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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点03 二次函数综合之平行四边形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在数学中，二次函数和平行四边形是两个看似不相关但实则紧密相连的概念。当我们将一次函数的图像与平行四边形的性质结合起来探讨时，会发现一系列有趣且富有挑战性的存在性问题。这些问题不仅考验着我们对二次函数和平行四边形基本性质的理解，还要求我们运用逻辑推理、几何变换和代数运算等多种数学工具进行求解。本文将围绕“二次函数与平行四边形存在性问题”这一主题，从多个方面进行深入探讨。
一、关于平行四边形的基础知识
1、什么是平行四边形？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形具有哪些性质？
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
3、平行四边形的判定方法
a) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
b) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
c) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
d) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
e) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、平行四边形存在性问题的解题策略
1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：
所以可以得到；
2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：
点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.
上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：
于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.
上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示：
点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。
三、平行四边形存在性问题的考法
1、三定一动类（三个定点，一个动点）
例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
2、两定两动（两个定点，两个动点）
例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
1．（2024 碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，解方程组即可．
（2）根据得到B（5，0），，对称轴为直线x＝2，设M（2，m），，利用分类思想和中点坐标公式计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）存在点N，使得四边形为平行四边形，且N（3，4）或N（7，﹣8）或N（﹣3，﹣8），理由如下：
∵，
∴对称轴为直线x＝2，
令x＝0，则y，
令y＝0，则x＝5，
∴B（5，0），，
设M（2，m），，
当B、C两点为一条时角线时，此时中点坐标为，M、N两点为另一条对角线时，此时中点坐标为，
∴，
解得n＝3，
此时，
故N（3，﹣4）；
当B、M两点为一条对角线时，此时中点坐标为，C、N两点为另一条对角线时，此时中点坐标为，
∴，
解得n＝7，
此时，
故N（7，﹣8）；
当B、N两点为一条对角线时，此时中点坐标为，C、M两点为另一条对角线时，此时中点坐标为，故，解得n＝﹣3，
此时，
故N（﹣3，﹣8），
综上所述，点N（3，4）或N（7，﹣8）或N（﹣3，﹣8）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，中点坐标公式，分类思想，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）．B （3，0）两点．与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，可得a，b，即可求解；
（2）分四边形CMNB是平行四边形、四边形CNBM时平行四边形、四边形CNNB时平行四边形三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，得
．
解得a，b，
故该抛物线的解析式为yx2x+2，其对称轴为直线x1．
（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，）；
②四边形CNBM是平行四边形时，，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNMB是平行四边形时，，
∴x＝4，
∴M（4，）；
综上所述：M（2，2）或M（4，）或M（﹣2，）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
3．（2023秋 铜梁区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y'，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求出直线AC的解析式，再设P（t，t2+3t﹣4），则E（t，﹣t﹣4），则PE＝﹣（t+2）2+4，由此再求PE的最大值即可；
（3）求出平移后的函数解析式为y'＝（x﹣3）2，设M（3，n），N（x，x2+3x﹣4），根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式，建立方程，求出n的值即可求M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+3x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4，
设P（t，t2+3t﹣4），则E（t，﹣t﹣4），
∴PE＝﹣t﹣4﹣t2﹣3t+4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
当t＝﹣2时，PE有最大值4，此时P（﹣2，﹣6）；
（3）存在点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由题意可得，平移后的抛物线解析式为y'＝（x﹣3）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设M（3，n），N（x，x2+3x﹣4），
当BC为平行四边形的对称轴时，3+x＝1，﹣4＝n+x2+3x﹣4，
解得x＝﹣2，n＝2，
∴M（3，2）；
当BM为平行四边形的对角线时，x＝1+3，n＝x2+3x﹣4﹣4，
解得x＝4，n＝20，
∴M（3，20）；
当BN为平行四边形的对角线时，x+1＝3，x2+3x﹣4＝n﹣4，
解得x＝2，n＝10，
∴M（3，10）；
综上所述：M点坐标为（3，2）或（3，20）或（3，10）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023秋 新化县期末）如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EM的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝﹣2x2+12x，即可求解；
（3）分AM是边、AM是对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），
抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，
故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，
将点C的坐标代入上式并解得：a，
故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；
（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），
EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，
∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；
（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），
由（2）知，x＝3，则点M（3，6），
设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），
①当AM是边时，
