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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点05 二次函数综合之正方形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：1.有一个角为直角的菱形；2.有一组邻边相等的矩形；3.对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
一、关于正方形的基础知识
1. 正方形的定义
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；
2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
边：四边相等，邻边垂直，对边平行；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.
3. 正方形的判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
4. 特殊四边形之间的关系如图所示：
二、正方形存在性问题解决策略
1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.
已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.
解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！
2. 解决正方形存在性问题常用方法
（1）从正方形判定入手
若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；
若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.
（2）构造三垂直全等
若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.
若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.
三、典例讲解
如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在
【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
则由题意可得：，解得，
∴所求抛物线的解析式为，
∵，
∴所求抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2××OA |y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，
解之，得x1＝3，x2＝4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
∵点E1（3，﹣4），
∴OE＝5，，
∴OE＝AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，﹣4），
∴OE＝，，
∴不满足OE＝AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
（四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长
如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①Q(2，3)；②Q2(， )，Q3(，)；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.
【详解】（1）设y=a(x﹣1)2+4(a≠0)，
把C(0，3)代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B(3，0)，C(0，3)，得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P(1，4)，
∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，
∴Q(2，3)；
②设G(1，2)，
∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2(，)，Q3(，)；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=( b﹣3)2，
∴，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴，
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为，
∴MN=或．
1．（2024 榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①当DE为边时，则DE＝GD＝EF，即可求解；②当DE为对角线时，则DE＝2PH，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）＝ax2+bx+2，
则﹣2a＝2，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵B（2，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+2，
将B（2，0）代入得：2k+2＝0，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
设D（t，﹣t2+t+2），
分两种情况：
①当DE为边时，设E（n，﹣n+2），
如图2，四边形GDFE是正方形，
∴DE＝GD＝EF，
∴，
解得：t1＝2（舍），t2，
∴D（，）；
②当DE为对角线时，如图3，过点D作DH⊥x轴于H，则DE＝2DH，
∴DE＝﹣2t2+2t+4，
∴E（﹣2t2+2t+4+t，﹣t2+t+2），
∵点E在直线y＝﹣x+2上，
∴﹣t2+t+2＝2t2﹣3t﹣4+2，
解得：t或2（舍去），
∴D（，），
综上，点D的坐标为（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA＝OC＝5．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．
【分析】（1）由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．把点A，C的坐标代入y＝x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．由抛物线y＝x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，得出点A，B关于直线x＝﹣2对称．连接AC，交对称轴于点P，根据两点之间线段最短可知此时PB+PC的值最小．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，把x＝﹣2代入，求出y＝﹣3，进而得出点P的坐标；
（3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．设F（x，x2+4x﹣5），根据正方形的性质可得E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM＝PE，根据两点间的距离公式列出方程|x+2|＝|x2+4x﹣5+3|，解方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A，点C，
∴，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2+4x﹣5；
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴对称轴是直线x＝﹣2．
∵抛物线y＝x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，
∴点A，B关于直线x＝﹣2对称．
连接AC，交对称轴于点P，此时PB+PC的值最小．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．
设F（x，x2+4x﹣5），
∵四边形PEFM为正方形，
∴E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM＝PE，
∴|x+2|＝|x2+4x﹣5+3|，
∴x2+4x﹣2＝x+2，或x2+4x﹣2＝﹣x﹣2，
整理得x2+3x﹣4＝0，或x2+5x＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，x3＝0，x4＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣3）或M（1，﹣3）或M（0，﹣3）或M（﹣5，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
