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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点01 二次函数综合之等腰三角形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在初中数学中，等腰三角形存在性模型是一种用于解决特定几何问题的模型，主要用于判断是否存在一个点，使得以该点和给定的两个定点为顶点的三角形是等腰三角形。这类问题在中考中常以压轴题的形式出现，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。等腰三角形存在性模型的问题描述：给定两个定点 A 和 B，在某条已知直线上（如坐标轴或直线方程）找一个动点 C，使得△ABC是等腰三角形。解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（2）以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（3）作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
注：述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
（1）列出三边长的平方；
（2）分类列方程；
（3）解方程；
（4）检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
【典型应用】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】代数法求解
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
1．（2024 莲湖区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由CD＝CE或CD＝DE，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）＝ax2+bx+8，
即﹣8a＝8，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，
故点D（﹣1，0），设点E（﹣1，m），
由点C、D、E的坐标得，CD2＝65，CE2＝（m﹣8）2+1，DE2＝m2，
当CD＝CE或CD＝DE时，
即（m﹣8）2+1＝65或m2＝65，
解得：m＝0（舍去）或16或±，
故点E的坐标为：（﹣1，16）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
2．（2023 雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
（2）求出直线AC的解析式，设F（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），则EF＝﹣（t）2，根据题意可求E（，），BE，分两种情况讨论：①当BE＝BP时，BP，P点坐标为（1，0）或（1，0）；②当BE＝EP时，P点与B点关于直线EF对称，∴P点坐标为（﹣4，0）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
设F（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），
∴EF＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
当t时，EF的最大值为，
此时E（，），
∴BE，
①当BE＝BP时，BP，
∴P点坐标为（1，0）或（1，0）；
②当BE＝EP时，P点与B点关于直线EF对称，
∴P点坐标为（﹣4，0）；
综上所述：P点的坐标为（1，0）或（1，0）或（﹣4，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，求出点B和点C的坐标，再将点B、点C的坐标代入y＝x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可；
（2）存在以C，P，M顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按CM或PC或PM为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出PM的长即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3，当y＝0时，由﹣x+3＝0得，x＝3；当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0）、C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）存在，
理由：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为P（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
设M（2，n），
如图1，等腰三角形CPM以CM为底边，则PM＝PC2，
由|n+1|＝2得，n＝21或n＝﹣21，
∴M（2，21），M′（2，﹣21）；
如图2，等腰三角形CPM以PM为底边，作CD⊥PM于点D，则D（2，3），
∵CM＝CP，
∴DM＝DP＝3+1＝4，
∴n＝3+4＝7，
∴M（2，7）；
如图3，等腰三角形CPM以PC为底边，作CD⊥PM，交直线PM于点D，则D（2，3），
∴PD＝3+1＝4，
∵∠PDC＝90°，
∴DM2+CD2＝CM2，
∵DM＝4﹣PM，CM＝PM，
∴（4﹣PM）2+22＝PM2，
解得，PM，
∴n＝﹣1，
∴M（2，），
综上所述，点M的坐标为（2，21）或（2，﹣21）或（2，7）或（2，）．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题．
4．（2024 蒲城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l：x＝1．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线L1向下平移m个单位长度（m＞0）得到新抛物线L2新抛物线L2的顶点为P，抛物线L2与y轴交于点Q，如果△CPQ是等腰三角形，求抛物线L2的函数表达式．
【分析】（1）根据对称轴求得b＝4，代入（﹣1，0），进而求得c＝6；
（2）由（1）可得抛物线L1的函数表达式为 y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，进而得出抛物线L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+8﹣m则抛物线L2的顶点为P（1，8﹣m），点Q的坐标为（0，6﹣m）．勾股定理求得CP2，CQ2，PQ2进而分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，
∴b＝4．
将（﹣1，0）代入 y＝﹣2x2+4x+c中，
得﹣2﹣4+c＝0，
解得c＝6．
（2）由（1）可得抛物线L1的函数表达式为 y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴C（0，6）．
由题意可知抛物线L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+8﹣m其中 m＞0，
则抛物线L2的顶点为P（1，8﹣m），点Q的坐标为（0，6﹣m）．
∴CP2＝1+（8﹣m﹣6）2，CQ2＝m2，PQ2＝1+22＝5，
如图，分情况讨论：
①如图1，当CP＝PQ时，1+（8﹣m﹣6）2＝5，
解得m＝4或m＝0（舍去）．
∴抛物线 L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+4；
②如图2，当CP＝CQ时，1+（8﹣m﹣6）2＝m2，
解得 ，