当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，
同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），
即m±4，解得：m或，
故点P（，）或（，）；
②当AM是对角线时，
由中点公式得：﹣1+3＝m，解得：m，
故点P（，）；
综上，点P的坐标为：（，）或（，）或（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2023秋 铁锋区期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA＝PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA﹣PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ＝AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4），
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）∵y＝﹣x2﹣3x+4，
∴对称轴为x，
∵A（﹣4，0），
∴B（1，0），
∵P在对称轴上，
∴PA＝PB，
∴|PA﹣PC|＝|PB﹣PC|≤BC，即当P、B、C三点在一条线上时|PA﹣PC|的值最大，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣4x+4，
令x可得y＝﹣4×（）+4＝10，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（）；
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，则有CQ∥AB，即点Q的纵坐标为4，
∵CQ＝AB＝5，且C（0，4），
∴Q（﹣5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A、B中点坐标为（，0），且C（0，4），
∴Q点横坐标＝2×（）﹣0＝﹣3，Q点纵坐标＝0﹣4＝﹣4，
∴Q（﹣3，﹣4），
综合可知存在满足条件的点D，坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点P的位置是解题的关键，在（3）中分AB为边和AB为对称线两种情况分别求解是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
6．（2024 双流区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线y'，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求出直线AC的解析式，再设P（t，t2+3t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），则PE＝﹣（t+2）2+4，由此再求PE的最大值即可；
（3）求出平移后的函数解析式为y'＝（x﹣3）2﹣，设M（3，n），N（x，x2+3x﹣4），根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式，建立方程，求出n的值即可求M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），
∴PE＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
当t时，PE有最大值，此时P（，）；
（3）存在点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由题意可得，平移后的抛物线解析式为y'＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设M（3，n），N（x，x2+2x﹣3），
当BC为平行四边形的对称轴时，3+x＝1+0，0﹣3＝n+x2+2x﹣3，
解得x＝2，n＝0，
∴M（3，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，0+x＝1+3，0+n＝x2+2x﹣3﹣3，
解得x＝4，n＝10，
∴M（3，10）；
当BN为平行四边形的对角线时，x+1＝0+3，x2+2x﹣3＝n﹣3，
解得x＝2，n＝8，
∴M（3，8）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，10）或（3，8）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
7．（2024 垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2），则S4×（t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，m2m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k，
∴直线BC的解析式为yx+2，
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2），
∴PQt2t+2t﹣2t2+2t，
∴S4×（t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，m2m+2），N（n，0），
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2m2m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，
∴N（1，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0m2m+4，
解得m，n或m，n，
∴N（，0）或（，0）；
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2m2m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，
∴N（7，0）；
综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（，0）或（7，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2023秋 聊城期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y＝x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，可求得A（﹣1，0），利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+1，联立方程组即可求得答案；
（2）设点P（n，n2﹣2n﹣3），则点E（n，n+1），可得PE＝﹣（n）2，利用二次函数性质即可求得答案；
（3）设N（m，n），分三种情况：①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，利用中点公式可得出答案，②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，利用中点公式可得出答案，③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，利用中点公式可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线y＝x+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1+m，
解得：m＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
联立方程组，得，
解得：，，
∴C（4，5）；
（2）如图1，设点P（n，n2﹣2n﹣3），则点E（n，n+1），
∴PE＝n+1﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n+4＝﹣（n）2，
∵﹣1＜0，
∴当n时，PE取得最大值，此时，P（，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点为M（1，﹣4），
如图2，点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，
设N（m，n），分三种情况：
①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，
∴，，
解得：m＝5，n＝﹣4，
∴N1（5，﹣4），
②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，
∴，，
解得：m＝﹣3，n＝﹣4，
∴N2（﹣3，﹣4），
③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，
∴，，
解得：m＝1，n＝4，
∴N3（1，4），
