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2025-2026学年江苏省无锡市八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中是轴对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列说法正确的是( )
A. 9的立方根是3 B. 是4的平方根
C. 算术平方根等于它本身的数一定是1 D. 的算术平方根是4
3.数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )
A. B. C. D.
4.下列条件中，能够证明两个三角形全等的有( )
①两边及其中一边上的中线对应相等； ②两角及第三个角的角平分线对应相等；
③两个直角三角形任意两条对应边相等；④两个等腰三角形任意两条对应边相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图，AD是的中线，E，F分别在边AB，AC上不与端点重合，且，则( )
A.
B.
C.
D. 与EF的长短关系不确定
6.一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为( )
A. 5秒或7秒
B. 5秒或19秒
C. 5秒或17秒
D. 7秒或19秒
7.在等腰中，，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10
8.如图，直线、相交于点A，点B是直线外一点，在直线、上找一点C，使为一个等腰三角形．满足条件的点C有( )
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
9.如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为( )
A. 11 B. C. 7 D.
10.已知：如图，BD为的角平分线，且，E为BD延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①≌；②；③；④其中正确的是( )
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.的平方根是 .
12.如图，在中，，线段AB的垂直平分线交AC于点N，的周长是7 cm，则BC的长为__________

13.如图所示，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，，则 .
14.若一个正数的两个不同的平方根为和，则m为______.
15.万精确到 位.
16.如图，内一点P，，分别是P关于OA、OB的对称点，交OA于点M，交OB于点若，当周长最小时，则 .
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 .
18.如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为______.
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题6分
计算
；
20.本小题6分
求下列各式中x的值：
；
21.本小题8分
已知与互为相反数，求的值.
22.本小题8分
如图所示，在中，，于D，于E，BD，CE相交于
求证：≌；
平分
23.本小题8分
已知：如图，在梯形ABCD中，，，CF平分，，BF的延长线交DC于点求证：
≌；
24.本小题8分
已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．
求作：点E，使直线，且点E到B，D两点的距离相等．在题目的原图中完成作图
结论：
25.本小题8分
阅读下列材料：
，
，
的整数部分为3，小数部分为
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值．
26.本小题8分
小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若，，求CD的长．
如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若，，求CD的长．
27.本小题8分
如图，已知中，，，，点D为AB的中点.
如果点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点P与点Q第一次在的哪一边上相遇？
28.本小题8分
如图，将两个全等的直角三角形、拼在一起图不动.
若将绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、图，证明：
若将图1中的CE向上平移，不变，连接DE，连接MB、图，请判断并直接写出MB、MC的数量关系；
在中，若的大小改变图，其他条件不变，则中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，
根据轴对称图形的定义可得：从左边数第1个图形不是轴对称图形，第2、3、4个图形是轴对称图形，
轴对称图形有3个，
故选：
根据轴对称图形的定义对各项逐一进行判断即可得到答案．
本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：的立方根是，
选项A不符合题意；

是4的平方根，
选项B符合题意；

算术平方根等于它本身的数是0、1，
选项C不符合题意；

的算术平方根是2，
选项D不符合题意．
故选：
根据立方根的含义和求法，以及平方根、算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
此题主要考查了立方根的含义和求法，以及平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
3.【答案】C
【解析】解：数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
，
点B关于点A的对称点为C，
点C表示的数为：
故选：
首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．
本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
4.【答案】C
【解析】解：两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以①正确；
两角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等，所以②正确；
两个直角三角形任意两条对应边相等，则两个直角三角形全等，所以③正确；
两个等腰三角形任意两条对应边相等，这两个三角形不一定全等，所以④错误．
故选
根据三角形全等的判定方法可判断①②③正确，当两个等腰三角形两腰对应相等时，这两个三角形不一定全等，则可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5.【答案】A
【解析】如图，延长ED至点G，使，连接CG，FG，
是的中线，E，F分别在边AB，AC上，
，
又，，
是EG的垂直平分线，
，
又
≌，
，
，
故选：
延长ED至点G，使，连接CG，FG，证明≌，可得，进而根据三角形三边关系即可得．
本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明≌是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，当斜边时，，
，
旋转角为，
；
如图，将继续逆时针旋转，可得斜边，
此时，旋转角为，
；
故选：
依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间．
本题考查的是等腰直角三角形，涉及到旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
7.【答案】C
8.【答案】D
【解析】解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交、于4个点；
以B为圆心，AB长为半径画弧交、于2个点，
再作AB的垂直平分线交、于2个点，
共有8个点，
故选：
以A为圆心，AB长为半径画弧；以B为圆心，AB长为半径画弧，再作AB的垂直平分线分别找出交、点的个数即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形．
9.【答案】B
【解析】解：作交AC于M，作于点N，
，
，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
，
和的面积分别为50和39，
，
故选：
作交AC于M，作，利用角平分线的性质得到，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理得到≌，由全等三角形的性质得到，，再根据角平分线的性质可求得，即，于是得到结论．
【解答】
解：①为的角平分线，
，
在和中，
，
≌，故①正确；
②为的角平分线，
，
，，
，，
，
≌，
，
，故②正确；
③，，，，
，
为等腰三角形，
，
≌，
，
，
故③正确；
④过E作交BC延长线于G点，
是BD上的点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确．
故选：
11.【答案】
【解析】解：由于，
所以的平方根是，
故答案为：
根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
12.【答案】3
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：线段AB的垂直平分线交AC于点N，
，
的周长，
，又，
，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，
点A，B，C在以D为圆心的圆上，
故答案为：
由点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，可得点A，B，C在以D为圆心的圆上，然后由圆周角定理，求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】1
【解析】解：由题意可知：，
，
，
故答案为：1
由平方根的性质可求出m的值；
本题考查平方根的性质，属于基础题型．
15.【答案】百
【解析】解：万精确到万位，即百位．
故答案为：百．
根据近似数的精确度得到万精确到万位．
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
16.【答案】