3．（2024 武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分AC＝AQ、AC＝CQ两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可；
（3）计算出FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），函数的对称轴为直线x＝1，
则设点Q的坐标为（1，m），
由点A、C、Q的坐标得：AC2＝12+32＝10，
同理可得：AQ2＝4+m2，CQ2＝1+（m+3）2，
当AC＝AQ时，则10＝4+m2，解得m＝±；
当AC＝CQ时，同理可得m＝﹣6或0（舍去﹣6），
故点Q的坐标为（1，0）或（1，）或（1，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故点D的坐标为（1，﹣4），
由点B、D的坐标得，点P（2，﹣2），
则点F（2，0），
设点M的坐标为（a，0），则点G（a，a2﹣2a﹣3），
则FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|，
当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG，
即|2﹣a|＝|a2﹣2a﹣3|，
当2﹣a＝a2﹣2a﹣3时，解得a，
当﹣（2﹣a）＝a2﹣2a﹣3时，解得a，
故点M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形和等腰三角形的性质等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏．
4．（2022秋 越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，CD．首先证明△OBC是等腰直角三角形，分两种情形分别求出点Q的坐标即可．
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，连接BC，CD．
由题意，C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，
∴EB＝EQ′＝2，
∴Q′（1，﹣2），
当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．
（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1＝0，
解得，a，
当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5＝0，
解得，a，
∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
5．（2024 大同三模）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式．
（2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值．
（3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点P的坐标为（m，m），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣3），得到四边形PCDQ周长为﹣2m2+6m+5，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3）代入y＝x2+bx+c得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3，
设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，m），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣3），
∴CD＝PQ＝m﹣m2+m+3＝﹣m2+2m+3，，
∴四边形PCDQ周长为，
∵﹣2＜0，
∴当时，四边形PCDQ周长有最大值，
最大值为；
（3）解：当AEPF为正方形时，如图，
∵点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），
∴∠BAE＝45°，
∴点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称，
∴点E（2，﹣1），
∴点P（2，2），
∴点F的坐标为（﹣1，2）；
当APFE为正方形时，如图，设正方形的中心为点G，
∵∠PAG＝45°，∠PAE＝90°，
∴PE∥y，
∴点P的坐标为（m，m），点E的坐标为（m，m2﹣m﹣3），
∴PG＝m+1，GE＝﹣1﹣m2+m+3＝﹣m2+m+2，
∵PG＝GE，
∴﹣m2+m+2＝m+1，即m2＝1，解得m＝±1，
∴点P的坐标为（1，1），点G的坐标为（1，﹣1），
∴点F的坐标为（3，﹣1）；
当APEF为正方形时，如图，设正方形的中心为点G，
显然点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称，
∴点F的坐标为；
综上，点F的坐标为或（3，﹣1）或（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．
6．（2022 齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；
（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），
∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4＝﹣（a）（﹣1＜a＜4），
∴当a时，DE的最大值为；
（4）当CF为对角线时，如图，
此时四边形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
当CF为边时，若点F在C的上方，如图，
此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，
同理可得N（﹣1，2），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，
同理可得N（，），
综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，两点之间、线段最短，正方形的性质等知识，利用分类思想、数形结合思想是解决问题（4）的关键．
7．（2024 德惠市二模）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为（1，﹣2），点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围．
（4）当m＞1时，以PC为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值．
【分析】（1）由y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），则﹣a﹣1＝﹣2，求得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）由P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，得n＝m2﹣2m﹣1，当m＝﹣1时，n＝2，当m＝2时，n＝﹣1，而抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），可知当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，所以n的取值范围是﹣2≤n≤2；
（3）当点P（m，n）到x轴的距离为1时，n＝1或n＝﹣1，由m2﹣2m﹣1＝1，求得，；由m2﹣2 m﹣1＝﹣1，求得m1＝0，m2＝2，则点，，G（2，﹣1），C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，所以m的取值范围是；、
（4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，再分三种情况讨论，①以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上CP＝PQ，∠QPC＝90°时，如图2，作PM⊥x轴，作CM⊥PM于点M，QN⊥PN于点N，证明△PQN≌△CPM，得出QN＝PM，列出等式即可求解；②是点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R，则△PCQ是等腰直角三角形，符合题意以PC为边作正方形，有一个顶点Q在此抛物线的对称轴上，即可确定点P的横坐标； ③以PC为边作正方形，有一个顶点Q在此抛物线的对称轴上，此时△PCQ是等腰直角三角形，点Q在直线x＝1上，且∠CPQ＝90°，PQ＝PC，作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH 于点L，可证明△PQL≌△CPH，QL＝PH，m﹣1＝m2﹣2m，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将（1，﹣2）代入y＝kx2﹣2kx﹣1，