综上所述，点N的坐标为：N1（5，﹣4），N2（﹣3，﹣4），N3（1，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，平行四边形性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题．
9．（2023秋 东丰县期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x，OA＝2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，根据对称轴方程求出B点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式可求出待定系数的值；OD平分∠BOC，那么直线OD的解析式为y＝x，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；
（2）分两种情况讨论：①以AD为对角线的平行四边形AMDN，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；②以AD为边的平行四边形ADNM，由于平行四边形是中心对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的绝对值相等，可据此求出M点的坐标；
（3）由于BD的长为定值，若△BPD的周长最短，那么PB+PD应该最短，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，连接AD，直线AD与对称轴的交点即为所求的P点，可用待定系数法求出直线AD的解析式，联立抛物线对称轴方程即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝2，
∴A（﹣2，0）．
∵A与B关于直线x对称，
∴B（3，0），
∵A、B，两点在抛物线yx2+bx+c上，
∴，
解得；
∴抛物线的解析式为yx2x+3．
过D作DE⊥x轴于E．
∵∠BOC＝90°，OD平分∠BOC，
∴∠DOB＝45°，∠ODE＝45°，
∴DE＝OE，即xD＝yD，
∴xx2x+3，
解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），
∴D（2，2）；
（2）分两种情况讨论：
①当AD为平行四边形AMDN的对角线时，
∵MD∥AN，即MD∥x轴，
∴yM＝yD，
∴M与D关于直线x对称，
∴M（﹣1，2）；
②当AD为平行四边形ADNM的边时，
∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM，
∴|yM|＝|yD|，即yM＝﹣yD＝﹣2，
∴令x2x+3＝﹣2，即x2﹣x﹣10＝0；
解得x，
∴M（，﹣2）或M（，﹣2）．
综上所述：满足条件的M点有3个，即M（﹣1，2）或M（，﹣2）或M（，﹣2）；
（3）∵BD为定值，
∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小．
∵A与B关于直线x对称，
∴PB＝PA，只需PD+PA最小．
连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小．
由A（﹣2，0），D（2，2）可得直线AD：yx+1，
令x，得y，
∴存在点P（，），使△BPD的周长最小．
【点评】此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质等，需注意的是第（2）问在不确定平行四边形边和对角线的情况下需要分类讨论，以免漏解．
9．（2024 武威模拟）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．
设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
10．（2024 菏泽二模）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据一次函数求B和C的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），表示铅直高度EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点E的坐标；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
（3）yx2x+4（x2﹣5x）+4（x）2；
对称轴是：x，
∴A（﹣1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线yx+4上，
∴点M的坐标是（3，2），
又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为，
∴P（，）；
②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，
由（2），可得点M的横坐标是3，
∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为，
∴P（，）；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
∴点P的坐标是（，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（，）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，并能根据平行四边形点的平移规律求点的坐标．
11．（2024春 越秀区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．
（1）求点M的坐标；（用含a的式子表示）
（2）直线与直线MA相交于点N，与抛物线的对称轴相交于点B．
①求△BNM的面积的取值范围；
②直线与y轴相交于点C，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求y＝﹣x2﹣2x+a在﹣2≤x≤1时的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线的一般式写成顶点式即可求解；
（2）①作ND⊥MB于点D，求出直线MA的解析式，根据S△MBNMB ND即可求解；
②分类讨论当点P在y轴左侧时，当点P在y轴右侧时，两种情况即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣（x2+2x）+a＝﹣（x2+2x+1﹣1）+a＝﹣（x+1）2+1+a，
∴M（﹣1，1+a）；
（2）①作ND⊥MB于点D，如图1，
当x＝0时，y＝a，
∴A（0，a），
设直线MA的解析式为y＝kx+b，把A（0，a）、M（﹣1，1+a）代入得：
，
解得，
∴直线MA的解析式为y＝﹣x+a，
联立方程组得：，
解得，
∴，
当x＝﹣1，，
∴，
∴S△MBNMB ND（4a+3）2，
∵a＞0，
∴，
即；
②抛物线上存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
如图2，当点P在y轴左侧时，
当x＝0时，y＝﹣a，
∴C（0，﹣a）
∵四边形APCN是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，，
∴；
将点P的坐标代入y＝﹣x2﹣2x+a得：
，
解得或a＝0（不合，舍去），
当时，，
当x＝1时，y取得最小值，
∴；
②当点P在y轴右侧时，如图2，
∵四边形ACPN是平行四边形，
∴NP∥ACNP＝AC，
∵，A（0，a），C（0，﹣a），
∴
将点P′的坐标代入y＝﹣x2﹣2x+a得：，
解得或a＝0（舍去），
∴；
当时，，
当x＝1时，y取得最小值，
∴．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数与特殊四边形问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键．
12．（2024 定西二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．
（1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；
（2）如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；
（3）在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物线y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点Q，点B，点E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）求出A（0，6），C（2，6），再用待定系数法求出直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6），则D（a，﹣2a+6），得出PD＝﹣2a2+6a，CF＝2﹣a，得出PD+CF的表达式，根据二次函数性质即可求解；
