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第4章 指数函数与对数函数
4.3 对数
人教A版2019高中数学必修第一册



对数的概念
①对数的定义：通过指数运算，我们能从 中算出经过t年后B景区的人数
是2011年的y倍.反之，如果想知道多少年后游客人次是2001年的2倍、3倍、…
该怎么做？

上述问题就是从 中分别求出t，即已知底数
和幂的值，求指数.

一般地，如果 ，那么 叫做以 为底 的对数.

记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.






例如，因为42=16，那么2就是以4为底16的对数，记作
因为34=81，所以4就是以3为底81的对数，记作




对数的概念
【问题】为什么规定

【1】如果 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设
存在，设 ，则 ，无解.





【2】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则
有无数个值，不能确定.为此，规定 且 .








【3】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则
有无数个值，不能确定.为了避免 不存在或者不唯一确定的
情况，规定 .








对数的概念
②两种特殊对数
通常，我们把以10为底的对数叫做常用对数，并且赋予它特殊的数学符号，
即 ：
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，
以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即 .


对数的基本性质和与指数的关系.
【1】 根据对数的定义，可以得到对数和指数的关系：
当 时，


【2】 对数的基本性质：
① 负数和0没有对数
②

③

证明：① 由 ，得 .当 时，




即负数和0没有对数.
② 设 ， ，则 ，即




设 ， ，则 ，即




【1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
【解】(1)












对数的基本性质和与指数的关系.
【规律总结】
（1）指数式和对数式的关系
指数式 和对数式 是同一种数量关系的不同表达形式（如下表）.


（2）对数恒等式


底数
指数
幂
底数
对数
真数


【1】求下列各式的值.
【解】








对数的运算
【探究】设 ，因为 ，所以



根据对数和指数之间的关系可得：

这样，我们就得到了对数的一个运算性质：

同样的，还有：



前提
对数的运算
【对数运算性质的理解】
【1】逆向应用对数运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简.
【2】对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式
才成立.如 是存在的，但 与 均不存
在， 所以不能写成




【3】对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立：

对数的运算
【对数运算性质的推广】
【1】
【2】
【3】



【1】求下列函数的定义域和值域.
【解】(1)
(2)








【2】利用 表示 .
【解】






对数换底公式
【定义】设 ，则 ，于是有



根据对数运算性质(3)有： ，即：


这个式子叫做对数的换底公式，简称为换底公式.
★ 换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题，也可以反过来用
★ 换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义
★ 换底公式换的底：依据具体问题需要而变
【1】求下列各式的值.
【解】








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