解得k＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．
（2）∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，
∴n＝m2﹣2m﹣1，
当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2，
当m＝2时，n＝22﹣2×2﹣1＝﹣1，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n＝﹣2，
∴当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，
∴n的取值范围是﹣2≤n≤2．
（3）当点P（m，n）到x轴的距离为1时，即n＝1或n＝﹣1，
当n＝1时，则m2﹣2m﹣1＝1，
解得，，
当n＝﹣1时，则m2﹣2m﹣1＝﹣1，
解得m1＝0，m2＝2，
如图，点，，G（2，﹣1），C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，
∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，
∴m的取值范围是．
（4）当m＞1时，①以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上CP＝PQ，∠QPC＝90°时，如图，
作PM⊥x轴，作CM⊥PM于点M，QN⊥PN 于点N，∠QNP＝∠CMP＝∠CPQ＝90°，
∴∠QPN＝∠PCM＝90°﹣∠MPC，
∴△PQN≌△CPM（AAS），
∴QN＝PM，
∵P（m，m2﹣2m﹣1），M（m，﹣1），
∴PM＝（﹣1）﹣（m2﹣2m﹣1）＝﹣m2+2m，
∴QN＝m﹣1，
∴m﹣1＝﹣m2+2m，
解得，（不符合题意，舍去）；
②如图，点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R，
∵∠POC＝∠CRQ＝∠PCQ＝90°，
∴∠OCP＝∠CRQ＝90°﹣∠RCQ，
∵OC＝RQ＝1，
∴△POC≌△CRQ（ASA），
∴△PCQ是等腰直角三角形，符合以PC为边的四边形是正方形，此时正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上，
当n＝0时，则m2﹣2m﹣1＝0，
解得，（不符合题意，舍去）；
③如图，以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，△PCQ是等腰直角三角形，且∠CPQ＝90°，点Q在直线x＝1上，
∴PQ＝PC，
作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L，
∵∠L＝∠H＝∠CPQ＝90°，
∴∠PQL＝∠CPH＝90°﹣∠QPL，
∴△PQL≌△CPH（AAS），
∴QL＝PH，
∵P（m，m2﹣2m﹣1），H（m，﹣1），
∴PH＝m2﹣2m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m，
∴QL＝m﹣1，
∴m﹣1＝m2﹣2m，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，或或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点05 二次函数综合之正方形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：1.有一个角为直角的菱形；2.有一组邻边相等的矩形；3.对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
一、关于正方形的基础知识
1. 正方形的定义
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；
2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
边：四边相等，邻边垂直，对边平行；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.
3. 正方形的判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
4. 特殊四边形之间的关系如图所示：
二、正方形存在性问题解决策略
1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.
已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.
解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！
2. 解决正方形存在性问题常用方法
（1）从正方形判定入手
若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；
若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.
（2）构造三垂直全等
若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.
若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.
三、典例讲解
如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在
【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
则由题意可得：，解得，
∴所求抛物线的解析式为，
∵，
∴所求抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2××OA |y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，
解之，得x1＝3，x2＝4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
∵点E1（3，﹣4），
∴OE＝5，，
∴OE＝AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，﹣4），
∴OE＝，，
∴不满足OE＝AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
（四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长
如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
1．（2024 榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA＝OC＝5．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．
3．（2024 武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
4．（2022秋 越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
5．（2024 大同三模）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式．
（2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值．
（3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由．
6．（2022 齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
7．（2024 德惠市二模）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为（1，﹣2），点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围．
（4）当m＞1时，以PC为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值．
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