（3）由（2）可得：，设点A平移后对应点坐标为（t，﹣2t+6），则点A向右平移t个单位长度，向下平移6﹣（﹣2t+6）＝2t个单位长度，得出y′＝﹣2（x﹣1﹣t）2+8﹣2t，把C（2，6）代入求出y′＝﹣2（x﹣2）2+6＝﹣2x2+8x﹣2，设点M（m，﹣2m2+8m﹣2），点N（1，n），然后进行分类讨论：①当AD是对角线时，②当AM是对角线时，③当AN是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，即可解答．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴Q（1，8），
把y＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得：0＝﹣2x2+4x+6，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），E（﹣1，0），
∴BE＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△BEQ4×8＝16；
（2）当x时，PD+CF有最大值；
把x＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得：y＝6，
∴A（0，6），
把y＝6代入y＝﹣2x2+4x+6得：6＝﹣2x2+4x+6，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴C（2，6），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
把A（0，6），B（3，0）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，
设P（a，﹣2a2+4a+6），则D（a，﹣2a+6），
∵A（0，6），P（a，﹣2a2+4a+6），AC∥x轴，
∴F（a，6），
∴PD＝﹣2a2+4a+6﹣（﹣2a+6）＝﹣2a2+6a，
CF＝2﹣a，
∴PD+CF＝﹣2a2+6a+2﹣a＝﹣2a2+5a+2，
∵﹣2＜0，
∴a，
∴P（，），
∴当P位于（，）时，PD+CF有最大值；最大值为；
（3）在新抛物线y′上存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）可得：D（，），
∵直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，
∴设点A平移后对应点坐标为（t，﹣2t+6），
∵A（0，6），
∴点A向右平移t个单位长度，向下平移6﹣（﹣2t+6）＝2t个单位长度，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，
∴y′＝﹣2（x﹣1﹣t）2+8﹣2t，
把C（2，6）代入得：6＝﹣2（2﹣1﹣t）2+8﹣2t，
解得：t＝1或t＝0（舍去），
∴y′＝﹣2（x﹣2）2+6＝﹣2x2+8x﹣2，
∵点M在y′上，
∴设点M（m，﹣2m2+8m﹣2），
∵N是y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8对称轴上一点，
∴设点N（1，n），
①当AD是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴0m+1，
解得：m；
∴M（，）；
②当AM是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴0+m1，
解得：m，
∴M（，）；
③当AN是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴m＝0+1，
解得：m，
∴M（，）；
综上：M（，）或M（，）或M（，）；．
【点评】本题主要考查二次函数综合，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数平移的规律，以及平行四边形的性质．
13．（2024春 本溪月考）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得S△ACB＝S△ACM？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；
（3）如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点，再求出直线AC的解析式为：，根据S△ACB＝S△ACM，得出AC∥BM，求出直线BM的解析式为：，令，求出x的值，最后求出点M的坐标即可；
（3）先求出直线AD的解析式为：，分三种情况进行讨论，当AC∥EF，四边形ACEF为平行四边形时，当AC∥EF，四边形ACFE为平行四边形时，当AC为平行四边形的对角线时，利用点的平移和中点坐标公式，求出点F坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），
故代入A、B坐标得，
解得：，
∴；
（2）存在；理由如下：
如图1，连接AC，BM，
把x＝0代入得：，
∴，
∴设直线AC的解析式为：，
把A（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
∵S△ACB＝S△ACM，
∴AC∥BM，
∴设直线BM的解析式为：，
把B（3，0）代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：，
令，
解得：x1＝﹣4，x2＝3（舍去），
把x＝﹣4代入得：，
∴点M的坐标为；
（3）存在，理由如下：
将化为顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D，点为，
∴点D的坐标为：，
设直线AD的解析式为：y＝ax+b，
∴代入A（﹣1，0）、得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为：，
当AC∥EF，四边形ACEF为平行四边形时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，，
即，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：m＝0或m＝﹣1（舍去），
∴此时点F的坐标为：；
当AC∥EF，四边形ACFE为平行四边形时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，，
即，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴此时点F的坐标为：或；
当AC为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，E（xE，yE），
则根据中点坐标公式可得：，
解得：，
∴，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：m＝﹣1（舍去）或m＝﹣2，
∴此时点F的坐标为：；
综上所述，点F的坐标为或或或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；能利用两点间的平移性质进行求解．
14．（2024 甘肃二模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点C（3，0），E（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；
（2）求出A（1，4），由题意可知P（1，4﹣t），求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，则可求出，，由得出二次函数关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）分EM为平行四边形的对角线，EC为平行四边形的对角线，EC为边三种情况依据平行四边形的判定方法求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），
∴把点C（3，0），E（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点A的坐标为（1，4），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
把A（1，4），C（3，0）代入y＝mx+n（m≠0），得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6，
设点P（1，4﹣t），
对于y＝﹣2x+6，当y＝4﹣t时，，
∴，
对于y＝﹣x2+2x+3，当时，，
∴，
∴，BC＝3﹣1＝2，
∴，
∵，
∴S△ACQ有最大值，
当t＝2时，最大值为1；
（3）①若EC为平行四边形的对角线时，设点P（1，4﹣t），M（x，y），
又C（3，0），E（0，3），
∴EC的中点坐标的横坐标为，也是PM中点坐标的横坐标，
∴，
∴x＝2，
把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴M（2，3）；
②若EC为边时，将EC向下平移m个单位，再向左平移2个单位到点P，此时点M的坐标为（﹣2，3﹣m），
若点（﹣2，3﹣m）在抛物线上时，则有：3﹣m＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