∴抛物线 L2的函数表达式为 ，
③如图3，当CQ＝PQ时，m2＝5
解得 （舍去），
∴抛物线 L2的函数表达式为 ．
综上，抛物线L2的表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+4或 或 ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的平移，等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）若PE＝3EF，求m的值；
（3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入，可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出PE、EF，再列出绝对值方程，然后求解即可；
（3）根据直线解析式求出直线CD与y轴的夹角为45°，然后根据∠PCE＝90°，表示出PC的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的顶点为（1，﹣4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入，可得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4 （或y＝x2﹣2x﹣3）；
（2）设点P的横坐标是m，则P（m，m2﹣2m﹣3），E（m，m﹣2），F（m，0），
PE＝|yE﹣yP|＝|（m﹣2）﹣（m2﹣2m﹣3）|＝|﹣m2+3m+1|，
EF＝|﹣m+2|，
由题意PE＝3EF，即：|﹣m2+3m+1|＝3|﹣m+2|，
①若﹣m2+3m+1＝3（﹣m+2），
整理得：m2﹣6m+5＝0，
解得：m＝1或m＝5，
∵P在x轴下方，
∴﹣1＜m＜3，
∴m＝5不合题意，舍去，
∴m＝1；
②若﹣m2+3m+1＝﹣3（﹣m+2），
整理得：m2﹣7＝0，
解得：m或m，
∵P在x轴下方，
∴﹣1＜m＜3，m不合题意，舍去，
∴m，
综上所述，m＝1或m；
（3）存在，m的值为或．
理由：直线y＝x﹣2与y轴的夹角为45°，∠PEC＝45°，
当△PCE是以PE为底边的等腰三角形时，∠PCE＝90°，
故直线PC的解析式为y＝﹣x﹣2，
联立，
消掉y得，x2﹣x﹣1＝0，
解得x或，
所以点P的横坐标m或．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，难点在于判断出直线CD与y轴的夹角为45°并得到直线PC的解析式．
6．（2023秋 东湖区校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②当MN＝CM时，列出等式，即可求解；当MN＝CN、CM＝CN时，同理可解．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得：
，解得：，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得：
，解得：，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣30，
∴当m时，MN有最大值；
②设点P（m，0），则点M（m，﹣m﹣3）、点N（m，m2+2m﹣3），
由点M、N、C的坐标得，MN2＝（m2+3m）2，CM2＝m2+m2＝2m2，CN2＝m2+（m2+2m）2，
当MN＝CM时，即（m2+3m）2＝2m2，
解得：m＝0（舍去）或﹣3，
则点P的坐标为：（﹣3，0）或（﹣3，0）；
当MN＝CN时，则（m2+3m）2＝m2+（m2+2m）2，
解得：m＝0（舍去）或﹣2，
即点P（﹣2，0）；
当CM＝CN时，则2m2＝m2+（m2+2m）2，
解得：m＝0（舍去）或﹣3（舍去）或﹣1，
即点P（﹣1，0）；
综上，点P的坐标为：（﹣3，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）或（﹣1，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（2024 会东县二模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的﹣点（包括端点）．其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由；
（3）如图②，连接CD，抛物线上是否存在点Q，使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接CD，MC，MD，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，进而得到直线AB于直线CD平行，则点M在运动过程中FG的长保持不变，故要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大，进一步推出当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，求出M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），则ME＝﹣m2+4m，求出S△CDM＝S△CME+S△DME4（﹣m2+4m）＝﹣2（m﹣2）2+8，据此求解即可；
（3）设Q（t，﹣t2+3t+4），根据勾股定理得到CQ2＝t2+（﹣t2+3t）2，DQ2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2，根据等腰三角形的性质得到CQ2＝DO2，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把C（0，4），D（4，0）代入抛物线解析式中得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图，连接CD，MC，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，
∵直线CD过点（4，0），（0，4），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．
∵AB∥CD，MG⊥AB，
∴MG⊥CD，
∴点M在运动过程中FG的长保持不变，要使△MAB的面积最大，
则MG最大，即MF最大，
∵，
∴当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，
∵点M的横坐标为m，
∴M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴S△CDM＝S△CME+S△DME4（﹣m2+4m）＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当m＝2时，S△CDM最大，即此时△MAB的面积最大；
（3）设Q（t，﹣t2+3t+4），
∴CQ2＝t2+（﹣t2+3t）2，DQ2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2，
∵△CDQ是以CD为底的等腰三角形，
∴CQ2＝DO2，
∴t2+（﹣t2+3t）2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2，
解得：t1＝1，t2＝1，
∴Q（1，1）或（1，1）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2023秋 长海县期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求△BCD的面积；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进证明△BCD是直角三角形，然后利用三角形的面积计算公式解答即可；
（3）若△PDC是等腰三角形则分两种情况，即以CD为腰，以CD为底，分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD，
BC3，
