 2 ) = ( 2 + 2 + 2 5 5 5 5 5 )

= 4
2
5
+ 2 = 4 1 2 45 5 × 1 × 2 × ( 2 ) + 5 × 4 = 5．
16.解：(1)证明：令直线 = + 1 与曲线 ( ) = 切于点 ( 0, 0)，
所以导函数 ′( ) = ，所以 = 0，
所以切线方程为 = 0( 0) + 0，设 0 = 1 0 = 0，
此时曲线 ( ) = 在 = 0 处的切线方程为 = + 1，所以 = + 1 是曲线 ( )的切线，
= + 1
联立切线方程和 ( ) 2 = 1 + 2，所以 = 0 = 0，
所以曲线 ( )在 = 0 处的切线为 = + 1，
所以 = + 1 也是 ( )的切线．
所以直线 = + 1 既是曲线 = ( )的切线，也是曲线 = ( )的切线；
(2)若选①，当 →+∞时，函数 ( ) →+∞，函数 ( )显然无最大值．不符合题意，
若选②，函数 ( ) = (1 + 2) ，
则导函数 ′( ) = (1 2 + 1 + 2) = ( 2 + 2) = ( + 2)( 1) ，
当 < 2 或 > 1 时，导函数 ′( ) < 0，当 2 < < 1，导函数 ′( ) > 0，
所以函数 ( )在( ∞, 2)上单调递减；( 2,1)上单调递增，(1, + ∞)上单调递减，
当 → ∞时， ( ) < 0 且 ( ) → 0， (1) = ， > 0，所以 ( ) = ．
( ) = 1+
2
若选③，函数 ，
2 2
那么导函数 ′( ) = (1 2 ) (1+ ) = 3 2 ，
当 0 < < 3，导函数 ′( ) < 0，当 < 0 或 > 3 时，导函数 ′( ) > 0，
因此函数 ( )在( ∞,0)上单调递增；(0,3)上单调递减；(3, + ∞)上单调递增，
→+∞时， ( ) < 0 且 ( ) → 0， (0) = 1，1 > 0，所以 ( ) = 1．
17.(1)在△ 中，由正弦定理及 + 3 = 3 ，
得 + 3 = 3 = 3sin( + ) = 3 + 3 ，
即 = 3 ，
而 ∈ (0, )， ≠ 0，解得 = 3，
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又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2) 1因为 是 的中点，所以 = 2 (
+ )，
2 = 1则 (
2
+ 2 +
2
) = 1 ( 2 + 2 + ) = 3+2 4 4 4 ，
2
由正弦定理得， = = 4 = 4 ( 3 )，
即 = 2 3 + 2 2 = 3 2 2 + 1 = 2 (2 6 ) + 1，
0 < <
因为△ 2为锐角三角形，所以 2 ，0 < 3 < 2
所以 ∈ ( 6 ,

2 )，所以 2
∈ ( , 5 6 6 6 )，
1
所以 sin(2 6 ) ∈ ( 2 , 1],

所以 = 2 (2 6 ) + 1 ∈ (2,3],
所以
2
= 3+2 4 ∈ (
7 , 94 4 ],
7 3
所以 ∈ ( 2 , 2 ],
即边 上的中线 7 3的取值范围为( 2 , 2 ]．
18. 1解：(1)在数列{ }中，当 = 1 时， 1 = 2，
≥ 2 = 1
1
当 时，由 1 = 1
得 = 1
1 2
所以数列{ }
1 1
是以2为首项，2为公比的等比数列，
1
即 = ( ∈ 2 )．
2 1 = 1
= 0
在数列{ }中，当 ≥ 2 时，有 3 2…… ，
1 = 3
( 1)( 4) 2 5 +6
叠加得， 1 = 1+ 0 + … + 3， 故 = 1 + 2 = 2 ，
当 = 1 时， 1 = 1 也符合上式，
2 = 5 +6所以 2 ( ∈
)．
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1
(2) = 2 , 为奇数
, 为偶数
当 为偶数时， = ( 1 + 3 + … + 1) + ( 2 + 4 + … + )
= ( 12+
1
8 + … +
1
2 1 ) + ( 2 4 … ) =
2 (1 1 ) ( +2)3 2 4 ．
当 为奇数时， = ( 1 + 3 + … + ) + ( 2 + 4 + … + 1)
1 1 1 2 1 2= ( + 12 8 + … + 2 ) + ( 2 4 … + 1) = 3 (1 2 +1 ) 4 ．
(3) 1对任意的正整数 ，有 0 < ≤ 2，
假设存在正整数 ，使得 > ，则 ≤ 0，
2 = 5 +6令 2 ≤ 0，
解得 2 ≤ ≤ 3，又 为正整数，
所以 = 2 或 3 满足题意．
2
19.解：(1)由题意得，函数 ( )定义域为(0, + ∞)，且 > 0， ′( ) = 1
+
2 = 2 ，
令 ( ) = 2 + ，
当 1 4 2 ≤ 0，即 ≥ 12时， ( ) ≤ 0 恒成立，则 ′( ) ≤ 0，所以 ( )在(0, + ∞)上是单调递减．
2 2
当 1 4 2 > 0 0 < < 1 1 1 4 1+ 1 4 即 2时，函数 ( )有两个零点： 1 = 2 , 2 = 2 ，
当 变化时， ( )， ′( )的变化情况如下表所示：
(0, 1) 1 ( 1, 2) 2 ( 2, + ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 单调递减 ( 1) 单调递增 ( 2) 单调递减
2 2
综上，当 0 < < 1 1 1 4 1+ 1 4 2时， ( )在( 2 , 2 )内单调递增，
(0, 1 1 4
2
) ( 1+ 1 4
2
在 2 和 2 , + ∞)上单调递减；
当 ≥ 12时， ( )在(0, + ∞)上单调递减．
(2) 1证明：由(1)知，0 < < 2时， ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
1
则 1， 2是方程 ( ) = 0 的两个根，由韦达定理，得 1 2 = 1, 1 + 2 = ，
所以 0 < 1 < 1 < 2，
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( 1) + ( 2) + ( 1 + 2) = ( 1) + (
1 1
) + (1
)
= 1 (
1 1 1 1
1 ) + ln1
( 1) + ( )
1 1
= ( 1 ) = ln 1 ( 1 ) = 1 +
2，
2
令 ( ) = 1 + 2，0 < < 1 1 2 12，则 ′( ) = + 2 = ，
当 0 < < 1 12时， ′( ) < 0，则 ( )在区间(0, 2 )上是单调递减，
1
从而 ( ) > ( 2 ) = 2
3
4，
故 ( 1) + ( 2) + ( 1 +
3
2) > 2 4．
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