∴M（﹣2，﹣5）；
③若EM为对角线时，点E向下平移n个单位，再向右平移1个单位，则点C也向下平移n个单位，向右平移1个单位，则有M（4，﹣n），
∴﹣n＝﹣42+2×4+3＝﹣5，
∴M（4，﹣5）．
综上所述，存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（2，3），（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的判定、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
15．（2024 安徽一模）综合与探究
如图，抛物线yx+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
（2）连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，令yx+4＝0，则x＝2或﹣6，进而求解；
（2）由则△PBC面积PH×OB＝3（x2﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9，即可求解；
（3）当PB为对角线时，由中点坐标公式列出表达式即可求解；当BF或BQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，
令yx+4＝0，则x＝2或﹣6，
即点A、B、C的坐标分别为：（2，0）、（﹣6，0）、（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+4；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，x2x+4），则点H（x，x+4），
则PHx2x+4x﹣4）x2﹣2x，
则△PBC面积PH×OB＝3（x2﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9，
即△PBC面积的最大值为9，此时x＝﹣3，点P的坐标（﹣3，5）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，故设点F（﹣2，m），点Q（x，y），
当PB为对角线时，
由中点坐标公式得：﹣6﹣3＝x﹣2，
解得：x＝﹣7，
则点Q（﹣7，﹣3）；
当BF或BQ为对角线时，
同理可得：﹣2﹣6＝﹣x﹣3或x﹣6＝﹣2﹣3，
解得：x＝﹣5或1，
即点Q（﹣5，）或（1，），
综上，点Q的坐标为：（﹣7，﹣3）或（﹣5，）或（1，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
16．（2023 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△POB是以OB为底的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，把抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求出N点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法直接求二次函数解析式即可．
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，利用等腰三角的性质得出OD＝BD，进而求出点P的横坐标，然后代入二次函数解析式即可求出点P的纵坐标．
（3）利用平移的性质得出y′的解析式，设，，并分三种情况：当①MN，BC为平行四边形的对角线时，②当MB，NC为平行四边形的对角线时，③当MC，BN为平行四边形的对角线时，按照平行线分线段成比例列出等式，分别求出点N的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在点P，使得△POB是以OB为底的等腰三角形，理由如下：
如图，当PO＝PB时，过点P作PD⊥x轴于点D，则OD＝BD．
∵B（3，0），
∴OB＝3
∴，即P点横坐标为，
当时，，
∴P点坐标为
∴在抛物线上存在点P，使得△POB是以OB为底的等腰三角形，P点坐标为．
（3）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∵A（﹣1，0），
∴抛物线沿x轴正方向平移的距离与沿y轴正方向平移的距离之比为1：3．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3沿射线AC方向平移个单位长度，
∴抛物线沿x轴正方向平移个单位长度，沿y轴正方向平移个单位长度，
∴
，
∴新抛物线的对称轴为直线：，
设，，
①当MN，BC为平行四边形的对角线时，
，
解得：，
∴．
②当MB，NC为平行四边形的对角线时，
，
解得：，
∴；
③当MC，BN为平行四边形的对角线时，
，
解得：，
∴，
综上所述，N点的坐标为或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，具有较强的综合性，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活运用知识结合的思想是解题的关键．
17．（2023 铁岭模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段BC上的一个动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）请求出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，当PE平分∠APC时，请求出PE的长；
（3）点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+3求出点B和点C，再利用待定系数法求抛物线的解析式，令y＝﹣x2+bx+c＝0求点A的坐标；
（2）先说明PE∥AB，再求出P、E的坐标，最后求PE；
（3）分两类，线段PB作为平行四边形的一条边或对角线，数形结合求点M的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3；令y＝﹣x+3＝0，x＝3，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、点C，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
（2）过P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠APE＝∠ABC，
∴∠APE＝45°，
∵PE平分∠APC，
∴∠APE＝∠EPC，
∴∠EPC＝45°，
∴∠ABC＝∠EPC，
∴PE∥AB，
∵∠APC＝2∠EPC＝2×45°＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∵AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∴PQAB＝2，
令y＝﹣x2+2x+3＝2，得x＝1或x＝1，
∴xE＝1，
令y＝﹣x+3＝2，得x＝1，
∴xP＝1，
∴PE＝xP﹣xE＝1﹣（1）．
（3）存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为（2，3）或（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）．理由如下：
点B（3，0），点P（1，2），点N是y轴上的一点，点M在抛物线上，当线段PB作为平行四边形的一条边时，M（2，3）或（﹣2，﹣5）；
当线段PB作为平行四边形的对角线时，M（4，﹣5），
综上，点M坐标为（2，3）或（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，并与等腰直角三角形和平行四边形结合，对于（2），关键是说明PE∥AB．
18．（2024春 渠县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为（1，4），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把B（3，0）代入即可求解，利用二次函数的对称性求得A（﹣1，0），再利用待定系数法求解即可；
（2）延长AC交对称轴于点M，由对称性知此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长，据此求解即可；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把B（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
∵顶点D坐标为（1，4），且B坐标为（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣（0﹣1）2+4＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+3，
把A（﹣1，0）代入得0＝﹣k+3，
解得k＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）延长AC交对称轴于点M，