BD2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S△BCDBC CD33；
（3）在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得△PDC为等腰三角形；理由如下：
①若以CD为底边，则PD＝PC，点P在对称轴右侧的抛物线上，如图2，
设P点坐标为（x，y），
根据勾股定理，得x2+（y﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，
即y＝4﹣x，
又∵点P（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x或（舍去）．
∴y＝4﹣x，
∴点P的坐标为（，）；
②若以CD为腰，点P在对称轴右侧的抛物线上，如图3，
∴由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为（2，3），
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是解答本题的关键．
9．（2023秋 头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
顶点坐标为C（﹣1，0）；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为x＝﹣1，
∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D，
∴设点D（﹣1，y），
∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2，
∴D（﹣1，2），
∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD；
（3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
∵顶点坐标为C（﹣1，0），
∴对称轴为x＝﹣1，
过点A作AE⊥CD于点E，
在Rt△ACE中，．
①当AQ＝CQ时，设CQ＝m，
在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2
∴22+（4﹣m）2＝m2
解之得
∴；
②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4，
∴CE＝2CE＝8，
∴Q2（﹣1，8）；
③当CA＝CQ时，，
∴，．
综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10．（2024 西峰区校级一模）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入yx2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP＝DC时，易得P2（，），P3（，）；
（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为yx+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2），则FEx2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n得，解得，
∴抛物线解析式为yx2x+2；
（2）存在．
抛物线的对称轴为直线x，
则D（，0），
∴CD，
如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；
当DP＝DC时，则P2（，），P3（，），
综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，）；
（3）当y＝0时，x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为yx+2，
设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2），
∴FEx2x+2﹣（x+2）x2+2x，
∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x，
而S△BCD2×（4），
∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD
＝﹣x2+4x（0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2
当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
11．（2023秋 招远市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，点M是线段OA上，不与点O、A重合的一个动点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，其对称轴与x轴交于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在点M的运动过程中，能否使线段DE＝CE？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）DE＝（x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝x2﹣3x，而直线AC和x轴的夹角为45°，则CEx＝DE＝x2﹣3x，即可求解；
（3）当PH＝HC时，列出等式，即可求解；当PH＝PC或HC＝PC时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）能，理由：
由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，直线AC和x轴的夹角为45°，
设点D（x，﹣x2﹣2x﹣3），则点E（x，x+3），
则DE＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∵直线AC和x轴的夹角为45°，
则CEx＝DE＝﹣x2﹣3x，
解得：x3，
即点M的坐标为：（3，0）；
（3）存在，理由：
设点P（﹣1，m），而点H（﹣1，0），
则PH2＝m2，HC2＝10，PC2＝1+（m﹣3）2，
当PH＝HC时，
则m2＝10，
解得：m＝±；
当PH＝PC或HC＝PC时，
同理可得：10＝1+（m﹣3）2或1+（m﹣3）2＝m2，
解得：m＝0（舍去）或6或±或，
即点P的坐标为：（﹣1，6）或（﹣1，±）或（﹣1，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键．
12．（2024 泸州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并与x轴交于另一点B．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点B坐标；
（3）设P（x，y）是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面积．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣3（舍去）或1，即可求解；
（3）①设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则N的坐标为（x，﹣x+3），构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
②求出BC的垂直平分线的解析式，用方程组求出点P的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣3（舍去）或1，
即点B（1，0）；
（3）①存在，理由：
如图2中，
∵点P（x，y）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3），
又点P在第一象限，
∴PN＝PM﹣NM，
＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），
＝﹣（x）2，
∴当x时，
线段PN的长度的最大值为 ；
②解：如图3中，
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB＝OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，于是有a＝﹣a2+2a+3，
∴a2﹣a﹣3＝0，
解得a，
∴点P的坐标为：（，）或（，），
若点P的坐标为：（，），此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP＝OM，
OB＝OC＝3，
S△BPC＝S四边形BOCP﹣S△BOC＝2S△BOP﹣S△BOC＝2 BO PMBO CO，
＝23；
若点P的坐标为（，），此时点P在第三象限，
同理可得：S△BPC．
综上所述△BPC的面积为：或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
13．（2024 达州）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）当AC＝AN时，列出等式，即可求解；当AC＝CN或AN＝CN时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、一次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
14．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求点A，B，D的坐标．
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标．
（3）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大？试求出最大面积．
【分析】（1）已知抛物线的一般式，令 y＝0，可得关于x的方程，解方程可得抛物 线与x轴交点的横坐标，从而得到A、B两点坐标，通过配方可得到抛物线的对称轴，从而可得点D的坐标；
（2）先求出BC的长，然后分情况进行讨论即可得；
（3）设点M运动的时间为ts，用含t的式子先表示出BM与DN的长，然后利用三角形的面 积公式表示出△MNB的面积，再根据二次函数的性质即可得△MNB的最大面积．
【解答】解：（1）当y＝0 时，x2﹣4x+3＝0，
解得 x1＝1，x2＝3，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（1，0），
点B的坐标为（3，0），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴点D的坐标为（2，0）；
（2）存在，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP＝CB时，PC＝3，
∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33，
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设M运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
16．如图，抛物线yx2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接PB，PC．
（1）求抛物线的对称轴及b，c的值；
（2）当四边形OBPC的面积等于11时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，B点的坐标代入yx2+bx+c中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值；
（2）过点P作PH⊥AB于H，设P（m，m2﹣m﹣4），根据S四边形OBPC＝S△OBP+S△OCP可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出1＜m＜4，即可得点P的横坐标，代入即可求解；
（3）设M（1，n），根据勾股定理可表示出CM2，PM2，CP2．分CP＝PM，CP＝CM，CM＝PM三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴yx2﹣x﹣4（x﹣1）2，
∴对称轴是直线x＝1，b的值是﹣1，c的值是﹣4；
（2）设P（m，m2﹣m﹣4），
∵yx2﹣x﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（4，0），
∴OB＝4，OC＝4，
∴S四边形OBPC＝S△OBP+S△OCP4（m2+m+4）4m＝11，
整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3，
∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方，
∴1＜m＜4，
∴m＝3，
∴m2﹣m﹣4，
∴P（3，）；
（3）设M（1，n），
则CM2＝1+（n+4）2，
PM2＝（3﹣1）2+（n）2＝4+（n）2，
CP2＝32+（4）2＝9，
∵△CPM是等腰三角形，
∴分CP＝PM，CP＝CM，CM＝PM三种情况，
①当CP＝PM时，
4+（n）2，
解得：n1，n2；
②当CP＝CM时，
1+（n+4）2，
解得：n1，n2；
③当CM＝PM时，
1+（n+4）2＝4+（n）2，
解得：n；
∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题．
17．（2022 岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；
（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；
（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为yx2x+8；
（2）∵抛物线的解析式为yx2x+8，
令x＝0，y＝8，
∴C（0，8），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），
设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），
∴BD（8﹣m），
又PDm+8﹣（﹣m+8）m，
∵△PQD≌△BED，
∴PD＝BD，
∴（8﹣m）m，
解得，m1＝3，m2＝8（舍去），
∴m的值为3；
（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴N（0，3），
由题意得PD⊥MB，
∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），
∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，
若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：
①当MB＝MD时，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，
解得m1＝3，m2＝3，
②当MB＝BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，
解得，m1＝3（舍去），m2＝8，
③当MD＝BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得，m＝5.5．
综上所述，m的值为3或3或5.5或8时，△BMD是等腰三角形．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、勾股定理、两点间的距离公式，全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