【解析】解：，分别是P关于OA、OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，
，，
，
当，M，N，共线时，的周长最小，
如图，连接OP、、，根据轴对称的性质可得，
，，；
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
，
，，
，
故答案为：，
连接OP、、，根据轴对称的性质可得，，，，可求，则可求，利用三角形全等可求；利用等腰三角形性质可知，，则，计算即可．
本题考查的是轴对称的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质和判定，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
【解答】
解：在中，设，于点
①若是锐角三角形，，
此时底角；
②若是钝角三角形，，
此时底角
所以等腰三角形底角的度数是或
故答案为：或
18.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型．如图作于H，由≌得，，再证明≌得即可解决问题．
【解答】
解：如图作于H，
，，
，
，，
，
和都是等腰三角形，
，，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌
，
故答案为
19.【答案】7；
0
【解析】原式，
；
原式，
先计算零次幂，算术平方根，化简绝对值，再进行加减运算即可；
先计算零次幂，负指数幂，算术平方根，化简绝对值，再进行加减运算即可．
本题考查零次幂，负指数幂，算术平方根，绝对值，掌握运算法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：
，
，
；

，

【解析】首先将原式变形，得出，进而开平方得出即可；
首先将原式变形，得出，进而开立方得出即可．
此题主要考查了立方根以及平方根，熟练掌握相关定义是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：与互为相反数，
，
，
，
把代入，得
故答案为：
根据互为相反数两数之和为0及非负数的性质列出方程组，求出，代入计算即可．
此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌
≌，
，
在和中，
，
，
，
平分
【解析】求出，根据AAS推出即可．
根据全等求出，根据HL证出，推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有定理HL，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23.【答案】证明：平分，
在和中，
≌
连接
≌，
，
，
，
，
又是公共边，
≌

【解析】由CF平分可知，然后通过SAS就能证出≌
要证明，连接BD，证明≌则可．，又，，，再证明则可，容易推理
这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．
24.【答案】解：如图所示：
点E即为所求，
【解析】首先以D为顶点，DC为边作一个角等于，再作出DB的垂直平分线，即可找到点
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和线段垂直平分线的作法．
25.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
的值为
【解析】由，可得其整数部分，由，可得，可得，可得的小数部分，可得的值．
本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．
26.【答案】解：由折叠可知，，设，则，
，，
，
，
；
在中，，，，
由折叠可知，，，，
，
设，则，，
，
，

【解析】本题考查了勾股定理的应用及图形的翻折问题，掌握折叠的性质是解题的关键.
利用折叠的性质得出，设，表示出AD，在中，利用勾股定理求得答案；
利用折叠的性质得出，，利用勾股定理列式求出AB，设，表示出BD，DE，在中，利用勾股定理可得答案．
27.【答案】解：设运动的时间为t s，则，
①≌，
理由：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
，
当时，，
，，，点D为AB的中点，
，，
在和中，
，
≌
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
，
设点Q的速度为，
，
，且，
，
，
，
在和中，
，
≌，
当点Q的运动速度为时，≌
设经过t s点P与点Q第一次相遇，
根据题意得，
解得，
的周长为，
周……，
经过24秒，点P与点Q第一次在的AC边上相遇．
【解析】设运动的时间为t s，则，①因为，所以当时，，由，得，，而，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明≌；
②因为点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以，则，且，设点Q的速度为，因为，所以，解方程求出v的值即可；
设经过ts点P与点Q第一次相遇，由点P与点Q第一次相遇时点Q比点P多运动12cm可列方程，解方程求出t的值，再求出点P运动的距离并且除以的周长，根据得到的结果即可判断出此时点P与点Q的位置．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q运动的距离是解题的关键．
28.【答案】证明过程见解析；
；
还成立．理由见解析
【解析】证明：如图2，连接AM，由已知得≌，
，，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于，延长EC交AD于F，
，，
是ED的中点，B是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，
；
还成立．
理由如下：如图4，延长BM交CE于F，
，
，，
又是DE的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
延长DB、AE相交于，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，同理求出，根据两直线平行，同位角相等求出，然后求出，再根据等角对等边即可得证；
延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，证明≌是解题的关键．

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