∵点A和点B关于对称轴直线x＝1对称，
∴MA＝MB，
∴M到B、C两点的距离之差的绝对值为|MB﹣MC|＝|MA﹣MC|＝|AC|，
此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
x＝1时，y＝3×1+3＝6，
∴点M的坐标为（1，6）；
（3）∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ＝AC，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3＝3，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝1，
所以，点Q的坐标为（2，3）；
②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3），
此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3＝﹣3，
整理得，x2﹣4x﹣3＝0，
解得，，
所以，点Q的坐标为或，
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或或．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点M的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论．
19．（2023 开福区校级开学）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形OBEC面积最大时，请求出点E的坐标和四边形OBEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据直线yx+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点，求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式；
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，x2x+3），则点M的坐标是（x，x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值以及四边形OBEC面积最大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【解答】解：（1）∵直线yx+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴yx2x+3．
（2）如图1，
过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，x2x+3），
则点M的坐标是（x，x+3），
∴EMx2x+3﹣（x+3）x2x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
（x2x）×4
x2+3x
（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；
此时，四边形OBEC的面积最大，最大面积为：3×4+3＝9；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线yx+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵yx2x+3的对称轴是直线x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2x+3），
则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，）．
②如图3，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线yx+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵yx2x+3的对称轴是直线x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2x+3），
则
解得或，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，）．
③如图4，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线yx+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM，
∵yx2x+3的对称轴是直线x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．
【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，待定系数法函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，三角形的面积的求法，要熟练掌握，灵活运用．
20．（2023秋 海南期末）如图，抛物线交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，2），点P（x，y）在第二象限的抛物线上．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，3）时，求△BCP的面积；
（3）请过点P作PQ⊥x轴，交直线AC于点Q，是否存在点P，使得四边形PQOC是平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）x轴上，是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣4，0）和C（0，2）代入抛物线 ，求出m和n的值即可解决问题；
（2）连接PO，把y＝0代入，得到点B的坐标，根据S△BCP＝S△BOC+S△POC﹣S△POB即可求出结果；
（3）求出直线AC的表达式，作 PQ⊥x轴，交AC于点Q，设 ，Q，得到PQ的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求出点P的坐标；
（4）存在x轴上一点M，使△BCM为等腰三角形．设M（m，0），分①若BC＝BM，②若CB＝CM，③若MB＝MC三种情况求出结果．
【解答】解：（1）∵抛物线 交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，2），
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）连接PO，
由抛物线的解析式为，
代入y＝0，得
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵P（﹣2，3），C（0，2），
∴OC＝2
得，，，
得S△BCP＝S△BOC+S△POC﹣S△POB＝1.5；
（3）设直线AC的表达式为 y＝kx+b，
代入A（﹣4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴
作 PQ⊥x轴，交AC于点Q，
设 ，Q，
，
∵四边形PQOC是平行四边形，
∴PQ＝OC＝2，
∴，
解得 x1＝x2＝﹣2，
∴yP＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（4）存在x轴上一点M，使△BCM为等腰三角形，理由如下：
设M（m，0），
①若BC＝BM，
∵B（1，0），C（0，2），
∴BC，
∴BM，
∴，
解得，，
∴点M的坐标为或；
②若CB＝CM，
∵CB＝CM，OC⊥BM，
∴OB＝OM＝1，
∴点M的坐标为（﹣1，0）；
③若MB＝MC，
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AB＝5，BC，AC，
∵BC2+AC2＝25，AB2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
过点M作MN⊥BC，垂足为N，
∵MB＝MC，MN⊥BC，
∴BN＝CN，
∵MN⊥BC，∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴，
∴BM，
∵B（1，0），
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或（﹣1，0）或．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，平行四边形的存在性问题，等腰三角形的存在性问题，相似三角形的性质和判定等，本题的关键是理解题意结合分类讨论思想解题．
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第 2 页 共 2 页中小学教育资源及组卷应用平台