18．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A、B两点，过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作M，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作N，E为直线AC上的动点，是否存在点E，使得以M、N、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由△ABC的面积AB×yC，即可求解；
（2）由PNPH，即可求解；
（3）由点M、N、E的坐标得，MN2＝（7﹣4）2+（12﹣9）2＝18，NE2＝（m﹣7）2+（m﹣7）2，ME2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2，当MN＝NE时，列出等式，即可求解；当MN＝ME或NE＝ME时，同理可解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x2+2x+8＝0，则x＝﹣2或4，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0），则AB＝10，
联立y＝﹣x2+2x+8和y＝x+2并解得：x＝3，
则点C（3，5），
则△ABC的面积AB×yC10×3＝15；
（2）由直线AC的表达式知，∠DAO＝45°，
过点P作PH∥y轴交AC于点H，则∠PHN＝∠DAO＝45°，
作PN⊥AC于点N，则PN即为点P到直线AC的距离，
设点P（x，﹣x2+2x+8），则点H（x，x+2），
则PNPH（﹣x2+2x+8﹣x﹣2）（x）2，
即点P到直线AC的距离的最大值为：；
（3）存在，理由：
y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，即顶点为（1，9），对称轴为直线x＝1，
抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，相当于将抛物线向右平移了3个单位向上平移了3个单位，
则点M（4，12），
则原顶点关于平移后抛物线的对称轴为直线x＝4的对称点为：点N（7，9），
设点E（m，m+2），
由点M、N、E的坐标得，MN2＝（7﹣4）2+（12﹣9）2＝18，NE2＝（m﹣7）2+（m﹣7）2，ME2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2，
当MN＝NE时，
则18＝（m﹣7）2+（m﹣7）2，
解得：m＝10或4，
即点E的坐标为：（10，12）或（4，6）；
当MN＝ME或NE＝ME时，
同理可得：（m﹣4）2+（m﹣10）2＝18或（m﹣7）2+（m﹣7）2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2，
解得：m＝7（舍去）或无解；
综上，点E的坐标为：（10，12）或（4，6）．
【点评】本题考查二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象及性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
19．（2024 永川区校级模拟）如图1，点A为直线l：yx与抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上的一个交点，点B（m，﹣2）为直线l：yx上一点，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点P是直线l上方的抛物线上一点，过P作PE∥x轴交直线l于E，P作PF∥y轴交直线l于F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移2个单位得到新抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线y′的对称轴上一点．若△AQM是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）由△ABC的面积CT×（xB﹣xA），即可求解；
（2）由PF＝（﹣x2+2x+3）﹣F（x）＝﹣（x）2，即可求解；
（3）分AQ＝AM、AQ＝MQ两种情况，利用线段长度相等，即可求解．
【解答】解：（1）当yx2时，
解得：x＝3，即点B（3，﹣2）；
令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即点A（﹣1，0），
设直线l和y轴的交点为点T，则点T（0，），
则△ABC的面积CT×（xB﹣xA）（3）×（3+1）＝7；
（2）如图2，由直线l的表达式yx知，tan∠xAB，
∵EF∥x轴，则∠xAB＝∠PEF，
则tan∠PEF，则PE＝2PF，
则PE+PF＝3PF，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点F（x，x），
则PF＝（﹣x2+2x+3）﹣F（x）＝﹣（x）2，
即PF的最大值为，
则PE+PF的最大值为：3PF，此时，点P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4①，
则平移后的抛物线表达式为：y′＝﹣（x﹣3）2+4②，
联立①②得：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）2+4，
解得：x＝2，
则点Q（2，3），
设点M（3，m），
由点A、M、Q的坐标得，AQ2＝（2+1）2+32＝18，AM2＝（3+1）2+m2，MQ2＝1+（m﹣3）2，
当AQ＝AM时，则18＝（3+1）2+m2，
解得：m，
则点M的坐标为：（3，）或（3，）；
当AQ＝MQ时，则18＝1+（m﹣3）2，
解得：m＝3，
即点M的坐标为：（3，3）或（3，3），
综上，点M的坐标为：（3，）或（3，）或（3，3）或（3，3）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到解直角三角形、等腰三角形的性质、二次函数最值的确定等知识点，其中（3），分类求解是本题解题的关键．
20．（2024 山亭区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出A′的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可；
（4）分CP＝CM，CM＝PM，CP＝PM，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）A′不在抛物线上；理由如下：
过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°，
∵旋转，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD，
∴△ACO≌△CA′D，
∴OA＝CD，OC＝A′D，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3，
∴OD＝2，
∴A′（3，﹣2），
∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴A′（3，﹣2）不在抛物线上；
（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1，
∴y＝x﹣3；
设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）．
∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m．
∴．
当时，PM+2BH取最大值，最大值为．
（4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2，
当△PMC是等腰三角形时，分三种情况，
①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得：（舍），m＝0（舍），；
②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝2；
