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第5章 三角函数
5.1.1 任意角
人教A版2019高中数学必修第一册
角的定义
【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体
540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并
且旋转的方向也不相同.
【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两
个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义
(一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象，
不仅要知道旋转的度数，还要知
道旋转的方向，这就需要我们对
角的概念加以推广.
角的分类
【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就
形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 .

左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角 ，负角
， ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的
时针与分针在旋转时形成的角总是负角.
730°






为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或∠ 可以简记为



相等角、角的加减
【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们
的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角
是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.
如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两
个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).
于是角的减法可以转化为角的加法，如图：
α
β
α+β
α
α
-α
-α
30°
-120°
O
A
相等角、角的加减
【总结】
（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°
（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋
转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.
（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.
象限角与轴线角
【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角
的终边始终与 轴的非负半轴重合.
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左
边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.
α
β
如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我
们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.
γ

象限角与轴线角
【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？
α=390°
【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左
②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中
30°
75°
③小于90°的角还包括零角和负角，如图右
α=0°
β=-130°
【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反
过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为
终边的角是否唯一？
答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？
终边相同的角
30°
O
B
【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角.
与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1)
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【总结】对于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点：
终边相同的角
【1】α是任意角
【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身)
③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数
时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.
【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，
表示与-30°角终边相同的角
【整理】各象限角的集合表示
终边相同的角
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}
{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}
{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}
【整理】轴线角的集合表示
终边相同的角
{α|α=k·360°，k∈Z}
{α|α=k·360°+180°，k∈Z}
{α|α=k·360°+90°，k∈Z}
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z}
{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的
范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α
的范围是



30°
75°
①
②
{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}
②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的
范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α
的范围是
{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}
【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以



k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z
如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以



①

k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
所以k·180°+45° ＜ ＜ k·180°+90°,k∈Z

k=2n(n∈Z)时，
k·360°+45° ＜ ＜ k·360°+90°,k∈Z

k=2n+1(n∈Z)时，
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z

所以 的终边位于第一或者第三象限.

②
③
④
②
①
③
④
也可以运用图示的高阶方法，从
轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上①②③④，则标②的就是 所在的区域.


【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】



①

②
③
④
②
①
③
④
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是 所在的区域.
④
①
②
③


THANKS
“
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