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第5章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
人教A版2019高中数学必修第一册
正弦函数、余弦函数的性质
【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？
【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？
【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]
正弦函数、余弦函数的性质
【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一
个 都有 ，且 .那么函数 就叫做
周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦
函数的周期.
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做 的最小正周期.
根据上述定义，有如下结论：
【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
正弦函数、余弦函数的性质
【周期函数的理解】
①对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中
“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期.
②自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周
期，因为 ，所以 才是最小正周期.
③周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是
函数 的周期.
④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数
所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小
正周期.
正弦函数、余弦函数的性质
【例1】求下列函数的周期：
【解】
由周期函数的定义可知，原函数
的周期为.
令由得，且的周期为，即
于是所以由周期函数的
定义可知，原函数的周期为π.
奇偶性
【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，
只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.
②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)
对称.
③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.
Ⅰ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
Ⅱ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
【1】等式是否成立？如果这个成立，能否说是正弦函数
的一个周期？为什么？
【解】等式成立，但不能说是正弦函数
的一个周期，因为对定义域内任意， 不一定等于，
如，所以不是正弦函数的一个周期.
【2】求下列函数的周期
【解】 因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
【注意】本题也可以直接用公式求解：
【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
【解】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
探究与发现
【探究】从前面的例子可以看出，函数及函数
（其中，，为常数，且，）的周期仅与自变量的系数有关.那么，
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
【函数和函数的周期】
事实上，令，那么由得，且函数及函数
的周期都是
因为 ，所以自变量增加，函数值
就重复出现，并且增加量小于时，函数值不会重复出现.即是使得等式
，成
立的最小正数，从而这两个函数的周期为
探究与发现
【思考】上述求函数和函数
周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即下列命题“如果函数
的周期是T，那么函数的周期是 ”是否成立？
【解答】上述命题是成立的.一般地，若函数的周期是T，那么函数
的
周期为
单调性
【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如
讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图可以看到：当 由 增大到
时，曲线逐渐上升， 的值由1减小
到-1. 的值变化情况如图所示：
这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
单调性
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
单调性
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
①正弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
②余弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.
②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.
③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.
R
R
[-1，1]
[-1，1]
最小正周期为2π
最小正周期为2π
奇函数
偶函数
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
当时，
当时，
当时，
当时，
对称中心为；
对称轴为直线
对称中心为；
对称轴为直线
【正弦函数和余弦函数的性质对比】
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