③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1；
综上：m＝1，m＝2，．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键．
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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点01 二次函数综合之等腰三角形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在初中数学中，等腰三角形存在性模型是一种用于解决特定几何问题的模型，主要用于判断是否存在一个点，使得以该点和给定的两个定点为顶点的三角形是等腰三角形。这类问题在中考中常以压轴题的形式出现，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。等腰三角形存在性模型的问题描述：给定两个定点 A 和 B，在某条已知直线上（如坐标轴或直线方程）找一个动点 C，使得△ABC是等腰三角形。解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（2）以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（3）作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
注：述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
（1）列出三边长的平方；
（2）分类列方程；
（3）解方程；
（4）检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
【典型应用】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】代数法求解
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024 莲湖区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标．
2．（2023 雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024 蒲城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l：x＝1．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线L1向下平移m个单位长度（m＞0）得到新抛物线L2新抛物线L2的顶点为P，抛物线L2与y轴交于点Q，如果△CPQ是等腰三角形，求抛物线L2的函数表达式．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）若PE＝3EF，求m的值；
（3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．（2023秋 东湖区校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标．
7．（2024 会东县二模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的﹣点（包括端点）．其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由；
（3）如图②，连接CD，抛物线上是否存在点Q，使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
8．（2023秋 长海县期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求△BCD的面积；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023秋 头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024 西峰区校级一模）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
11．（2023秋 招远市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，点M是线段OA上，不与点O、A重合的一个动点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，其对称轴与x轴交于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在点M的运动过程中，能否使线段DE＝CE？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024 泸州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并与x轴交于另一点B．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点B坐标；
（3）设P（x，y）是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面积．
13．（2024 达州）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求点A，B，D的坐标．
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标．
（3）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大？试求出最大面积．
16．如图，抛物线yx2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接PB，PC．
（1）求抛物线的对称轴及b，c的值；
（2）当四边形OBPC的面积等于11时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2022 岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
18．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A、B两点，过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作M，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作N，E为直线AC上的动点，是否存在点E，使得以M、N、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024 永川区校级模拟）如图1，点A为直线l：yx与抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上的一个交点，点B（m，﹣2）为直线l：yx上一点，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点P是直线l上方的抛物线上一点，过P作PE∥x轴交直线l于E，P作PF∥y轴交直线l于F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移2个单位得到新抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线y′的对称轴上一点．若△AQM是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
20．（2024 山亭区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
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