【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点03 二次函数综合之平行四边形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在数学中，二次函数和平行四边形是两个看似不相关但实则紧密相连的概念。当我们将一次函数的图像与平行四边形的性质结合起来探讨时，会发现一系列有趣且富有挑战性的存在性问题。这些问题不仅考验着我们对二次函数和平行四边形基本性质的理解，还要求我们运用逻辑推理、几何变换和代数运算等多种数学工具进行求解。本文将围绕“二次函数与平行四边形存在性问题”这一主题，从多个方面进行深入探讨。
一、关于平行四边形的基础知识
1、什么是平行四边形？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形具有哪些性质？
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
3、平行四边形的判定方法
a) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
b) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
c) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
d) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
e) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、平行四边形存在性问题的解题策略
1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：
所以可以得到；
2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：
点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.
上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：
于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.
上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示：
点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。
三、平行四边形存在性问题的考法
1、三定一动类（三个定点，一个动点）
例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
2、两定两动（两个定点，两个动点）
例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024 碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）．B （3，0）两点．与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋 铜梁区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y'，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
4．（2023秋 新化县期末）如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EM的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（2023秋 铁锋区期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2024 双流区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线y'，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
7．（2024 垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
8．（2023秋 聊城期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y＝x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023秋 东丰县期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x，OA＝2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024 武威模拟）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024 菏泽二模）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．（2024春 越秀区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．
（1）求点M的坐标；（用含a的式子表示）
（2）直线与直线MA相交于点N，与抛物线的对称轴相交于点B．
①求△BNM的面积的取值范围；
②直线与y轴相交于点C，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求y＝﹣x2﹣2x+a在﹣2≤x≤1时的取值范围；若不存在，请说明理由．
12．（2024 定西二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．
（1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；
（2）如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；
（3）在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物线y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
13．（2024春 本溪月考）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得S△ACB＝S△ACM？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；
（3）如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024 甘肃二模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2024 安徽一模）综合与探究
如图，抛物线yx+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
（2）连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△POB是以OB为底的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，把抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求出N点的坐标．
17．（2023 铁岭模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段BC上的一个动点，连接AP，在AP上方作∠APE＝∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）请求出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，当PE平分∠APC时，请求出PE的长；
（3）点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024春 渠县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为（1，4），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2023 开福区校级开学）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形OBEC面积最大时，请求出点E的坐标和四边形OBEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（2023秋 海南期末）如图，抛物线交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，2），点P（x，y）在第二象限的抛物线上．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，3）时，求△BCP的面积；
（3）请过点P作PQ⊥x轴，交直线AC于点Q，是否存在点P，使得四边形PQOC是平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）x轴上，是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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